حساب النهايات جبريا - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

حساب النهايات جبريا . رابط الدرس الرقمي www.icn.edu.sa f(x) =k k 0 -- x f(x)=x C x Evaluating Limits Algebraically 8-2 فيما سبق. درست كيفية تقدير النهايات لماذا ؟ بيانيا وعدديا (الدرس 81) إذا أعطيت اتساع البؤبؤ بالملمترات لعين حيوان بالعلاقة 2 والأثري 152x-0.45+85 4x-0.45+10 حيث x الاستضاءة الساقطة على البؤبؤ مقيسة بوحدة اللوكس (lux)، sd(x): = فإنه يمكنك استعمال النهاية عندما تقترب x من 0 أو ه لإيجاد اتساع البؤبؤ أجد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية عندما تكون الاستضاءة في حدها الأدنى أو الأعلى. عند قيم محددة. حساب النهاية عند نقطة : تعلمت في الدرس 1- 8 تقدير النهايات بيانيا، أجد نهايات دوال كثيرات وباستعمال جداول قيم . وستكتشف في هذا الدرس طرائق جبرية لحساب الحدود والدوال النسبية عند المالانهاية . المفردات التعويض المباشر النهايات. مفهوم أساسي نهايات الدوال نهايات الدوال الثابتة التعبير اللفظي : نهاية الدالة الثابتة عند أي نقطة هي القيمة الثابتة للدالة. الرموز lim k = k نهايات الدالة المحايدة التعبير اللفظي: نهاية الدالة المحايدة عند النقطة ، هي C . lim x = c الرموز direct substitution الصيغة غير المحددة indeterminate form تنبيه إذا كانت 0 ≥ (ع)f و n عددًا زوجيا فإن (Lim fx غير موجودة. تظهر أهمية نهايات الدوال الثابتة والدالة المحايدة واضحة في خصائص النهايات. مفهوم أساسي C خصائص النهايات إذا كان عددين حقيقيين " عددًا صحيحًا موجبًا، وكانت النهايتان (lim g (x), im (x موجودتين فإن كلا من الخصائص الآتية صحيحة: XIC lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x-c lim [f(x) g(x)] = lim f(x) - lim g(x) X-C X-C x-c خاصية المجموع: خاصية الفرق: خاصية الضرب في ثابت (lim [k f(x)] = k lim f(x lim [f(x) g(x)] = lim f(x) . lim g(x) lim ، حيث 0 (lim g(x f(x) (x) lim f(x) lim g(x) X-C خاصية الضرب خاصية القسمة : خاصية القوة : خاصية الجذر النوني lim [f(x)]" = [lim f(x)]" x-c lim f(x) > 0¿slim √√f(x) = lim f(x) x-c عدد زوم وإذا كان 1 عددًا فرديًا، فإن (lim ( = i (x ، وزارة التعليم Mi الدرس - حساب النهايات جبريا 20956

10 مثال 1 استعمال خصائص النهايات استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: lim (x2 - 6x + 3) (a x-4 3 lim (x2 - 6x + 3 = lim x2 - lim 6x + lim خاصيتا المجموع والفرق x-4 x-4 خاصيتا القوة والضرب في ثابت نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة بسط f(x) = x2 - 6x + 3 خاصية القسمة خاصيتا المجموع والفرق خاصيتا القوة والضرب في ثابت نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة بسط x-4 = x-4 - 60 lim x + lim 3 x-4 x-4 =42-6.4+3 =-5 تحقق يعزز التمثيل البياني للدالة 3 + f(x) = x2 - 6x هذه النتيجة. +1 lim x-2x-5 x-2 = = lim 4x3 + 1 (b x-2 x 5 lim (4x3 + 1) lim (x - 5) 1-2 lim 4x3 + lim 1 3-2 x-2 lim x lim, 5 x-2 X--2 4( lim x)³+ lim 1 1-2 lim x - lim5 X--2 4(-2)3+1 x-2 -2-5 ≈ 4.4 تحقق كون جدولا لقيم x التي تقترب من 2 من الجهتين. تقترب من 2 x تقترب من 2 