المساحة تحت المنحنى والتكامل - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

www.icn.edu.sa المساحة تحت المنحنى والتكامل Area Under the Curve and Integration 8-5 فيما سبق. درست حساب النهايات جبريًا باستعمال لماذا ؟ خصائصها. (الدرس (82) التكلفة الحدية (الهامشية) هي التكلفة الإضافية المترتبة على والات إنتاج وحدة إضافية واحدة من منتج ما، ويمكن إيجاد معادلة التكلفة الحدية باشتقاق معادلة التكلفة الحقيقية للمنتج. تُمثل الدالة f(x) = 10 - 0.002 x التكلفة الحدية لطباعة x نسخة منحنى دالة باستعمال أقرب المساحة تحت مستطيلات. أجد المساحة تحت منحنى دالة باستعمال التكامل المحدد. المفردات التجزيء المنتظم regular partition التكامل المحدد definite integral الحد الأدنى lower limit من كتاب ما بالريال . السيل الجزار المساحة تحت منحنى سبق أن درست في الهندسة طريقة حساب مساحات الأشكال الأساسية كالمثلث والمستطيل وشبه المنحرف، كما درست حساب مساحات بعض الأشكال المركبة التي تتكون من أشكال أساسية، إلا أن العديد من الأشكال المركبة لا تتكون من أشكال أساسية، مما يستدعي الحاجة إلى طريقة عامة لحساب مساحة أي شكل ثنائي الأبعاد. يمكننا تقريب مساحة شكل غير منتظم من خلال استعمال شكل أساسي معلوم المساحة كالمستطيل. فمثلًا يمكننا تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى 12 + x) = x) أو المحور x على الفترة [12] باستعمال مستطيلات متساوية العرض. الحد الأعلى upper limit مجموع ريمان الأيمن مثال 1 المساحة تحت منحنى باستعمال مستطيلات right Riemann sum التكامل integration تاريخ الرياضيات قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = x + 12x والمحور x على الفترة [012] باستعمال 4، 6، 12 مستطيلا على الترتيب. استعمل الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. مثل الدالة والمستطيلات كما في الأشكال التالية، باتباع الخطوات التالية: 1) أوجد طول الفترة [12 0 بطرح بدايتها من نهايتها. (2) أوجد عرض كل مستطيل بقسمة طول الفترة على عدد المستطيلات، فمثلًا إذا كان عدد المستطيلات 4 نقسم: 3 = 4 : 12 (3) قسم الفترة [12] إلى 4 فترات الأربعة مستطيلات) طول كل منها يساوي 3 4) ارسم على كل فترة جزئية مستطيلا أحد بعديه يساوي طول هذه الفترة، والبعد الآخر يساوي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن للفترة. ثابت بن قرة (221 هـ - 288 هـ) فمثلا ارتفاعات المستطيلات في الشكل (1) هي (12) f (6), f (9), f ,(3). ويمكننا استعمال ارتفاعات من أوائل من وضع نواة علم التكامل من خلال نظريته" إذا ضوعف عدد أضلاع المضلع المنتظم، المرسوم بين محيطين أو مساحتين إلى ما لا نهاية، صغر الفرق تدريجيا بين الأضلاع كلما اقترب من المركز واقترب من الصفر حتى يفنى". المستطيلات وأطوال قواعدها لتقريب المساحة المطلوبة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 122

32 32 32- 24 24 24- 16- 8- 16- 8- 16- 8- 아 아 아 x 48 12 4 8 12 4 12 8 الشكل (1) الشكل (2) الشكل (3) المساحة باستعمال 4 مستطيلات المساحة باستعمال 6 مستطيلات المساحة باستعمال 12 مستطيلا R1 = 1. f(1) = 11 R1 = 2 0 (2) = 40 R2 = 1. f(2) = 20 R1 = 3 • f(3) = 81 R2 = 20 f(4) = 64 Rg = 1. f(3) = 27 Rg = 2 . f(6) = 72 R2 = 3 • f(6) = 108 R = 1. f(4) = 32 R = 2 . f(8) = 64 R = 3 . f(9) = 81 Rs = 1. f(5) = 35 R = 2 . f(10) = 40 R = 3 . f(12) = 0 R = 1. f(6) = 36 R = 2 . f(12) = 0 R, = 1. f(7) = 35 المساحة الكلية 280 وحدة مربعة. المساحة الكلية 270 