القطوع المكافئة - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

4-1 القطوع المكافئة Parabolas فيما سبق درست الدوال التربيعية لماذا؟ وتحليلها وتمثيلها بيانيا. (مهارة سابقة) والآن . أحلل معادلات قطوع مكافئة، وأمثلها بيانيا. أكتب معادلات قطوع مكافئة. المفردات القطع المخروطي استعمل العلماء حديثًا تلسكوب سطح الزئبق ؛ لمشاهدة صور الفضاء، وهو تلسكوب ذو مرآة سائلة ( طبقة من الزئبق ) مقعرة مقطعها العرضي على شكل قطع مكافئ مع آلة تصوير مثبتة عند البؤرة. القطوع المخروطية: القطوع المخروطية هي الأشكال الناتجة عن تقاطع مستوى ما مع مخروطين دائريين قائمين متقابلين بالرأس، كليهما أو أحدهما. بحيث لا يمر المستوى بالرأس. والقطوع المخروطية الثلاثة الواردة في هذا الفصل هي: القطع المكافئ والقطع الناقص وحالة خاصة منه الدائرة) والقطع الزائد. conic section المحل الهندسي locus القطع المكافئ parabola البؤرة focus الدليل directrix محور التماثل الدائرة القطع الناقص القطع المكافئ القطع الزائد رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa الصورة العامة لمعادلات القطوع المخروطية هي 0 = Ax 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F ، حيث A, B, C أعداد ليست جميعها أصفارًا. وتوجد صورة أكثر تحديدًا لمعادلة كل قطع مخروطي، وسيتم تقديمها جميعًا في دروس هذا الفصل. axis of symmetry الرأس vertex الوتر البؤري latus rectum إرشادات للدراسة القطع كلمة قطع هي مفرد كلمة تحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيا : المحل الهندسي هو الشكل الهندسي الذي ينتج عن مجموعة النقاط التي تحقق خاصية هندسية معينة. القطع المكافئ هو المحل الهندسي لمجموعة نقاط المستوى التي يكون بعد كل منها عن نقطة ثابتة (تسمى البؤرة) مساويًا دائمًا لبعدها عن مستقيم معلوم (يسمى الدليل). والقطع المكافئ متماثل حول المستقيم العمودي على الدليل والمار بالبؤرة، ويُسمى هذا المستقيم محور التماثل. وتسمى نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل الرأس. وتُسمى القطعة المستقيمة محور التماثل: (x,y) y=k الدليل: x= h - p F(h+p,k) الوتر البؤري البؤرة ا الرأس !V(h, k) المارة بالبؤرة والعمودية على محور التماثل بالوتر البؤري، ويقع طرفا الوتر البؤري على القطع المكافئ. قطوع، وتعني في اللغة الجزء قال تعالى: تأثرِ بِأَهْلِك يقطع من اليل ... [الحجر: 65] الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ y 이 درست سابقا الدالة التربيعية f(x) = ax 2 + x + c ، حيث 0 a والتي يمثل منحناها قطعا مكافئًا مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل. ويمكن استعمال تعريف القطع المكافى؛ لإيجاد الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ عندما يكون مفتوحا أفقيا إلى اليمين أو إلى اليسار أو رأسيا (إلى أعلى أو إلى أسفل). 46 الفصل 4 القطوع المخروطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

