تقدير النهايات بيانيا - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

www.icn.edu.sa تقدير النهايات بيانيا Estimating Limits Graphically 8-1 فيما سبق. درست تقدير النهايات التحديد اتصال الدالة وسلوك طرفي تمثيلها البياني. (مهارة سابقة) أقدر نهاية الدالة عند قيم محددة. أقدر نهاية الدالة عند المالانهاية. المفردات النهاية من جهة واحدة one-sided limit النهاية من جهتين two-sided limit لماذا ؟ هل هناك نهايات للأرقام المسجلة في المسابقات الرياضية لا يمكن تجاوزها؟ لقد كان الرقم القياسي المسجل في دورة الألعاب المقامة في بكين عام 2008 م المسابقة الوثب بالزانة .m .5.05 ويمكن استعمال الدالة: 5.334 1+ 62548.213 (2.7)-0.129x = (f(x لتقدير الرقم القياسي الذي تم تسجيله في هذه الرياضة للأعوام بين 1996 م و 2008 م ، حيث x عدد السنوات منذ عام 1900م، يمكنك استعمال نهاية هذه الدالة عندما تقترب x من المالانهاية؛ للتنبؤ بأكبر رقم يمكن تسجيله. . تقدير النهايات عند قيم محددة: يتمحور علم التفاضل والتكامل حول مسألتين أساسيتين: إيجاد معادلة مماس منحنى دالة عند نقطة واقعة عليه. إيجاد مساحة المنطقة الواقعة بين التمثيل البياني لدالة والمحور x . وتعد مفاهيم النهايات أساسية لحل هاتين المسألتين. تعلمت سابقا أنه إذا اقتربت قيم (f(x من قيمة وحيدة L، كلما اقتربت قيم x من العدد من كلا الجهتين ، فإن نهاية (f(x عندما تقترب x من هي ، وتكتب على الصورة lim f(x) = L يمكنك تطبيق مفهوم النهاية لتقدير نهاية (f(x عندما تقترب x من العدد ؛ أي (lim f(x، وذلك من خلال تمثيل الدالة بيانيا، أو إنشاء کلاس های به y = f(x) f(x2) lim f(x)=L L -٦-٢-٣ xx c X3 X4 f(x3) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 جدول القيم اله. مثال 1 x-2 تقدير النهاية ( النهاية تساوي قيمة الدالة) قدر (1 + lim (3x باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. التحليل بيانيا مثل الدالة الخطية 1+3 = y بيانياً باستعمال النقطتين (12) (1). يبين التمثيل البياني للدالة 1 + f(x) = 3 x ، أنه كلما اقتربت x من العدد 2 ، فإن قيم (f(x المقابلة تقترب من العدد 5 - ؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن : lim(-3x + 1) = -5 x-2 التعزيز عدديًا كوّن جدولا لقيم (f(x ، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد My 01-2-x f(x) = - 3x + 1 ) تاريخ الرياضيات ثابت بن قرة (288-221) من أوائل من فكروا يعلم التفاضل والتكامل، حيث أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران القطع المكافئ حول محوره 2 من كلا الجهتين. تقترب من 2 تقترب من 2 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 f(x) -4.7 -4.97 -4.997 -5.003 -5.03 -5.3 يبين نمط قيم (x) أنه كلما اقتربت x من العدد 2 من اليمين أو من اليسار، فإن قيم (f(x تقترب من العدد 5 ، وذلك يعزّز تحليلنا البياني. تحقق من فهمك قدر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزز إجابتك باستعمال جدول قيم. lim x2 - 1) (18 x-1 lim (1) - 5x) (1A x-3 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 86