x -2.1 f(x) 5.08 -2.01 4.49 -2.001 4.43 -2 -1.99 -1.999 -1.9 4.42 4.37 3.83 + من الواضح أنه كلما اقترب x من العدد 2 فإن (f (x تقترب من ا العدد 4.4 خاصية الفرق عوض بسط خاصية الجذر النوني خاصية الفرق نهايتا الدالة الثابتة والدالة المحايدة بسط lim √8-x (c x-3 - lim (8 - x) = lim 8 - lim x x-3 x-3 =8-3 x-3 lim V8 x-3 -x= =5>0 lim (8-x) 1-3 = /lim 8 - lim x x-3 x-3 = √√8-3 = √√5 تحقق من فهمك استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: lim (-x³ + 4) (1A x-2 lim √x+3 (1C lim X-1 x-3 x-2 2x2 x 15 (18) لاحظ أن نهاية كل دالة في المثال أعلاه عندما تقترب x من ، تساوي قيمة (f (c. ومع أن هذه الملاحظة ليست صحيحة في جميع الدوال ، إلا أنها صحيحة في دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية التي مقاماتها لا تساوي صفرًا عندما " وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 إرشادات للدراسة خصائص النهايات تبقى خصائص النهايات صحيحة في حال كون النهايات من جهة واحدة وفي حال كونها عند المالانهاية ، شريطة وجود هذه النهايات. تنبيه خاصية الجذر النوني الزوجي تستخدم فقط إذا كان Lim f(x)>0 IC = x . كما هو موضح فيما يأتي: الفصل 8 النهايات والاشتقاق 96

إرشادات للدراسة الدوال الجيدة السلوك تعد الدوال المتصلة مثل دوال كثيرات الحدود ودالتي الجيب وجيب التمام دوال جيدة السلوك، إذ يمكن حساب نهاياتها من خلال التعويض المباشر، ويمكن إيجاد نهاية الدوال من خلال مفهوم أساسي نهايات الدوال نهايات دوال كثيرات الحدود إذا كانت (p(x دالة كثيرة حدود ، وكان ، عددًا حقيقيًا، فإن pc = ) . X-C نهايات الدوال النسبية إذا كانت (x) دالة نسبية، وكان ، عددًا حقيقيا، حيث 0 (c)، فإن - p(x) q(x) lim r(x) = r(c) = p(c) q(c) التعويض المباشر حتى وإن وبشكل مختصر، فإنه يمكن حساب نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية من خلال التعويض المباشر ، لم تكن الدالة جيدة السلوك شريطة ألا يساوي مقام الدالة النسبية صفرًا عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية. على مجالها، بشرط أن تكون متصلة عند النقطة التي تحسب عندها النهاية. مثال 2 استعمال التعويض المباشر لحساب النهايات احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب: lim (3x4 + 5x3 - 2x 2 + x + 4) (a x--1 بما أن هذه نهاية دالة كثيرة حدود، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim (-3x+5x32x²+x+4)=-3(-1) + 5(-1)3-2(-1)² + (-1) +4 X-1 =-3-5-2-1+4=-7 <141 sty 81:1-1,-7) [-4, 4] scl: 0.2 by [-8, 8] scl: 1 تحقق يعزز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة f(x) = 3 x 4 + 5 x 3 - 2x 2 + x + 4 هذه النتيجة. 213-6 lim x-3x-x² (b بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفرًا عندما 3 = x ، فيمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. 