افترض أن (x,y) نقطة على القطع المكافئ كما في الشكل المجاور، والذي رأسه وبؤرته ) ، حيث FV هو البعد بين الرأس والبؤرة. وبناءً على تعريف القطع المكافئ فإن البعد بين أي نقطة على القطع والبؤرة يجب أن يساوي بعد هذه النقطة عن الدليل. لذا إذا كان || = FV فإن ١١ = VT نعلم من تعريف القطع المكافئ أن PF = PM . وبما أن M واقعة على الدليل، فإن إحداثيي M هما ، ويمكنك استعمال صيغة المسافة بين نقطتين لإيجاد معادلة القطع المكافئ. PF = PM V[x - (h + c)]2 + (y - k2 √√[x- (h - c)]² + (y - y)² الدليل x=h-c M(h-c,y)+P(x, y) Fh + ck) المحور: y=k !T V(h, k) قانون المسافة بين نقطتين ربع الطرفين [x (h+c)]²+(y-k)²= [x-(h-c)]² + 0² x²-2x(h+c) + (h+ c)² + (y−k)² = x² - 2x(h c) + (h-c) 2 x2 - 2xh - 2xc + h2 + 2hc + c2 + (y - k2 = x2 - 2xh + 2xc + h2 - 2hc + c فك الأقواس فك الأقواس قراءة الرياضيات اتجاه فتحة منحنى القطع ستلاحظ في هذا الدرس (y k)24xc - 4hc (y-k)²=4c(xh) بسط حلل أن منحنيات القطع المكافئ أي أنّ معادلة القطع المكافئ المفتوح أفقياً إلى اليمين أو إلى اليسار ) هي - y - k2 = 4x) . وبالمثل فإن مفتوحة رأسيا إلى أعلى معادلة القطع المكافئ المفتوح رأسيا (إلى أعلى أو إلى أسفل هي : ( - 4cy = 2 - ) . أو إلى أسفل) ، أو أفقيا إلى وهاتان هما المعادلتان القياسيتان للقطوع المكافئة، حيث 0 c . وتحدد قيم الثوابت خصائص القطوع المكافئة مثل إحداثيات رأس القطع واتجاهه. اليمين أو اليسار). مفهوم أساسي خصائص القطع المكافئ المعادلة في الصورة القياسية - x - h2 = 4cy) V الاتجاه : > 0 الرأس : البؤرة : معادلة محور التماثل معادلة الدليل طول الوتر البؤري 49 A c<0 المنحنى مفتوح رأسيا (h, k) (h, k + c x = h y=k-c |4c| المعادلة في الصورة القياسية : - y - k2 = 4cx) Y c>0 الاتجاه : الرأس : البؤرة : معادلة محور التماثل معادلة الدليل طول الوتر البؤري : c<0 المنحنى مفتوح أفقيًا (h, k) (h + c, k y=k x= h - c |4c| يمكنك استعمال الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ لتحديد خصائصه مثل الرأس والبؤرة والدليل . وزارة التعليم الدرس 1-4 القطوع المكافئة 47 2024-1446

إرشادات للدراسة اتجاه القطع المكافئ يكون اتجاه القطع المكافئ الذي محور تماثله مواز الأحد محوري الإحداثيات: - مفتوحًا إلى أعلى إذا كان الحد التربيعي هو x ، وكانت 0 < . - مفتوحا إلى الأسفل إذا كان الحد التربيعي هو X ، وكانت 0 > . مفتوحًا إلى اليمين إذا كان الحد التربيعي هو ل ، وكانت 0 < . - مفتوحا إلى اليسار إذا كان الحد التربيعي هو ل ، وكانت 0 > . مثال 1 تحديد خصائص القطع المكافئ وتمثيل منحناه بيانيا حدد خصائص القطع المكافئ 2 - 1 = 5 + y) ، ثم مثل منحناه بيانيا. المعادلة في صورتها القياسية، والحد التربيعي هو لا ، وهذا يعني أن المنحنى مفتوح أفقيًا. وبما أن 12 = 40 فإن 3 = c ؛ لذا فهو مفتوح