تحديد أنواع القطوع المخروطية - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

72 12 4-4 فيما سبق تحديد أنواع القطوع المخروطية رابط الدرس الرقمي Identifying Conic Sections الماذا؟ www.ien.edu.sa درست كتابة معادلات القطوع المخروطية على الصورة القياسية. تدور كواكب مجموعتنا الشمسية حول الشمس في مدارات على شكل قطع ناقص، في حين تنطلق المذنبات (الدروس) من 1-4 إلى (43 في مسارات قد تكون على شكل قطع مكافئ أو قطع ناقص أو قطع زائد بحيث يمثل مركز الشمس بؤرة وا الان أحدد نوع القطوع للقطع. قطع ناقص قطع مكافئ قطع زائد المخروطية من معادلاتها. الصورة العامة لمعادلات القطوع المخروطية: يمكن كتابة معادلة أي قطع مخروطي على الصورة العامة: 0 = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F ، على أن لا تساوي ,A, B جميعها أصفارًا. ويمكن تحويل هذه الصورة إلى الصور القياسية باستعمال طريقة إكمال المربع إذا كانت 0 = B. الفصل 4 القطوع المخروطية مثال 1 كتابة المعادلة العامة لقطع مخروطي على الصورة القياسية اكتب كلا من المعادلتين الآتيتين على الصورة القياسية، ثم حدد نوع القطع المخروطي الذي تمثله: 16x²-25y²-128x - 144 = 0 (a 0 = 144 - 16x2 - 25y2 - 128x المعادلة الأصلية (16)16 + 144 = 16x2 - 8x + 16 - 25y2 حلل وبسط 16(x 4)2 25y² = 400 (x-4)² 25 y² = 1 16 بما أن المعادلة على الصورة 1 = (x-h)2 (y-k)² a² b2 مربع كامل اقسم كل حد على 400 فإنها معادلة قطع زائد مركزه (40). x²+4y²-6x-7=0 (b المعادلة الأصلية 42 + x 2 - 6x ) جمع الحدود المتشابهة x2 + 4y2 - 6x - 7 = 0 = 7 9+ 7 = 42 + (9) + x2 - 6x أكمل المربع 42 + 32 - حلل وبسط اقسم كلا الطرفين على 16 = 16 (x-3)² 16 y² + = 1 4 فإنها معادلة قطع ناقص مركزه (30) . (x-h)² a² ( - 2 + 62 بما أن المعادلة على الصورة 1 = تحقق من فهمك 1) اكتب المعادلة 0 = 4 - 4x2 + y2 - 16x + 8y على الصورة القياسية، ثم حدد نوع القطع المخروطي الذي تمثله. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تحديد أنواع القطوع المخروطية يمكنك تحديد نوع القطع المخروطي دون أن تكتب المعادلة: 0 = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F على الصورة القياسية، وذلك باستعمال المميز B2 - 4AC. مراجعة المفردات. المميز تذكر أن مميز المعادلة التربيعية 0 = ax 2 + x + c هو 4ac - 42 . تصنيف القطوع المخروطية باستعمال المميز مفهوم أساسي نوع القطع المخروطي قطع مكافئ قطع ناقص دائرة قطع زائد المميز B2 - 4AC = 0 B² – 4AC < 0, A ‡ C 9°˚B ± 0 B2-4AC <0, B = 0, A = C B2 - 4AC > 0 يكون القطع أفقيًا أو رأسيًا عندما 0 = B ، أما إذا كانت 0 B ، فلا يكون القطع أفقيا ولا رأسيًا. قطع ناقص أفقي : 0 = B قطع ناقص ليس رأسيًا ولا أفقيا : 0 B 28 188-2 245 7x+(6√3)x+132+(-16)-0 0.2 b2 1.5] 7x2 - 63xy + 13y2 - 16 = 0 2.5 188-1 1.54 x²+4y²+(-4)-0 1.51 x 2 + 4y2 - 4 = 0 مثال 2 تحديد نوع القطع المخروطي من معادلته حدد نوع القطع المخروطي الذي تمثله كل معادلة مما يأتي، دون كتابتها على الصورة القياسية: y2 + 4x2 - 3xy + 4x - 5y - 8 = 0 (a A 4, B=-3, C = 1 المميز يساوي 7- = (1)(4) - 32). ولأن المميز أصغر من الصفر 0 B، فإن المعادلة تمثل قطعا ناقصا. 3x²-6x+4y-5y²+2xy -4=0 (b A 3, B2, C = -5 المميز يساوي 64 = (5)(3)4 - 22 ولأن المميز أكبر من الصفر، فإن القطع زائد. 4y2 - 8x + 6y - 14 = 0 ( A = 0, B = 0, C = 4 المميز يساوي 0 = (4)(0)4 - 02 ولأن المميز يساوي صفرًا ، فإن المعادلة تمثل قطع مكافئ. تحقق من فهمك ، تمثله كل معادلة مما يأتي دون كتابتها على الصورة القياسية: حدد نوع القطع المخروطي الذي تـ وزارة التعليم الدرس 4-4 تحديد أنواع القطوع المخروطية 73 2024-1446 8y2 - 6x2 + 4xy - 6x + 2y - 4 = 0 (2 3xy + 4x2 - 2 y + 9x - 3 = 0 28 3x2 + 16x - 12y + 2y2 - 6 = 0 (2