213-6 lim x-3x-x 2(3)3-6 == 3- (3)² = 48 -6 =-8 lim x-1 بما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها صفر عندما 1 = x ، فلا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim √x+5 (d 9--x بما أن 10 = 5 + 6 = (5+lim (x ، فلا يمكننا حساب 5+limVx بالتعويض المباشر. تحقق من فهمك x-6 X-6 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب: x + 1 lim x-5 x²+3 (28) lim_x + 6 (20) lim (x³-3x²-5x+7) (2A 14 lim x-2x-2 (2C x--8 x2-1 1-11-1 لنفترض أنك استعملت خاصية القسمة أو التعويض المباشر لحساب النهاية . lim بشكل خاطئ كما يلي: وهذا ليس صحيحًا؛ لأن نهاية المقام تساوي 0 . وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2- حساب النهايات جبريا 2097446 lim (x²-1) x-1 = = lim (x - 1) x-1x-1 1-1

يُسمى نائج التعويض في النهايات على الصورة و الصيغة غير المحددة ؛ لأنه لا يمكنك تحديد نهاية الدالة مع وجود صفر في المقام، ومثل هذه النهايات قد تكون موجودة ولها قيمة حقيقية، أو غير موجودة، أو متباعدة نحو 0 أو ، ، ويُبين التمثيل البياني للدالة . x2 - 1 x-1 = x2 -1 x 1 = (f(x أن . lim موجودة وتساوي 2 . 19 على الرغم من أن الصيغة غير المحددة تظهر من خلال تطبيق خاطئ لخصائص النهايات، إلا أن الحصول على هذه الصيغة قد يرشدنا إلى الطريقة الأنسب لإيجاد النهاية. إذا قمت بحساب نهاية دالة نسبية، ووصلت إلى الصيغة غير المحددة ، فبسط العبارة جبريًا من خلال تحليل كل من البسط والمقام واختصار العوامل المشتركة. مثال 3 استعمال التحليل لحساب النهايات احسب كل نهاية مما يأتي: ؛ لذا فإن علينا تحليل المقدار جبريا، واختصار أي -2 0 f(x)=x2-x-20 x+4 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 حلل البسط اختصر العامل المشترك أعد تجميع المقام أخرج العامل المشترك من الحدود المجمعة في المقام أخرج العامل المشترك في المقام اختصر بسط عوض وبسط بسط عوض وبسط (-4)2-(-4)-20 -4+4 lim x-4 x²-x-20 x+4 .(a ينتج عن التعويض المباشر عوامل مشتركة بين البسط والمقام. lim 1-4 x2-x-20 x+4 = lim (x-5)(x+4) x-4 = lim x-4 X+4 (x-5)(x+4) = lim (x-5) 1-4 =(-4)-5=-9 تحقق يعزز التمثيل البياني للدالة : (f(x هذه النتيجة. 3-3 33 3(3)2 7(3) + 21 - lim x-3 x-3x³-3x²-7x+21 12- -x-20 x+4 lim x-3 x-3x³-3x²-7x+21 تنبيه التحليل عند اختصار البسط بأكمله. ينتج عن التعويض المباشر : lim x-3 x-3 (x³-3x²)+(-7x+21) =lim x-3 x-3 x2(x-3)-7(x-3) =lim X-3 x-3 (2-7)(x-3) = lim x-3 (2-7)(x-3) = lim = 1 x-3x²-7 1 (3)2-7 = x²-7x+6 lim (38) lim x6 3x2 - 11 - 42 24-2 2 تحقق من فهمك احسب كل نهاية مما يأتي: (3A 12 + 3x2 - 4x - قير x+2 فإنه يصبح 1 وليس 0 . الفصل 8 النهايات والاشتقاق 98

ينتج عن اختصار العامل المشترك بين بسط ومقام الدالة النسبية دالة جديدة ، ففي المثال 3a ينتج عن الاختصار بين بسط ومقام الدالة دالة جديدة ، حيث: f(x)= x2-x-20 ' g(x)=x-5 x +4 إن قيم هاتين الدالتين متساوية لجميع قيم x إلا عندما 4 - = x ، فإذا تساوت قيم دالتين إلا عند قيمة وحيدة ، فإن نهايتيهما عندما تقترب x من متساويتان ؛ لأن قيمة النهاية لا تعتمد على قيمة الدالة عند النقطة التي تُحسب النهاية عندها؛ لذا فإن (5 - lim (x = x114 lim x²-x-20 x+4 والطريقة الأخرى لإيجاد نهايات ناتج التعويض فيها صيغة غير محددة، هي إنطاق البسط أو المقام أولا، ثم اختصار العوامل المشتركة. مثال 4 استعمال إنطاق البسط أو المقام لحساب النهايات √x-3 احسب و - 1 19 lim ينتج