إلى اليسار. وبما أن المعادلة على صورة - y - 2 = 4c) ؛ لذا فإن 5 = 2 = . استعمل قيم لتحديد خصائص القطع المكافئ. (k) (2,-5) (h+c, k) |4c| x=5 الرأس: البؤرة (15) طول الوتر البؤري: 12 الدليل: محور التماثل : 5- = y عين الرأس والبؤرة ومحور التماثل ،والدليل والوتر البؤري، ثم ارسم منحنى يمر بالرأس ويمتد مارا بنهايتي الوتر البؤري. يجب أن يكون المنحنى متماثلا حول محور التماثل. x=h-c y = k 51 V(2. 51 -8 إرشادات للدراسة رسم الوتر البؤري الرسم الوتر البؤري في المثال 1 ارسم قطعة مستقيمة طولها 12 وحدة وتمر بالبورة التي تقع في منتصفها، وتكون عمودية على محور التماثل الربط مع الحياة تحقق من فهمك 8(y+3)(x-4)² (1A 2(x+6)=(y+1)2 (1B مثال 2 من واقع الحياة خصائص القطع المكافئ مستقبل خطي طاقة شمسية: يتكون مجمع شمسي من مرآة مقطعها العرضي على شكل قطع مكافئ معادلته x2 = 3.04y ، حيث x y بالأمتار، وتعمل المرآة على تركيز أشعة الشمس على مستقبل خطي يقع عند بؤرة القطع ، أين يقع المستقبل الخطي بالنسبة إلى رأس القطع المكافئ؟ يقع المستقبل الخطي عند بؤرة القطع المكافئ. وبما أن الحد التربيعي هو x و C موجب، فإن منحنى القطع مفتوح إلى أعلى، وتقع البؤرة عند ( + ) . المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية، كما أنّ قيمة كل من , صفر، وبما أن مرأة توليد الكهرباء تستعمل مرايا على 3.04 = 4c فإن 0.76 = c . لذا تقع البؤرة عند 0.76 0 ,0) أو (0,0,76) . شكل قطوع مكافئة لتوليد الكهرباء من الطاقة الشمسية، إذ تعمل المرايا بما أن موقع بؤرة القطع المكافئ الذي يمثل المقطع العرضي هو (0.76 ,0) . على تسخين زيت يمر خلال أنابيب تمر فإن المستقبل الخطي يقع على مسافة 0.76 متر فوق رأس القطع المكافئ. عند بؤر هذه القطوع. تحقق من فهمك (2) فلك : عُد إلى فقرة "لماذا؟ " في بداية الدرس. افترض أنه يمكن تمثيل القطع المكافئ الظاهر في الصورة باستعمال المعادلة (6) - x2 = 44.8 (y ، حيث 5 = x 5. إذا كانت x y بالأقدام، فأين تقع آلة التصوير بالنسبة إلى رأس القطع المكافئ؟ لتحديد خصائص القطع المكافئ تحتاج أحيانًا إلى كتابة معادلته بالصورة القياسية، كما أنك قد تعيد ترتيب المعادلة لتبسيطها، وقد تستعمل في بعض الحالات مهارات رياضية معينة مثل إكمال المربع لكتابة المعادلة بالصورة القياسية. 19 48 الفصل 4 القطوع المخروطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 3 كتابة معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية اكتب المعادلة 6 + x 2 + x 1 - = y على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد خصائص القطع المكافئ، ومثل منحناه بيانيا. المعادلة الأصلية أخرج - - عاملا مشتركا من حدود x أكمل المربع y = 1 x 2 + + 3x + 6 y = - 12x) + 6 y= (x²-12x + 36-36) + 6 -(-36) = 9 y=(x²-12x + 36)+9+6 حل y = (x-6)² + 15 62 - y - (15) = (x) 4 اطرح 15 من الطرفين، ثم اضرب في العدد (4) وهذه هي