6 -4- -2 01 1/ (14) y (15 12. 10 8- -6- تدرب وحل المسائل اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القياسية، ثم حدد نوع القطع المخروطي الذي تمثله. (مثال (1) x2 + 4y2 - 6x + 16y - 11 = 0 (1 x2 + y2 + 12x - 8y + 36 = 0 (2 92 - 16x2 - 18y - 64x - 199 = 0 (3 6y2 - 24y + 28 - x = 0 (4 حدد نوع القطع المخروطي الذي تمثله كل معادلة مما يأتي، دون كتابتها على الصورة القياسية (مثال (2) 10 4 6 8 10 12x 4 x2 + 12 - 8x - 4y = -4 (a 9x2 - 16y2 - 72x + 64y = 64 (b 9x2 + 16y2 = 72x + 64y - 64 مع قابل بين كل حالة في التمارين 19-16 المعادلة تمثلها من a-d التي : 4x2 - 5y = 9 x - 12 (5) 5y2 = 2x + 6y - 8 + 3x2 (6) 8x28y2 +16x+ 24 = 0 (7 4x2 - 6y = 8x + 28 4x2 - 3y2 + 8xy - 12 = 2x + 4y (9 5xy - 3x2 + 6y2 + 12y = 18 (10 16xy + 8x2 + 10y2 - 18x + 8y = 13 (11 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (12) طيران في أحد عروض الطيران يمكن تمثيل مسار طائرة نفاثة خلال جولة واحدة بقطع مخروطي وفق المعادلة 0 = 45600 - 24x2 + 1000y - 31680 x، وقد حددت الأبعاد بالأقدام. حدّد شكل منحنى القطع الذي يمثل مسار الطائرة، ثم اكتب معادلته على الصورة القياسية. 47.25x2 - 9y2 + 18y + 33.525 = 0 ( 25x2 + 100y2 – 1900x - 2200y + 45700 = 0 ( 16x2 - 90x + y - 0.25 = 0 ( x2 + y2 - 18x - 30y - 14094 = 0 (d (16) حاسوب: حدود شبكة لاسلكية مداها 120ft. إذا بدأت الطائرة بالصعود عند 0 = x ، فما المسافة الأفقية التي 17) لياقة المسار البيضي لقدميك على جهاز التمرين. تقطعها من بداية صعودها إلى نهاية هبوطها ؟ ما أقصى ارتفاع تصل إليه الطائرة؟ قابل بين المنحنيات أدناه والمعادلة التي تمثل كلًا منها: (13 -41 -2- 18) اتصالات موقع هاتف محمول بين عمودي إرسال. 19) رياضة: ارتفاع كرة قدم عن الأرض بعد ركلها. (20) و تمثيلات متعددة : افترض أن مركز قطع ناقص (32) وأحد رأسيه (12) ، وأحد الرأسين المرافقين (34) a تحليليا : أوجد الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص جبريًا حوّل المعادلة في الفرع إلى الصورة . Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 بيانيا : مثل معادلة القطع الناقص بيانيا. 10 الفصل 4 القطوع المخروطية 74

مسائل مهارات التفكير العليا (21) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائما، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدا . "عندما يكون القطع رأسيَّا، وتكون A = C ، فإن القطع دائرة". (22) مسألة مفتوحة اكتب معادلة على الصورة تدريب على اختبار حُلَّ كل معادلة من المعادلتين الآتيتين: (مهارة سابقة) log4 8n + log4 (n-1)=2 (29 log, 9p+ log, (p + 8) = 2 (30 0 = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F ، بحيث يكون (31) سؤال ذو إجابة قصيرة: حدد ما إذا كانت المعادلة A = C ، وتُمثل المعادلة قطعا مكافتًا. (23) اكتب اكتب أوجه الشبه والاختلاف بين منحنيات القطوع المخروطية ومعادلاتها. مراجعة تراكمية 24) فلك: افترض أنه يمكن تمثيل مسار مُذَنّب بفرع من قطع زائد معادلته 1 = x2 400 225 . أوجد كلا من الرأسين والبؤرتين ومعادلتي خطي التقارب للقطع الزائد، ثم مثل المعادلة بيانيا (الدرس 3-4) حدد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا (الدرس (2-4) 12 = 5 + 3x 2 + 6xy + 32 - 4x تمثل قطعا مكافيًا أو دائرة أو قطعاً ناقصًا أو قطعا زائدا دون كتابتها على الصورة القياسية. (32) اختيار من متعدد ما المعادلة التي تمثل قطعا مكافئًا رأسه عند النقطة (22) ، ويمر بالنقطة (0) ؟ y = x2 - 4x + 6 A y = x2 + 4x - 6 B D y = - x2 - 4x + 6 y = - x2 + 4x - 6 18 +쯤. + = 1 (25 4x2 + 8y2 = 32 (26) x2 + 25y2 - 8x + 100y + 91 = 0 (27) 28) فلك : أقرب مسافة بين مركز الشمس والأرض في مسار دورانها 91.8 مليون ميل. أما أبعد مسافة فتساوي 94.9 مليون ميل. اكتب معادلة تمثل مدار الأرض حول الشمس باعتبار أن مركز المدار هو نقطة الأصل، وأن الشمس تقع على المحور x (الدرس (2-4) 94.9 91.8 الشمس وزارة التعليم الدرس 4-4 تحديد أنواع القطوع المخروطية 75 2024-1446