عن التعويض المباشر . √9-3 9-9 ؛ لذا أنطق البسط، ومن ثم اختصر العوامل المشتركة. اضرب كلا من البسط والمقام في 3 + VX ، والذي يمثل مرافق 3 - V V-3 = lim x-3 √x +3 lim x-9x-9 x-9x-9 √√x+3 = lim x-9 x-9 (x-9)(√√x+3) = lim 19 (9)(√√x+3) = lim 1 x-9 Vx+3 √9+3 تحقق يعزز التمثيل البياني بالآلة البيانية للدالة . في الشكل المجاور هذه النتيجة. تحقق من فهمك احسب كل نهاية مما يأتي: lim x-25 √x-5 x-25 بسط اختصر العامل المشترك بسط عوض بسط 0145 045 f(x)= V-3 x-9 2-√x+4 lim (4B -0 x -0.1,20 ct 1 by 1-1854-4 at 25 حساب النهايات عند المالانهاية : درست سابقا أن لجميع الدوال الزوجية سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه ، وكذلك الدوال الفردية لها جميعاً سلوك طرفي التمثيل البياني نفسه. مفهوم أساسي نهايات دوال القوى عند المالانهاية لأي عدد صحيح موجب 1 ، lim x = o . x-x . lim x = o ، إذا كان " عددا زوجيا X-00 . 00 - = "lim, x ، إذا كان " عدداً فرديًا. f(x) = 12 نموذج f(x)=x³ .... إن سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود هو ذاته سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة القوة الناتجة عن الحد الرئيس في كثيرة الحدود، وهو الحد ذو القوة الكبرى، ويمكننا وصف ذلك أيضًا باستعمال النهايات. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - حساب النهايات جبريا 2099666

إرشادات للدراسة الضرب في المالانهاية lim f(x)= ∞ X-C تعني أن الدالة تأخذ قيما موجبة ومتزايدة بشكل غير مفهوم أساسي نهايات دوال كثيرات الحدود عند المالانهاية إذا كانت ax + a + ... + p(x) = a,x دالة كثيرة حدود ، فإن limp(x) = lim a,,x" lim p(x) = lim a,,x", x-x 100 محدود، كلما اقتربت قيم x يمكنك استعمال هاتين الخاصيتين لحساب نهايات دوال كثيرات حدود عند المالانهاية. تذكر أن كون نهاية الدالة أو - لا يعني أنها موجودة، ولكنه وصف لسلوك منحناها؛ فإما أن يكون متزايدًا بلا حدود أو متناقصًا بلا حدود. من العدد 2 لذا فإن ضرب لا هذه القيم في عدد موجب . يغير هذا السلوك، أما ضربها في عدد سالب فإنه يعكس إشاراتها، وبذلك تقترب النهاية من 00، أي أنه إذا كان 0 <2 فإن مثال 5 احسب كل نهاية مما يأتي: نهايات دوال كثيرات الحدود عند المالانهاية lim (x3 2x2+5x-1) (a a(∞)=∞, -a (∞)=-∞ 811X lim (x32x2+5x-1) = lim x³ X11X =-∞ lim (4+3x-x²) (b x-x lim (4+3x-x2)= lim -x² 400 - lim x2 -= xx =-∞ lim (5x - 3x) ( 14-00 lim (5x4 - 3x) = lim 5x4 X--00 X11X = 5 lim_x4 x11x = 5 x x = ∞ تحقق من فهمك احسب كل نهاية مما يأتي: lim (-x3-4x+9) (5A X1X نهاية دالة كثيرة الحدود عند المالانهاية نهاية دالة القوة عند المالانهاية نهاية دالة كثيرة الحدود عند المالانهاية خاصية الضرب في ثابت نهاية دالة القوة عند المالانهاية نهاية دالة كثيرة الحدود عند المالانهاية خاصية الضرب في ثابت نهاية دالة القوة عند المالانهاية lim (2x - 6x2 + 4x5) (5 lim (4x6+3x5x) (5B 8118 مراجعة المفردات دالة المقلوب تذكر أن دالة المقلوب هي 1 = (x) ، حيث (a(x دالة خطية ، و 0 (x). a(x) ولحساب نهاية دالة نسبية عند المالانهاية نحتاج إلى خصائص أخرى للنهايات. مفهوم أساسي نهايات دالة المقلوب