الصورة القياسية للقطع المكافئ، وبما أن الحد التربيعي هو x ، و 1 = c ، فإن المنحنى مفتوح إلى أسفل. استعمل الصورة القياسية للقطع المكافئ لتحدّد خصائصه. الرأس: البؤرة: طول الوتر البؤري: 4 (h, k (6, 15) (h, k + c) (6, 14) |4c| الدليل: محور التماثل: 6 = x y=k-c y = 16 x= h عين الرأس والبؤرة ومحور التماثل ،والدليل والوتر البؤري، ثم ارسم منحنى يمر بالرأس ويمتد مارا بنهايتي الوتر البؤري. يجب أن يكون المنحنى متماثلا حول محور التماثل. تحقق من فهمك x²-4y+3 7 (3A V(6, 15) 12' 3y2 + 6y + 15 = 12x (38 .F (( (4) 8 إرشادات للدراسة الاتجاه إذا اشترك الرأس والبؤرة في الإحداثي x ، فإن منحنى القطع المكافئ يكون مفتوحا إلى أعلى أو إلى أسفل أما إذا اشترك الرأس والبؤرة في الإحداثي لا فإن المنحنى يكون مفتوحا إلى اليمين أو إلى اليسار. معادلات القطوع المكافئة : يمكن استعمال خصائص معينة لتحديد معادلة القطع المكافئ. مثال 4 كتابة معادلة القطع المكافئ بمعلومية بعض خصائصه اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا : البؤرة (4-3) والرأس (14) . بما أن البؤرة والرأس مشتركان في الإحداثي لا ، فإن المنحنى مفتوح أفقياً؛ لذا فالبؤرة هي ( + ) ، وتكون قيمة ، هي 2 = 1 - 3 . وبما أن c موجبة فإن المنحنى مفتوح إلى اليمين، ويمكنك تحديد اتجاه فتحة القطع، وإيجاد قيمة c من التمثيل البياني مباشرة. اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية باستعمال قيم . الصورة القياسية (y-k)24c(xh) c=2, h=1,k=-4 [y-(-4)]² = 4(2)(x - 1) (y + 4)² = 8(x-1) 48 F(3,-4) 12 x -4) بسط أي أن الصورة القياسية للمعادلة هي (1 - y + 42 = 8x) . مثل بيانيا الرأس والبؤرة ومحور التماثل والوتر البؤري، ثم ارسم منحنى يمر بالرأس ويمتد مارا بنهايتي الوتر البؤري. يجب أن يكون المنحنى متماثلاً حول محور التماثل 15. وزارة التعليم الدرس 1-4 القطوع المكافئة 49 2024-1446

الرأس (2) والدليل 1 = y بما أن الدليل مستقيم أفقيا، فإن المنحنى مفتوح رأسيًا. وبما أن الدليل يقع تحت الرأس، فإن المنحنى مفتوح إلى أعلى. استعمل معادلة الدليل لتجد ) . y=k-c معادلة الدليل F(-2,7-8 y = 1,k = 4 1 = 4 - c - = 3- اطرح 4 من الطرفين. اقسم كلا الطرفين على 1 . 3 = c عوّض قيم في الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ. الصورة القياسية (xh)2=4c(y-k) h=-2, k = 4,c=3 [x-(-2)]² = 4(3)(y - 4) بسط (x+2)2 12(y-4) طول الوتر البؤري يساوي 12 = 3 × 4 = 4 ، والتمثيل البياني كما في الشكل المجاور. البؤرة (2) والمنحنى مفتوح إلى اليسار ويمر بالنقطة (25) . V(-2,4). -8-4 4 x not بما أن المنحنى مفتوح إلى اليسار، لذا فالبؤرة هي ) = (2) ، والرأس ( ) هو (1 - 2)؛ لذا استعمل الصورة القياسية لمعادلة القطع المكافئ والنقطة (25) لتجد . y - 2 = 4x - h الصورة القياسية 4 F(2, 1) V(4 -4 10 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 نقطة التماس h=2-c, k=1,x=2,y=5 بسط بسط (5-1)² = 4c [2-(2-c)] 16 = 4c (c) 4 = c2 +2 = c خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين بما أن المنحنى مفتوح إلى اليسار، فإن قيمة ، يجب أن تكون سالبة؛ لذا فإن 2 = c ، والرأس هو (41). (y-1)-8(x-4) طول الوتر البؤري يساوي 8 = |(2) × 4 = |4| ، والتمثيل البياني كما في الشكل المجاور. 1 تحقق من فهمك 4) البؤرة (6) والرأس (61) (4) الرأس (92) والدليل 12 = x 4) البؤرة (34) ، والمنحنى مفتوح إلى أسفل، ويمر بالنقطة (510) . 40) البؤرة (15) ، والمنحنى مفتوح إلى اليمين، ويمر بالنقطة (87) . يمكن رسم مماس لمنحنى القطع المكافئ عند أي نقطة عليه، وستدرس لاحقا كيفية تحديد معادلة مماس المنحنى باستعمال التفاضل. ويمكن إيجاد معادلة المماس للقطع المكافئ دون استعمال التفاضل. إرشادات للدراسة الدليل يقع الدليل في الاتجاه المعاكس لاتجاه منحنى القطع المكافئ. الفصل 4 القطوع المخروطية 50

إرشادات للدراسة معادلة مماس منحنى القطع المكافئ عند الرأس - إذا كان المنحنى مفتوحًا أفقيا، فإن معادلة المماس عند رأس القطع هي: x= h - إذا كان المنحنى مفتوحًا رأسيا، فإن معادلة المماس عند رأس القطع هي: y = k مفهوم أساسي مماس منحنى القطع المكافئ مماس القطع المكافئ عند النقطة P المغايرة لرأسه هو مستقيم يحوي أحد أضلاع مثلث متطابق الضلعين بحيث تكون: • القطعة المستقيمة الواصلة بين P والبؤرة هي أحد الضلعين المتطابقين. • القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرة ونقطة تقاطع المماس مع محور التماثل هي الضلع الثاني نقطة تقاطع المماس مع محور التماثل المماس مثال 5 كتابة معادلة مماس منحنى القطع المكافئ اكتب معادلة مماس منحنى القطع المكافئ 3 + x = y عند النقطة (72). الخطوة الأولى: أوجد إحداثيات الرأس ثم البؤرة. المنحنى مفتوح ا أفقياً . x = y2 + 3 1(x-3)=(y-0)² المعادلة الأصلية الصورة القياسية بما أن 1 = 4c فإن 0.25 = . ويكون الرأس (3) ، والبؤرة (3.250) . الخطوة الثانية : أوجد d ( وهي المسافة بين البؤرة F، ونقطة التماس (P كما يظهر في الشكلين الآتيين . P حيث d تمثل طول أحد أضلاع المثلث المتطابق الضلعين. y P(7,2) A F(3.25, 0) صيغة المسافة (x2,y2) = (7,2), (x1,y1) = (3.25, 0) d = V (x2 - x2 + (42 - 41)2 = = 4.25 -3.25)2 + (2-0)2 F محور التماثل بسط الخطوة الثالثة : أوجد A وهي نقطة نهاية الضلع الآخر للمثلث المتطابق الضلعين، وتقع على محور التماثل) بما أن 4.25 = d ، وإحداثيات البؤرة هي (3.250) ، والنقطة A تقع على محور التماثل، فإن الإحداثي x لها يقل عن الإحداثيxللبؤرة بمقدار 4.25؛ والإحداثي لا لها هو نفس الإحداثي / للبؤرة، لذا (10) = (4.25,0 – 3.25) = A . الخطوة الرابعة : أوجد معادلة المماس. تقع ا النقطتان AP على مماس منحنى القطع المكافئ. صيغة الميل معادلة مستقيم بمعلومية الميل ونقطة m = 2-0 7-(-1) y - y = m(x x m = = 1 = 2, x = 7 y - 2 = 1 (x - 7) 10 الشكل 4.1.1 خاصية التوزيع اجمع 2 إلى الطرفين إذن معادلة المماس لمنحنى 3 + 2 = x عند النقطة (72) هي 1 + 1 = y . انظر الشكل 4.1.1 y-2= y = + تحقق من فهمك y=4x²+4; (-1,8) (5A x= 5 - ; (1,-4) (5B وزارة التعليم الدرس 1-4 القطوع المكافئة 51 2024-1446