y إرشاد تقني جداول لإنشاء جدول باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire ، أدخل الدالة إلى الحاسبة باستعمال قائمة ، ثم اختيار الجدول في المثال 1 ، لاحظ أن (1) + lim x هي نفسها (2) ، إلا أن نهاية الدالة لا تساوي دائمًا قيمة الدالة. مثال 2 x-3x-3 التحليل بيانيا : مجال الدالة {3}-R 32 تقدير النهاية ( النهاية لا تساوي قيمة الدالة) باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم. بالضغط على . ثم اكتب يبين التمثيل البياني للدالة و = (f(x المجاور، أنه كلما اقتربت x من قيم X للاقتراب من قيمة محددة. -9 x-3 العدد 3 ، فإن قيمة (f(x المقابلة لها تقترب من العدد 6 ؛ لذا فإن بإمكاننا تقدير أن: |f(x)=- 0 -3- x²-9 lim x-3x-3 = 6 التعزيز عدديا. كون جدولا لقيم (f(x ، وذلك باختيار قيم x القريبة من العدد 3 من كلا الجهتين. تقترب من -3 تقترب من -3 x 2.9 2.99 f(x) 5.9 5.99 2.999 5.999 3 3.001 3.01 3.1 6.001 6.01 6.1 يبين نمط قيم (f(x ، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 3 ، فإن قيم (f(x تقترب من العدد 6 ، وذلك يعزّز تحليلنا البياني. تحقق من فهمك قدر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك من خلال جدول قيم. x²-4x-5 lim x-5 x-5 (28) lim x+2 14-22-4 (2A في المثال 2 ، لاحظ أن قيم (f(x تقترب من العدد 6 عند اقتراب قيم x من العدد 3 على الرغم من أن 6 (3). غير معرفة عندما 3 = x. وهذه الملاحظة توضّح مفهوما مهما في النهايات. فالعبارة 9-2 x-3 مفهوم أساسي عدم اعتماد النهاية على قيمة الدالة عند نقطة التعبير اللفظي: لا تعتمد نهاية (f(x عندما تقترب x من العدد C على قيمة الدالة عند . y=h(x) y g(x) y = f(x) lim h(x) = L lim g(x) = L lim f(x) = L h(c) L g(c) = n (f(c غير معرفة الأمثلة : إن النهاية عند عدد لا تعني قيمة الدالة عند ذلك العدد، وإنما قيمة الدالة عندما تقترب x من ذلك العدد وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 81 - تقدير النهايات بيانيا 2087166 2.999 29000 5.999 5.9999 3.0001 6.0001 3.001 6.001 C

تنبيه النهاية من اليمين والنهاية من اليسار للدالة لمناقشة النهاية من اليمين الدالة عند C يجب أن نضمن أن الدالة معرفة على يمين ، على فترة. (c, b) ولمناقشة النهاية من اليسار الدالة عند C يجب أن نضمن لاحظ أننا عندما نقدر النهاية باستعمال التمثيل البياني أو جدول القيم، فإننا نبحث عن قيمة (f(x عندما تقترب x من C من كلا الجهتين. ويمكننا إيجاز وصف سلوك التمثيل البياني عن يمين عدد أو عن يساره بمفردة النهاية من جهة واحدة. مفهوم أساسي النهايات من جهة واحدة النهاية من اليمين إذا اقتربت قيم (f(x من قيمة وحيدة L ، عند اقتراب قيم x من العدد C من اليمين فإن = (lim f(x ، وتقرأ: x-c+ النهاية من اليسار إذا اقتربت قيم (x) من قيمة وحيدة ، عند اقتراب قيم x من العدد ، من اليسار، فإن lim_f(x) = L ، وتُقرأ : نهاية (f(x عندما تقترب x من c من اليمين هي نهاية (f(x) عندما تقترب x من ، من اليسار هي L أن الدالة معرفة على يساره يمكننا باستعمال هذين التعريفين إيجاز ما تعنيه مفردة النهاية من جهتين ، وما يعنيه كونها موجودة. على فترة (a, c). وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 النهاية عند نقطة مفهوم أساسي تكون نهاية (f(x) موجودة عندما تقترب x من c ، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار y= g(x) y f(x)=12x1 0 g(x)= y موجودتين ومتساويتين، أي أنه: f lim_f(x) = lim f(x) = L إذا وفقط إذا كان lim f(x) = L x-c إرشادات