عند المالانهاية التعبير اللفظي : إن نهاية دالة المقلوب عند موجب أو سالب مالانهاية هي صفر. الرموز : = 0 lim = lim XxX XxX 100 f(x) = نتيجة: لأي عدد صحيح موجب 11 ، فإن 0 = lim xxx 1 f(x) = ويمكننا استعمال هذه الخاصية لحساب نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية ، وذلك بقسمة كل حد في بسط ومقام الدالة النسبية على أعلى قوة لمتغير الدالة. الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 6 نهايات الدوال النسبية عند المالانهاية احسب كل نهاية مما يأتي إن أمكن: اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي X بسط خصائص القسمة والمجموع، والفرق والضرب في ثابت نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية YA f(x) = 4x+5 8x-3 0 (f(x المجاور اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x3 بسط خصائص القسمة والمجموع والفرق والضرب في ثابت 4x+5 lim (a x-00 8x-3 5 4x + 4x + 5 lim xx 8x 3 = lim X x xx 8x 3 4x + 5 = 8x - 3 lim xx lim 4+5 lim lim 8 3 lim X-x X-XX 4+5.0 = 8-3.0 تحقق يعزّز التمثيل البياني للدالة : هذه النتيجة. 6x-2 lim x-3x+1 6x lim x-3x+1 6x2-x lim = 8118 = lim X11X 3+ 1 6 lim 11-x X lim إرشادات للدراسة . نهاية الدوال النسبية توجد ثلاث حالات عند حساب نهايات الدوال النسبية عندما تقترب x من المالانهاية. (1) إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فإن النهاية إما أو بحسب إشارة الحد الرئيس في كل من البسط والمقام (2) إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام فإن النهاية مساوية لناتج قسمة معاملي الحدين الرئيسين في البسط والمقام. (3) إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن النهاية صفر. lim 3 + lim 6.0-0 = 0 3+0 lim 5x4 1-0 9x3³+2x = lim x-x 9 5 + lim 5 1400 + 2 lim x = 9 lim. 1 x xx 5 = 9.0+2.0 0 5x4 lim x+9x3 + 2x نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي x خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية وحيث إن نهاية المقام صفر، فإننا نكون قد طبقنا خطاً خاصية القسمة، إلا أننا نعلم أنه عند قسمة العدد 5 على قيم صغيرة موجبة تقترب من الصفر، فإن الناتج سيكون كبيرًا بشكل غير محدود ، أي أن النهاية هي . تحقق من فهمك احسب كل نهاية مما يأتي: lim x8x 7x³-3x²+1 2x3 + 4x (6C lim x+x -3x²+7 5x+1 (6B وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - حساب النهايات جبريا 2010146 5 lim x-x - 10 (6A

درست سابقا أن المتتابعة هي دالة مجالها مجموعة من الأعداد الطبيعية، ومداها مجموعة من الأعداد الحقيقية؛ لذا فإن نهاية المتتابعة غير المنتهية هي نهاية دالة عندما 0 11 . إذا كانت النهاية موجودة، فإن قيمة هذه النهاية هي العدد الذي تقترب منه المتتابعة . فمثلا يمكن وصف المتتابعة . 