تدرب وحل المسائل حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل (23) عمارة : أنشئت قنطرة على شكل قطع مكافئ فوق بوابة سور، بحيث ارتكزت فوق عمودين وثبت مصباح عند بؤرة القطع (مثال (4) منحناه بيانيا: (مثال (1) 13.1 ft (x+1)2-12(y - 6) (2 -40(x+4)=(y - 9)2 (4 -4(y+2)=(x+8)² (6 (x-3)2 12(y-7) (1 (y-4)² = 20(x+2) (3 (y+5)=24(x-1) (5 7) لوح تزلج صمم بدر لوح تزلج مقطعه العرضي على شكل قطع مکافی معادلته 2 - 8 - 2 ، حيث x y بالأقدام. احسب المسافة بين بؤرة القطع المكافئ ودليله؟ (مثال (2) (8) قوارب يُبحر قارب في الماء تاركا وراءه أثرًا على شكل قطع مكافئ يلتقي رأسه مع نهاية القارب. ويمسك متزحلق يقف على لوح خشبي عند بؤرة القطع بحبل مثبت في القارب. ويمكن تمثيل القطع المكافئ الناتج عن أثر القارب بالمعادلة 0 = 565 + 10 + y2 - 180x ، حيث x, y بالأقدام (مثال (3) 58 ft. اكتب معادلة القطع المكافئ. افترض أن مستوى الأرض هو المحور x ، والعمود الأيسر ينطبق على المحور . مثل منحنى القطع المكافئ بيانيا. عند النقطة المعطاة: اكتب معادلة مماس منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي : (مثال (5) (x+7)²=-(y-3); (-5,-5) (24 y² = (x - 4); (24,2) (25 (x+6)² = 3(y-2); (0,14) (26 -4x=(y+5)²; (0,-5) (27 GD a) اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية. ما طول الحبل الذي يمسك به المتزحلق ؟ حدّد اتجاه فتحة منحنى القطع المكافئ في كل حالة مما يأتي: (28) الدليل 4 = y و 2 - = c اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية للقطع المكافئ، ثم حدد (29) المعادلة هي (6) - - = 2 خصائصه ومثل منحناه بيانيا (مثال (3) x2 - 17 = 8y + 399 3x²+72-72y (11 -33 = x2 - 12y - 6x 13 y²+33=-8x-23 (10 60x80=3y²+ 100 (12 -72 2y2-16y- 20x (14 30) الرأس (51) والبؤرة (53) 31) البؤرة (70) والدليل 1 = x (32) جسور يأخذ القوس أسفل الجسر شكل قطع مكافئ. وتبلغ المسافة بين البرجين الواقعين على طرفي القوس ft 208، وارتفاع كل منهما اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: ft 80. وتبلغ المسافة من قمة القوس إلى سطح الماء ft 60. (مثال (4) (15) البؤرة (97) والرأس (94) 16) البؤرة (3) والمنحنى مفتوح إلى أعلى، ويمر بالنقطة (238). (17) البؤرة (1-2) والرأس (41) 18) البؤرة (114), والمنحنى مفتوح إلى اليمين، ويمر بالنقطة (2016). (19) البؤرة (32) ، والرأس (2-1). (20) المنحنى مفتوح رأسيا ويمر بالنقاط (-12, -14), (0,2), (6,-5) 21) البؤرة (4) ، والرأس (3) (22) الرأس (3)، محور التماثل 2 = y ، طول الوتر البؤري 8 وحدات. 