للدراسة وصف النهاية إذا كانت النهايتان من اليسار ومن اليمين غير متساويتين، فإننا نقول: إن النهاية غير موجودة. مثال 3 تقدير النهاية من جهة واحدة ومن جهتين قدر إن أمكن كلا من النهايات الآتية باستعمال التمثيل البياني للدالة: |2x| |2x| lim (a |2x| lim x-0- lim x x-0+ |2x| :01 f(x)= x x x-0 x يبين التمثيل البياني للدالة . |2x| lim x-0 =-2 x ' lim x-0x |2x| = 2 4 x - 3 ' -2 x= -3 ' وبما أن النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين ، فإن |2x| lim غير موجودة. ، حيث 1-0 x lim8x), lim, 8xlim (x) (6 3--3- x-3+ x-3 يبين التمثيل البياني للدالة (x) أن: lim g(x) = 4 x-3+ lim g(x)=4 x--3- وبما أن النهايتين من اليسار ومن اليمين متساويتان ، فإن (lim (x موجودة وتساوي 4. تحقق من فهمك قدر إن أمكن كلا من النهايات الآتية إذا كانت موجودة: 1-3 + lim g(x), lim g(x), lim, g(x) (3B x-2 8(x) = { x-2+ -0.50 +2 -x2 x<-2 x2 - 2 ' lim f(x), lim f(x), lim f(x) (3A x-1-- f(x) -1+ x3+2 x-1 = { x<1 ' 2x + 1 x>1 ' الفصل 8 النهايات والاشتقاق 88

قراءة الرياضيات إن عدم مقدرتنا على إيجاد قيمة نهاية للدالة f كعدد حقيقي عند الاقتراب من نقطة ثابتة ليس ناتجا بالضرورة عن عدم تساوي النهايتين من اليسار واليمين؛ إذ من الممكن أن تزداد قيم (f(x بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من C ، وفي السلوك غير المحدود هذه الحالة نشير إلى النهاية بالرمز ، أما إذا تناقصت قيم (f(x بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من C ، فإننا نشير تعني زيادة أو نقصان (f(x بصورة غير محدودة عندما إلى النهاية بالرمز - . ، أنه باختيار قيمة ل قريبة من ، بالقدر الذي نريد فإنه يمكننا الحصول على قيمة كبيرة د (x) | بالقدر الذي نريد وكلما كانت X قريبة من c كانت |(x) أكبر. مثال 4 النهايات والسلوك غير المحدود قدر - إن أمكن كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة 1 (a lim x-4(x-4)2 التحليل بيانيا : يُبين التمثيل البياني للدالة 1 = ∞ lim x-4+ (x-4)2 1 (x-4)² 1 lim x-4(x-4) = ∞ ' (f(x المجاور أن : f(x) = (x-4)² 0 فكلما اقتربت قيم x من العدد 4 ازدادت قيم (f(x بشكل غير محدود، وبما أن كلا من النهايتين من اليسار ومن اليمين . لذا فإن lim لا تساوي عددًا حقيقيا، إلا أنه وبسبب كون كلتا 1 x-4(x-4)2 النهايتين ، فإننا نصف سلوك (f(x عند العدد 4 بكتابة 00 = - 1 lim x-4(x-4)² تقترب من 4 التعزيز عدديا : تقترب من 4 x 3.9 3.99 3.999 4 4.001 4.01 4.1 f(x) 100 10000 1000000 1000000 10000 100 تنبيه النهايات غير المحدودة من الضروري أن نفهم أن العبارتين lim - f(x) = - 00, lim f(x) = oo 110+ هما فقط وصف للحالة التي بسببها (lim f(x x-0 غير موجودة ، إذ لا يمثل الرمزان و 50 - عددين حقيقيين يبين نمط قيم (x) أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 4 من اليسار أو من اليمين ، فإن قيم (f(x تزداد بشكل غير محدود، وذلك يعزز تحليلنا البياني. lim (b 1 x10x التحليل بيانيا : يُبين التمثيل البياني للدالة } = (f(x المجاور أن: ==∞ 1-0-x ' lim = ∞ x-0+x فكلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليسار ، قلت قيم (f(x بشكل غير محدود، في حين تزداد قيم (x) كلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليمين. إن