وحدة مربعة. Rg = 1. f(8) = 32 Rg = 1. f(9) = 27 R10 = 1. f(10) = 20 R = 1. f(11) = 11 R12 = 1. f(12) = 0 إرشاد تقني جداول: للحصول على ارتفاعات متعددة للمستطيلات والتي تمثل بعض قيم (f(x باستعمال الآلة الحاسبة البيانية، مثل الدالة باستعمال تطبيق الرسوم البيانية، وذلك بالضغط على on ثم كتابة الدالة f(x) = x2 ويمكن توضيح المساحة الكلية 286 وحدة مربعة. أي أن المساحة التقريبية باستعمال ،4 ، 6 ، 12 مستطيلا هي بالترتيب: 270 وحدة مربعة، 280 وحدة مربعة، 286 وحدة مربعة. تحقق من فهمك 1) قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى 24 + f(x) = x2 والمحور x على الفترة [024] باستعمال 6، 8، 12 مستطيلا على الترتيب. استعمل الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. ارتفاعات المستطيلات (f(x لاحظ أن المستطيلات الأقل عرضًا تمثل المساحة المطلوبة بصورة أفضل، وتعطي تقريبا أدق للمساحة الكلية. وكما استعملنا الأطراف اليمنى لقاعدة مستطيل لتحديد ارتفاعاتها ، فإنه يمكننا أيضًا استعمال أطرافها اليسرى لتحديد باستعمال جدول وذلك بالضغط على menu ومنها اختيار 7 : الجدول ارتفاعاتها وهذا قد ينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. إن استعمال الأطراف اليمني أو اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها قد يؤدي إلى إضافة أجزاء لا تقع بين المنحنى والمحور x ، أو حذف أجزاء تقع بين المنحنى والمحور x . ومن الممكن الحصول على تقريب أفضل 1 اظهار الجدول في شاشة جانبية (1 + 10 للمساحة في بعض الأحيان باستعمال كل من الأطراف اليمنى واليسرى لقواعد المستطيلات ، ثم أخذ الوسط 09 025 1. 15 2 25 625 -405 by -2,11 ويمكنك تعديل فترات قيم في الجدول بالضغط على menu ومنها 20 الجدول للتقريبين. مثال 2 المساحة تحت المنحنى باستعمال الأطراف اليمنى واليسرى للمستطيلات قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = x2 والمحور x في الفترة [04] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة . استعمل الأطراف اليمنى ثم اليسرى للمستطيلات لتحديد ارتفاعاتها ، ثم احسب الوسط للتقريبين. إن استعمال مستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة ينتج عنه 4 مستطيلات سواء أكانت الأطراف اليمني أو 5 تحرير إعدادات الجدول.... اليسرى للمستطيلات هي التي تحدد ارتفاعاتها. ويوضح الشكل (1) المستطيلات باستعمال الأطراف اليمني، في ثم حدد بداية الجدول والخطوة أو تدريج قيم X. حين يوضح الشكل (2) المستطيلات باستعمال الأطراف اليسرى. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5- المساحة تحت المنحنى والتكامل 201236

16 12- 1 2 3 4 16 12- 8- 4 x 1 4 3 2 الشكل (1) المساحة باستعمال الأطراف اليمني الشكل (2) المساحة باستعمال الأطراف اليسرى R1 = 1. f(0) = 0 R2 = 10f(1) = 1 R = 1. f(2) = 4 R = 1. f(3) = 9 R1 = 1. f(1) = 1 R2 = 1. f(2) = 4 Rg = 1. f(3) = 9 R = 1. f(4) = 16 قراءة الرياضيات رمز المجموع تقرأ العبارة x) Ax) 1-1 كالآتي مجموع حواصل المساحة الكلية 30 وحدة مربعة المساحة الكلية 14 وحدة مربعة أي أن المساحة الناتجة عن استعمال الأطراف اليمنى هي 30 وحدة مربعة، بينما المساحة الناتجة عن استعمال الأطراف اليسرى هي 14 وحدة مربعة، وهذان تقديران تقع المساحة بينهما، وبحساب الوسط للقيمتين نحصل على تقريب أفضل للمساحة، وهو 22 وحدة مربعة. تحقق من فهمك 12 (2) قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى = = (f(x والمحور x في الفترة [15] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة . استعمل الأطراف اليمني ثم اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها، ثم احسب الوسط للتقريبين. عند تقریب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x ، فإنه يمكننا استعمال أي نقطة على قاعدة المستطيل لتحديد ارتفاعه، إلا أن النقاط الأكثر شيوعًا هي نقطئا الطرفين الأيمن والأيسر، ونقطة المنتصف. التكامل لاحظت في مثال 1 أنه كلما قل عرض المستطيلات، فإن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى، ومن ، ذلك نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلات عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر. في الشكل المجاور، قسمت الفترة من 4 إلى 6 إلى 1 من الفترات الجزئية المتساوية الطول، وتُسمى هذه التجزئة التجزيء المنتظم. إن طول الفترة الكلية من a إلى b هو b - a ، وبذلك يكون طول كل فترة جزئية (عرض كل مستطيل b-a ضرب (f(x في x من من المستطيلات التي عددها (1) هو " ، ويُرمز له بالرمز x 4. وبما أن ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل، فإن 1 = i إلى " = i ارتفاع المستطيل الأول هو (f(x، وارتفاع المستطيل الثاني هو (2) f ( x ، وهكذا : يكون ارتفاع المستطيل الأخير (f(x Ax f(x₁) a xxzxz b=x x X-1 يمكن الآن حساب مساحة كل مستطيل من خلال ضرب Ax في ارتفاع ذلك المستطيل، أي أن مساحة المستطيل الأول هي f(x) x ومساحة المستطيل الثاني هي f(x) Ax ، وهكذا. وتُعطى المساحة الكلية A للمستطيلات بمجموع مساحاتها، ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع. + f(x)dx + ۰۰۰ + A = f ( x )x + f ( x ) x اجمع المساحات [(A = Axlf(x) + ( x ) + ... + f(x أخرج العامل المشترك Ax " (A = Ax f(x استعمل رمز المجموع 11 i=1 A = f(x) Ar خواص رمز المجموع i=1 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 124

ولتسهيل الحسابات مستقبلا، فإنه يمكننا اشتقاق صيغة لإيجاد أي .. فبما أن عرض أي من المستطيلات هو ۵x ، ويساوي الفرق بين أي قيمتين متتاليتين من قيم .. وبالنظر إلى خط الأعداد أدناه: a Ax a+Ax Δε + X3 a+3Ax a+ iAx Xn a+nax قراءة الرياضيات رمز التكامل المحدد يرا الرمز frands التكامل من » إلى للدالة (f(x بالنسبة لـ x يمكننا ملاحظة أن x = a + ix . ولهذه العلاقة أهميتها عند إيجاد المساحة تحت منحنى أي دالة لاحقا. لاحظ أنه كلما اقترب عرض المستطيل من الصفر، فإن عدد المستطيلات يقترب من المالانهاية، وتُسمى هذه النهاية التكامل المحدد، ويعبر عنها برمز خاص. مفهوم أساسي التكامل المحدد يُعبر عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x في الفترة [ a, b ] بالصيغة 17 S" f(x)dx= #1-00=1 " تنبيه المجموع إن مجموع عدد ثابت ، حيث a الحد الأدنى و b الحد الأعلى، وتُسمى هذه الطريقة مجموع ريمان الأيمن. شمي مجموع ريمان بهذا الاسم نسبةً للعالم الألماني بيرنارد ريمان (1866 - 1826) والذي يُعزى إليه إيجاد صيغة لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات. ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال الأطراف اليسرى أو نقاط المنتصف التحديد ارتفاعات المستطيلات. هو C ، فمثلاً 5 = 5 وتسمى عملية حساب التكامل تكاملا، وستسهل صيغ المجاميع الآتية حساب التكامل المحدد. i-1 16- 12 C=cn " n(n + 1) = 2 c عدد ثابت n(n + 1)(2n + 1) 6 " " = n²(n + 1)² 4 65+15n+10n³-n 30 5 = 2 + 65 + 514 - 12 12 i=1 تُستعمل خاصيتا المجموع الآتيتان لحساب بعض التكاملات: مثال 3 12 И c عدد ثابت , La = ci i=1 (at b = a + b i=1 i=1 المساحة تحت منحنى باستعمال التكامل استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = x2 والمحور x في الفترة [04] ؛ أي x2 dx ) . ابدأ بإيجاد x ، ۵x . صيغة Ar b = 4,a = 0 =b-a Ar= 11 -4-0-1 = 1 3 2 4 صيغة x a = 0, Ax = x₁ = a + i Ax = 0 + 14 = 1 احسب التكامل المحدد الذي يُعطي المساحة المطلوبة. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5- المساحة تحت المنحنى والتكامل 201256