52 الفصل 4 القطوع المخروطية - 86.4 ft. 60 ft 208 ft. 80 ft اكتب معادلة تمثل شكل القوس مفترضًا أن مسار الطريق على الجسر يمثل المحور x ، والمحور المار بقمة القوس والعمودي على المحور x هو المحور . توجد دعامتان رأسيتان للقوس تبعدان المسافة نفسها عن رأس القوس كما هو موضح في الشكل. أوجد طول كل منهما إذا كانت المسافة بينهما .ft 86.4 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

اكتب معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته F، في كل مما يأتي: (33 (34 F(1, 0) 16x F(0.3) 0 -81 (35) تمثيلات متعددة ستكشف في هذه المسألة تغير شكل القطع المكافئ تبعًا لتغير موقع البؤرة. 39) تحد: تُعطى مساحة المقطع المظلل في الشكل المجاور بالمعادلة A = xy . أوجد معادلة القطع المكافئ إذا كانت مساحة المقطع 2.4 وحدة مربعة، وعرضه (2y) يساوي 3 وحدات. = 4cx 40) اكتب اشرح كيف تحدّد اتجاه فتحة منحنى القطع المكافئ إذا أعطيت إحداثيات بؤرته ورأسه. (a) هندسيًا : أوجد البعد بين الرأس والبؤرة لكل قطع مكافئ مراجعة تراكمية log3 27x (43 أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: (مهارة سابقة) log4 16* (42 log 164 (41 مما يأتي: y²=16(x−2)(iii y²=8(x-2) (ii y²=4(x-2) (i بيانيا : مثل منحنى كل قطع مكافئ في الفرع a بيانيا باستعمال لون مختلف لكل منها. ثم عين بؤرة كل منها. لفظيا : صف العلاقة بين شكل القطع المكافئ والمسافة بين حُلَّ كل معادلة أو متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك. الرأس والبؤرة. d) تحليليا اكتب معادلة قطع مكافئ يشترك في الرأس مع القطع المكافئ الذي معادلته (7) + 20 = 12 + x ولكنه أقل اتساعا. (مهارة سابقة) (44 82x-1=2() log 3 (-x) + log 3 (6-x)=3 (45 log 3x-3 (46 e) تحليليا كوّن تخمينا حول منحنى كل قطع مكافئ مما يأتي: (47) أوجد كلا مما يأتي إذا كان (مهارة سابقة) 5(y + 1) x2 = -2(y + 1), x2 = -12(y + (1), x2 = ثم تحقق من تخمينك بتمثيل منحنى كل منها بيانيا. مسائل مهارات التفكير العليا (36) اكتشف الخطأ مثلت صفية وميمونة المنحنى 0 = 9 + x2 + 6x - 4y بيانيا كما هو موضح أدناه. فأي التمثيلين صحيح؟ فسّر تبريرك. صفية C V=I -3, 1)+ ميمونة h(x)=16- 12 2x+3 h(-3) (a h(6x) (b h(10 2c) (c 48) إذا كان 1 = 0 sin 0 cos ، فأوجد 0 sin 0 + cos ، حيث 0 زاوية في الربع الأول. (مهارة سابقة) تدريب على اختبار (49) إذا كان x عددًا موجبا، فإن . √x5 D X C 4y 0 x وزارة التعليم 53 2024-1446 B x A 1y = -1 101 (37) تبرير: أي النقاط على منحنى القطع المكافئ هي الأقرب إلى البؤرة. فسّر تبريرك. (38) تبرير: حدّد دون استعمال الرسم أي أرباع المستوى الإحداثي لا توجد فيه نقاط يمر بها منحنى القطع 2 + 8 = 52 - ) . فسر تبريرك. (50) ما الدالة الرئيسة (الأم) للدالة الموضّح منحناها جانبًا؟ y = x2 y=x y= |x| y=√√√x c D A B الدرس 1-4 القطوع المكافئة