1 = a بـ { = (m) ، حيث " عدد 1 1 1 ' 2'3'4 صحیح موجب . وبما أن 0 = lim ، فإن المتتابعة تقترب من الصفر. مثال 7 11-00 نهايات المتتابعات احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت القسم كل حد على أعلى قوة، وهي " خصائص القسمة والمجموع والضرب في ثابت a= 3n+1 11+5 (a lim 3n+1 11-11+5 الحساب نهاية المتتابعة، أوجد 3+ 3n+1 lim 11-∞ 11+5 11 = lim 71-00 5 1+ lim 3 + lim 7100 1 12-0011 1 lim 1 + 5 lim 1100 110021 = 3+0 1+5.0 =3 نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية أي أن نهاية المتتابعة هي ،3 ، بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 3 . تحقق كون جدولا، واختر قيما متعددة لـ ". n 1 20 40 60 80 90 100 1000 10000 an 0.6667 2.6889 2.44 2.8526 2.8667 2.9861 2.7846 2.8353 2.9986 نلاحظ أن حدود المتتابعة تقترب من العدد 3 كلما كبرت " . b₁ = 5 [n² (n+1)21 11+ 4 (b الحدود الخمسة الأولى بصورة تقريبية هي 1.8 1953 ,2,222 ,2,813 ,5 . والآن أوجد نهاية المتتابعة ربع ثنائية الحد lim 5 [n²(n + 1)2- = lim 4 = lim 11-00 11-00 5 [n²(n²+2n+1) 4 5n+ 10n3+5n² 411+ lim 5 + 10 lim 11-00 ] 1 1 + 5 lim 11-00 lim 4 1110 = = 1.25 اقسم كل حد على أعلى قوة، وهي ، ثم استعمل خصائص القسمة، والمجموع، والضرب في ثابت نهايتا الدالة الثابتة ودالة المقلوب عند المالانهاية أي أن نهاية المتتابعة هي 1.25 ، بمعنى أن حدود المتتابعة تقترب من 1.25. تحقق كون جدول قيم، واختر قيمًا كبيرة لـ " . قيم ( في الجدول أدناه مقربة إلى أقرب جزء من مئة) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 11 تقترب من 0 10 100 1000 10000 100000 b 1.51 1.25 1.28 1.25 1.25 11 تحقق من فهمك احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إن وجدت: [n(n + 1)(2n+1) 6 +1) (7C b₁ = 2n3 311 + 8 (78) 4 a = (7) 12 + 1 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 102

تدرب وحل المسائل استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: (مثال (1) lim x2 + 4x + 13 x-5 x-3 (2 lim [x2(x+1)+2] (4 x-4 lim (5x-10) (1 x--3 lim (+2x+√x) (3 x-9 (26) إسفنج تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة 25 + . l(t) = 105+2 10+12 حيث ) طول حيوان الإسفنج بالملمترات بعد 1 ثانية من وضعه في الماء. (مثال 6 ) t = 0 1=4 t = f ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء ؟ ما نهاية الدالة عندما ته !؟ وضح العلاقة بين نهاية الدالة ) وطول حيوان الإسفنج. احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة (مثال 7) lim x116 (6 12 - 10x lim x-12 √√√x+4 (5 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب (مثال (2) x²+9 lim (7 x-16 √x-4 1-2 lim lim (4x3 - 3x2 + 10) (8 x3+9x+6 x-3x²+5x+6 (9 lim √2 - x (10 -3 = 8n+1 11-3 (27 lim ( 3x2 - 10x + 35 ) (11 x-9 lim ( - x2 + 3x + V ) (12 x-10 = -411²+6n-1 2 + 3n (28) 1212 +2 612-1 (29 811² +51 +2 a = (30 3 + 201 (13) فيزياء: بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك = 1، حيث ) سرعة الضوء، بسرعة لا تُعطى بالعلاقة - mo كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد lim m، ووضح العلاقة بين هذه النهاية و . (مثال (2) احسب كل نهاية مما يأتي: (المثالان 3.4) 1 mo - v-0 1 [n²(n+1)2- 4x = (31 4 lim x-0 (15 / x + 1 - 1 x2 + 4x - 5 lim 2-1 (14) x2 - 1 12 [n(2n+1)(n+1)] lim an= (32 114 6 2x 103 - Vx +9 4x2 + 21x + 5 (17 lim (16) 15 3x2 + 17x + 10 احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدما التعويض المباشر الحساب النهايتين من اليمين واليسار lim 116 √x+3-3 x-6 (19 x²-2x-15 lim x-3 x+3 (18 وزارة التعليم Ministry of Education lim [x-3, x-2 x-212x 1, x>-2 احسب كل نهاية مما يأتي: (المثالان 5,6) (33 lim (21 (5-x2, x≤0 lim (34 x-0 5-x, x>0 lim - 3x3 - 10x+2 x-4x³ +20x² lim ( 5 - 2x2 + 7x3) (20 X-00 1433 - 12x (23 lim (10x+14+6x2-x¹) (22 4x²+13x-8 x-x (x-2)² +1, x ≤2 lim x-2 x-6 (35 lim x>2 10x4-2 x-5x+3x3-2x (25 lim 6x3+2x-11 x-5+17x3 + 4x (24 ' الدرس - حساب النهايات جبريا 201036

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة lim (1+x+2x-cos x) (37) lim sin x (36 x-0 x 1-√√x lim (39 lim x-1x-1 tan 2x x (38 أوجد f(x + h) -f(x) h lim لكل دالة مما يأتي: 0-4 مراجعة تراكمية استعمل التمثيل البياني للدالة (f(x أدناه لإيجاد كل مما يأتي: ( الدرس 1-8 ) Ly f(-2) lim f(x) (53 x-2 f(0) .lim f(x) (54 x-0 f(3) lim f(x) (55 x-3 f(x) = 2x-1 (40 f(x)=√√x (42 f(x) = x2 (44 f(x) = 7 - 9x (41) f(x) = Vx + 1 (43 f(x) = x2 + x + 4 (45) 46) فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقة تُسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر. وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة 2 (()) . t) = m) ، حيث (t) سرعة الجسم عند الزمن ، و كتلته بالكيلو جرام. إذا كانت سرعة جسم = ( ) لكل ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟ 50 1+12 مسائل مهارات التفكير العليا أوجد (1) ( + )، (x) ،(۴) (x) ،(f - (x) ()، لكل زوج من الدوال الآتية، ثم حدد مجال الدالة الناتجة (مهارة سابقة ) x f(x) = (57 x + 1 f(x) = x2 - 2x (56) g(x)=x+9 تدريب على اختبار (58) ما قيمة . 2h3-h²+5h h lim ؟ 0-4 (x) = x2 - 1 (47) برهان: استعمل خصائص النهايات؛ لإثبات أنه لأي كثيرة حدود ... + ax 2 + x + 40 p(x) = a x + 1 - 1 - 1 + ولأي عدد حقيقي ، فإن (lim p(x) = (c (48) برهان استعمل الاستقراء الرياضي؛ لإثبات أنه إذا كان lim f(x) = L ، فإنه لأي عدد صحيح " 3A 4B (59) ما القيمة التي تقترب منها . تقترب x من 0؟ TA lim [f(x)]" = [lim f(x)]" = L" X-C B 4 D غير موجودة x +π cos (x + ) OD = (x) عندما (49) تحد: احسب النهاية الآتية إذا كانت 0 # an # 0 bm : (60) باستعمال التمثيل البياني للدالة f أدناه، ما قيمة (lim, f(x ؟ -1 . + ax 2 + x + ao +... ax + an - 13 -1 lim xo bmx + bm - 1x - 1 + ... + bx2 + byx + bo ( إرشاد: افترض كلا من الحالات m < n, m = n, me > n) 50 تبرير إذا كانت (x) دالة نسبية، فهل العلاقة (lim r(x) = r(c صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائما، أو غير صحيحة أبدًا؟ برر إجابتك. 51) اكتب: استعمل جدولا لتنظيم خصائص النهايات، وضمنه مثالاً على كل خاصية. (52) اكتب افترض أن دالة نسبية، وأن . P(x) q(x) p(x) (x) = im . تدعي ليلى أن قيمة هذه النهاية هي 1. وضح سبب كونها مخطئة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية، إذا كانت f(x) 012 5 C 1 B 0 A x-2+1 D غير موجودة 104 موجودة؟ الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446