= lim f(x)Ax 11-0 i=1 تعريف التكامل المحدد x² dx = 1 f(x) = x² x;=,Ax= خصائص المجموع وزع القوة x) Ar) کے lim = 71-8 i=1 = lim ()(4) = lim (4) 11-0011 = lim 11-011 12 1612 2 11 16 خصائص المجموع = lim 11-0011 11" i=1 n(n+1)(2n+1) 6 16 n(n+1)(2n+1) = lim 11-0011 اضرب ووزع اضرب القسم حلل اقسم على 12 خصائص النهايات 11 = lim 4 16n (2n² + 3n+ 6n2 11-0011 64n(2n² + 3n+1) = lim 11-∞ 613 = lim 11-x 64(21² + 3n+1) 6n² = lim 11-06 64 2n2+ 3n+1 112 = lim + + 9x+11 lim lim 2 + (lin (3) (lim - 113006 11-00 = 64 [2 + 3(0) + 0]= 64 = =21.33 + lim 11-0 أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 21.33 وحدة مربعة تقريبًا. تحقق من فهمك استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 dx (3B 3x² dx (3A 3x²d يمكننا أيضًا حساب مساحات المناطق باستعمال النهايات حال كون نقطة الأصل ليست حدا أدنى لها. إرشادات للدراسة النهايات حلل كل مجموع بحيث تتضمن العبارات الباقية إما أعدادا ثابتة أو ا فقط ثم طبق صيغة المجموع المناسبة. الفصل 8 النهايات والاشتقاق 126

تنبيه النهايات عند تقريب مساحة المنطقة تحت المنحنى باستعمال المجاميع، أوجد مجاميع قيم ، قبل توزيع Ax أو أي ثوابت أخرى. مثال 4 المساحة تحت منحنى باستعمال التكامل استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 4x3 والمحور x ، في الفترة [13] ؛ أي dx 43 ابدأ بإيجاد x ، ۵x . صيغة Ax b = 3,4 = 1 صيغة : Ax = b-a 11 = 3-1 = 2 x = a + i Ax = 1 + 1 = 1 + a = 1, Ar= احسب التكامل المحدد والذي يُعطي المساحة المطلوبة. تعريف التكامل المحدد 100- y=4x³ Of 1 2 3 50 dx = lim Σf(x)Ax [4x³ dx= f(x)=4(x)³ =+=+ خصائص المجموع مفكوك " ( + 1) = 11-00 i=1 = lim 4(x)³ Ax 12-00 i=1 lim = lim = lim 11 i=1 12 i=1 4(1+2)³ (2) (1+2+)³ - LiΣ[1 + 3(24) + 3(2)² +(24)³] 6i 1212 813) 1+ + + = lim 11-0012 n 11 71 = lim i=1 i=1" 12 12/2 •m!»«£•£5-£5) = lim & 1 + 4 i + . 1100 11 (i=1 i=1 n =1 = lim n+ 6 n(n+1) 12 n(n+1)(2n+1) + . + 11-0011 11 2 6 8 (n+1)21 n³ 4 = lim 81 48n(n+1) + + 11-0 n 212 96n(2n² + 3 + 1) 613 + 64112(2+2n+1) 4n+ = lim 8 + 11-0 24(1+1) 16(2² + 3n+1) 16(n² + 211 + + + 11 112 n² = lim 12-00 [8 + 24(1+1)+16 (2+ 3 + +16 1+ 12 11 11 +) 11-00 11-0 = lim 8 +24 lim (1+1) + 16 lim 11-∞ +16 lim (1++) =8+24(1+0) + 16(2+0+0) + 16(1 + 0 + 0) = 80 n 3 + + 11 114 بسط خصائص المجموع خصائص المجموع صيغ المجموع وزع واضرب بسط اقسم خصائص النهايات بسط أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 80 وحدة مربعة. تحقق من فهمك استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: Lot de x² dx (4A x3dx (4B وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5- المساحة تحت المنحنى والتكامل 201276