كلتا النهايتين من اليسار واليمين غير متساويتين. لذا فإن 1 lim غير x-0x (x) 0 موجودة ، لذلك لا يمكننا وصف سلوك الدالة عندما 0 = x بعبارة واحدة ، بمعنى أنه لا يمكن أن تكتب 0 = : lim، وذلك بسبب سلوك الدالة غير المحدود من اليمين واليسار . x-0 x تقترب من 0 التعزيز عدديا : تقترب من 0 x -0.1 f(x) -10 -0.001 -0.01 -1000 -100 0 0.001 0.01 0.1 1000 100 10 يبين نمط قيم (f(x أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 0 من اليسار أو من اليمين ، فإن قيم(f(x إما أن تنقص أو تزداد بشكل غير محدود، وذلك يعزز تحليلنا البياني. تحقق من فهمك قدر - إن أمكن كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1 تقدير النهايات بيانيا 20896 lim x-0 - (48) x²-4 lim x-3 x 3 (44)

إرشاد تقني التذبذب اللانهائي خاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية تفيد غالبا في توقع قيمة النهاية للدالة، إلا أنه لا يمكنك الاعتماد عليها دائما. فهي تعتمد على عدد محدود من النقاط في تمثيل المنحني كما في المثال 5 المبين تمثيله أدناه . [-0.25, 0.25] scl: 0.05 by (-1.5, 1.5] scl: 1 فالتمثيل بالحاسبة البيانية لم يظهر أن للدالة عددا لا نهائيا في التذبذبات بالقرب من الصفر. لا تكون النهاية موجودة أيضًا عندما تتذبذب قيم (f(x بين قيمتين مختلفتين باقتراب قيم x من العدد . مثال 5 النهايات والسلوك التذبذبي قدر lim cos إذا كانت موجودة. x-0 يبين التمثيل البياني للدالة ل f(x) = cos المجاور أن قيم (f(x تتذبذب بشكل مستمر بين العددين 1 - 1 كلما اقتربت قيم x من العدد 0، مما يعني أنه لأي قيمة 1 قريبة من الصفر ، بحيث 1 - (f(x ، يمكنك إيجاد قيمة قريبة جدا من الصفر مثل x2 ، بحيث -1 = (f(x2 ، وبالمثل لأي قيمة قريبة من الصفر x3 ، بحيث 1 = (f(x ، يمكنك إيجاد قيمة مثل x4 قريبة جدا من الصفر، بحيث 1 = (f(x أي أن - lim cos غير موجودة. x-0 تحقق من فهمك قدر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة lim sin (5A x-0 lim (x2 sin x) (5B x-0 نلخص فيما يأتي أهم ثلاثة أسباب تجعل نهاية الدالة عند نقطة غير موجودة. ملخص المفهوم أسباب عدم وجود نهاية عند نقطة تكون (lim f(x) غير موجودة في الحالات الآتية: X-C f(x): = cos ++ • عندما تقترب قيم (f(x من قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد من اليسار ومن اليمين. • عندما تزداد قيم (f(x) بشكل غير محدود عند اقتراب قيم x من العدد من اليسار وتتناقص قيمها بشكل غير محدود عند اقتراب x من العدد C من اليمين أو العكس. • عندما تتذبذب قيم (f(x) بين قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد . تقدير النهاية عند المالانهاية : درست فيما سبق استعمال النهايات لوصف سلوك (f(x عندما تقترب قيم x من عدد ثابت ، و تستعمل النهايات أيضًا لوصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة . وهو سلوك الدالة عند ازدياد أو نقصان قيم x بشكل غير محدود. وفيما يأتي ملخص لرموز هذه النهايات. مفهوم أساسي النهايات عند المالانهاية • إذا اقتربت قيم (x)) من عدد وحيد L عند ازدياد قيم X بشكل غير محدود، فإن: lim f(x) = L ، وتُقرأ ( نهاية (x)) عندما تقترب قيم x من موجب مالانهاية هي Ly) x-x • إذا اقتربت قيم (x)) من عدد وحيد L عند نقصان قيم X بشكل غير محدود، فإن: lim f(x) = L2 ، وتُقرأ ( نهاية (f(x عندما تقترب قيم x من سالب مالانهاية هي L2 ) X11X درست سابقا أنه إذا اقتربت قيم الدالة من 0 أوت - عند اقتراب قيم x من عدد ثابت ) ، فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة، كما درست أن خط التقارب الأفقي يحدث عندما تقترب قيم الدالة من عدد حقيقي كلما اقتربت قيم لا من 0 أوت ، بمعنى: • المستقيم x = c هو خط تقارب رأسي للدالة f ، إذا كانت lim f(x) = too أو lim f(x) = to أو كليهما. المستقيم y = C هو خط تقارب أفقي للدالة fر ، إذا كانت lim f(x) = c أو lim f(x) = c 3118 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 90

إرشادات للدراسة خطوط التقارب تشير النهاية في المثال 6a إلى وجود خط تقارب أفقي 0 = y ، وتشير النهاية في مثال 66 إلى وجود خط تقارب أفقي 2 = y. مثال 6 تقدير النهاية عند المالانهاية قدر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (a lim 00 التحليل بيانيا : يُبين التمثيل البياني للدالة - = (f(x المجاور أن 0 = 3 lim ، فكلما زادت قيم x ، اقتربت قيم (f(x من العدد 0. x-x التعزيز عدديًا : تقترب من . x 10 100 1000 10000 100000 0.1 f(x) 0.01 0.001 0.0001 0.00001 يبين نمط قيم (f(x أنه كلما زادت قيم ، فإن قيم (f(x تقترب من العدد 0. (202) 1 (b lim x11x -- التحليل بيانيا : يُبين التمثيل البياني للدالة 2 + . = (f(x المجاور أن (-323 + 2) = 2 lim ، فكلما قلت قيم x ، اقتربت قيم (f(x من العدد 2. X-100 التعزيز عدديا : تقترب من x -10000 -1000 -100 -10 f(x) 1.99999997 1.999997 1.9997 1.97 يبين نمط قيم (f(x أنه كلما قلت قيم ، فإن قيم (f(x تقترب من العدد 2. lim (2.7) sin 3xx, lim (2.7)* sin 3x (c 8118 X400 تنبيه السلوك المتذبذب إن التذبذب اللانهائي للدالة لا يعني بالضرورة عدم وجود النهاية عندما تقترب من 0 أو - . فإذا كان التذبذب بين قيمتين مختلفتين، فالنهاية غير موجودة، أما إذا كان التذبذب متقاربا نحو عدد معين فالنهاية موجودة. التحليل بيانيا : يُبين التمثيل البياني للدالة f(x) = (2.7) sin 3x المجاور أن: ،lim (2.7) * sin 3mx = 0 1400 ، فكلما قلت قيم x ، تذبذبت قيم (x) مقتربة من العدد 0 . في حين يبين التمثيل البياني أن lim (2.7) * (sin 3x غير موجودة، فكلما ازدادت قيم x ، تذبذبت قيم (f(x متباعدة. التعزيز عدديا : تقترب من .. تقترب من . x -17.1 -10.8 f(x) 3.4 x 10-8 -10.1 -0.00004 -0.00002 0 10.1 50.1 99.1 0 1.8 x 10 3.3 x 1021 -4.5 x 1042 y √|f(x) = 15 0 y= ol |f(x)=-2+25 f(x) = (2.7) sin 3nx يتضح من نمط قيم (f(x أنه كلما قلت قيم x ، فإن قيم (f(x تقترب من العدد 0 ، في حين تتذبذب قيم (f(x متباعدة كلما زادت قيم X. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 81 - تقدير النهايات بيانيا 209146

تحقق من فهمك قدر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة lim 1400 (4-3) (6A lim 5* (6B x--∞ lim sin x (6C 1400 يمكنك استعمال التمثيل البياني أو جدول قيم لتقدير النهايات عند المالانهاية في كثير من المواقف الحياتية. مثال 7 من واقع الحياة تقدير النهاية عند المالانهاية a هيدروليك تستعمل نوابض لإغلاق الأبواب الثقيلة، وآلية هيدروليكية للتحكم في سرعة حركتها، إذا فتح باب بزاوية ثم تُرك لتغلقه النوابض، فإن الدالة 22 (2.7 (2) + (1) = (1) تمثل زاوية فتحته 6 بعد 1 