10- 8 6 2 المساحة تحت منحنى مثال 5 من واقع الحياة بلاط: يكلف تبليط القدم المربعة الواحدة من فناء منزل بالجرانيت 22.4 ريالا. إذا تم تبليط ممرين متطابقين في فناء المنزل بالجرانيت، وكانت المساحة بالقدم المربعة لأي من الممرين تُعطى بالتكامل f(x)=10-0.1x2 ، فما تكلفة تبليط الممرين؟ 10 (10-0.1x2) dx f that Jo الربط مع الحياة الجرانيت الجرانيت هو صخر ناري يتميز بنسيج خشن يكسبه مظهرا فريدا وهو مقاوم العوامل الأكسدة لذلك يستعمل في تبليط الأرضيات. ابدأ بإيجاد x ، ۵ x Ax=b-a 11 10-0 10 صيغة Ax 2 4 6 8 a = 0, b = 10 = 11 n صيغة ا a=0, Ax= 10 x₁ = a + i Ax =0+100 10i = 11 تعريف التكامل المحدد f(x) = 10 -0.1x,² x=10, Ax= 10 استعمل خصائص المجموع وبسط خصائص المجموع خصائص المجموع صيغ المجموع خاصية التوزيع اقسم على " 10 احسب التكامل المحدد والذي يُعطي المساحة المطلوبة. 11 (10-0.1x²) dx = lim f(x)Ax i=1 12 = lim (10 0.1x,²) Ax 11-00 = lim 12 -10-01 (2) = lim 11-0011 = lim 10 1100+11 Σ (10 - 10/²) i=1 11 i=1 10- i=1 10 11 10 = 10 11-0011 (3-3) 10. (n+1)(2n+1) 12 6 100n(2n2+ 3n+1) = lim 10n - 1100-11 = lim 100n 11-00 n 613 = lim 100 11-001 = lim 11-00 50(2n2+3+1) 3n² [100 - 20 (2+) - .50 lim 11 + - lim 100 - 31um 2 + 20 3lim = 11-00 + 11 = 100-50 (2 + 0 + 0) = 66 = 66.67 اقسم على 12 خصائص النهايات بسط أي أن مساحة أي من الممرين تساوي 66.672 تقريباً؛ لذا فإن تكلفة تبليط الممرين هي 2 66.67 x 22.4 ريال أو 2986.8 ريالا تقريباً. تحقق من فهمك (5) طلاء لدى عبد الله كمية من الطلاء تكفي لطلاء 30ft2 ، هل تكفي هذه الكمية لطلاء جزأين من جدار مساحة كل منهما بالقدم المربعة تُعطى بالتكامل 0.2x2)dx – 5 ؟ بر إجابتك. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 128

(9) العرض 0.5 v = 0.5x2 - 4x 2 + x +5 12 8- 4 4 2 6 تدرب وحل المسائل قرب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة مستعملا الطرف المعطى 8) العرض 0.75 لتحديد ارتفاعات المستطيلات المعطى عددها في كل من الأشكال أدناه: (مثال (1) 1) 5 مستطيلات الطرف الأيمن (2) 4 مستطيلات الطرف الأيسر y = - x2 + 6x - 4 y= y = - x2 + 12x - 4 32 24 16- 8- 어 8 4 12 استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: (المثالان 3.4) 6x dx (11 Jo √(4x-x²)d x²) dx (13 -3x+15) dx (15 L 4x² dx (10 +3) dx (12 L2+3 +6x) dx (14 ₤12x dx 12x dx (17 . x + 1) dx (16 2 (4) 5 مستطيلات الطرف الأيمن 1 2 12 x 2 6 4 (3) 8 مستطيلات الطرف الأيمن 10 8 4 아 4 2 6 (5) أرضيات يرغب أحمد في تبليط جزء من فناء منزله على شكل نصف دائرة تمثله f(x) = ( x + 10x0.5 . (مثال (1) 18 طباعة: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس . إذا زاد عدد a) قرب مساحة المنطقة نصف الدائرية باستعمال الأطراف اليسرى الكتب المطبوعة يوميًا من 1000 كتاب إلى 1500 كتاب، فأوجد قيمة المستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة. إذا قرر أحمد تقريب المساحة باستعمال الأطراف اليمني واليسرى معا كما في الشكل أدناه ، فكم تكون المساحة ؟ f(x) = (-x2 + 10x) 0.5 2 4 8 6 10 أوجد مساحة المنطقة باستعمال صيغة مساحة نصف الدائرة. أي التقريبين أقرب إلى المساحة الحقيقية؟ فسر إجابتك. قرب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى الدالة في كل من الأشكال الآتية تكلفة الزيادة والمعطاة بالتكامل 1500 (10 - 0.002x) dx (مثال (5) (19) يمكن حساب التكاملات المحددة عندما يكون أحد حدي التكامل موجبا والآخر ساليا. أوجد طول قاعدة وارتفاع المثلث ثم مساحته باستعمال قانون مساحة المثلث. أوجد مساحة المثلث بحساب Lx+2) التكامل d x (2) + y=x+2 x = 2 0 مستعملا الأطراف اليمني ثم اليسرى؛ لتحديد ارتفاعات المستطيلات استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة المعطى عرض كلّ منها، ثم أوجد الوسط للتقريبين (مثال 2 ) والمحور x والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: L+24 + 2) dx (21 -2 وزارة التعليم Ministry of Education -5x dx (23 L-3xdx (x32x) dx (25 Len x2dx (20 6 6x) dx (22 4 (2x+6) dx (24 [Qx + 6) a الدرس 5- المساحة تحت المنحنى والتكامل 201296 (7) العرض 0.5 y=-x-4+5 Of 2 2 (6) العرض 0.5 : 2x

استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x ، والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: (-2x²-7x) dx (26 2 dx (28 fate 21 (-x³) dx (27 +3) dx (29 مراجعة تراكمية أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (الدرس 4-8) j(x) = (2x3 + 11x)(2x-12x2) (36 f(k) = (k15+k² + 2k)(k - 7k²) (37 s(t) (√-7)(38 - 5t) (38 = (30) تمثيلات متعددة سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. (a) بيانيا : مثل منحني f(x) = المستوى الإحداثي نفسه، وظلل المساحتين اللتين يمثلهما التكاملان 2dx 2 + 4,8(x) = x2 في أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عندما 1 = x : (الدرس (3-8) 2 + 4) dx, f(x² d √(x²+4) م تحليلها، احسب dx, x2 dx 4 + 2 y = x3 (39 y = x3 - 7x2 + 4x + 9 (40) y=(x+1)(x2) (41 لفظيًا، وضّح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين أوجد كل نهاية مما يأتي (إن وجدت) (الدرس 2-8) المنحنيين مساوية لـ x² dx - - x 2 + 4 dx - . ثم ا . ثم احسب هذه القيمة باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع b . Lino-80 d تحليليا أوجد (x) - (x) ، ثم احسب x)dx) لفظيا : خمن طريقة إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين x2 + 3x lim x (42) x-0 x2 - 3x + 2 lim (43 x-1 x-1 lim (44 x-3x3-27 منحنيين. تدريب على اختبار مسائل مهارات التفكير العليا 31 اكتشف الخطأ سُئل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات، فأجاب ماجد: إنه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات اليمني، فإن المساحة الناتجة تكون أكبر دائما . من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. في حين أجاب خالد إن المساحة المحسوبة باستعمال أطراف المستطيلات اليسرى تكون أكبر دائمًا من ! المساحة الحقيقية تحت المنحنى أيهما كانت إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك. (32) تبرير افترض أن المقطع الرأسي العرضي لنفق يُعطى بالدالة . اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال x)dx) ، ح d عرض النفق، إذا كان طوله معلوما. برر إجابتك (33) اكتب اكتب ملخصا للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x على فترة معطاة. (34) تحد: أوجد d x (2) + -[(x²+2)(34 (35) اكتب وضّح إمكانية استعمال المثلثات أو الدوائر في تقريب المساحة تحت المنحنيات. أي الشكلين يعطي تقريبا أفضل برأيك؟ (45) ما مساحة المنطقة المحصورة بين 6 + y = - x - 3x والمحور x ، في الفترة [26] ؟ 93.33 وحدة مربعة تقريبا 90 وحدة مربعة تقريبًا 86.67 وحدة مربعة تقريبا 520 وحدة مربعة تقريبًا 3 + 5 4 146 الي مما يأتي بمثل مشكلة الله - - - 1 - (۲۸۵ . n'(a) 8a 5a² + 3a4 A = - n'(a) = 402 - 5a 3 + 31 + 4 B 5 4 3 - 3 +4 C 5 a 10 12 - +4 D (47) ما قيمة. A B n'(a) = + a² 4 n'(a) = == + a² x2 + 3x - 10 x-3x²+5x+6 lim n(a) = a 130 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446