ثانية. قدر (lim (r، وفسر معناها إذا كانت موجودة. قدر النهاية: 0047 مثل الدالة 2 - (27) (21) + (1) = (1) بيانيا باستعمال الحاسبة البيانية. لاحظ أنه كلما زادت قيم ، فإن قيم الدالة (1) تقترب من العدد 0 الباب مفصل 09 136-12 n(x)=(1+2 x) (2.7)*** 4 الربط مع الحياة أحد أنظمة الأنظمة الهيدروليكية هي أي أن 0 = (lim (t 1-400 فسر النتيجة نقل القدرة التي تستعمل طاقة السوائل القيادة أو تحريك الأجزاء المتحركة في النظام الهيدروليكي. وتستعمل في إن قيمة النهاية 0 في هذه المسألة، تعني أن الزاوية التي يصنعها الباب مع العديد من المجالات، ومنها فرامل السيارات والأبواب الثقيلة وغيرها. إرشاد تقني استعمل الآلة الحاسبة للوصول إلى شكل مناسب للتمثيل البياني للدالة الآلة الحاسبة، يمكنك استعمال بعض ميزات الآلة. في ( menu بدءًا من مفتاح يمكنك استعمال خاصية 4 تكبير تصغير النافذة واختيار 1 : إعدادات النافذة التحديد مدى القيم وطول فترة التدريج لكل من x ، كذلك يمكن اختيار 3 تكبير 4 تصغير لتصغير وتكبير التمثيل البياني، حتى يمكن الحصول علي شكل مناسب للدالة. كما يمكن استعمال خاصية 50 : تتبع المسار لتتبع وضع الإغلاق مع مرور الزمن 03 0.1 0.1 -1, 3] scl: 0.5 by [-0.1, 0.9] sdl: 0.1 هي 0 درجة بالراديان. بمعنى أنه بعد مرور زمن أطول ، فإن الباب سيقترب من وضع الإغلاق التام. 6 دواء يُعطى تركيز دواء في دم مريض بوحدة ملجرام لكل مللتر بالعلاقة 2018 = (t) ، حيث t الزمن بالساعات بعد حقن المريض. قدر (lim C(t ، وفسر معناها إذا كانت موجودة. t→∞ قدر النهاية: مثل الدالة 0.18-2 = (C(t بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية. يتضح من التمثيل البياني أنه كلما زادت قيمة : فإن منحنى الدالة يقترب من 0، أي أن 0 = (lim C(t فسر النتيجة: 1-00 إن قيمة النهاية هي 0 وتعني في هذه المسألة أنه مع مرور الزمن، فإن تركيز الدواء سيصبح قريبا من الصفر في دم المريض. تحقق من فهمك ( 2010 x 1-1, 50] scl: 2 by 1-0.5, 3.5] scl: 0.5 كهرباء يزوّد مقبس في منطقة ما بفرق جهد كهربائي يُعطى بالعلاقة 120 t) = 165 sin) ، حيث : im إذا كانت موجودة، وفسر معناها. الزمن بالثواني قدر (lim (t 78) أحياء عند وضع عدد من ذبابات الفاكهة في وعاء يحوي حليبًا وفاكهةً وخميرة فإن عدد الذبابات بعد ٤ (t) ، قدر (Lim (t إذا كانت موجودة، وفسر معناها. يوم يُعطى بالعلاقة : 230 = 1+ 56.5(2.7)-0.371 8017 T 92 قيم الدالة مما يساعد على التوصل لتقدير قيمة النهاية. الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

33-* lim x-3-3-* (32 lim x cos x (31 lim x2 cos x-0 (34 1400 sin |x| lim x-0 x (33 35) دواء: تم توزيع لقاح للحد من عدوى مرض ما. ويُبين التمثيل البياني أدناه عدد الحالات المصابة بالمرض بعد 10 أسبوع من توزيع اللقاح (مثال (7) الحالات المسجلة 400 200 0 2 46 8 w تدرب وحل المسائل قدر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال جدول قيم إرشاد: " يمكنك استعمال الآلة البيانية للتمثيل البياني". (المثالان 2 (1) lim x-2 x³-2x+3x²) (2 *3+8 lim x-2x²-4 (4) lim x-4x-2 1-4 lim (4x-10) (1 x-5 lim (x2+2x-15) (3 3-2 6 lim 5 cos x - cos x (5 x-0 lim x2 + x - 20 (8 x-5 x+5 - lim (x + sin x) (7 x-6 قدر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة (مثال (3) -0-x |4x| lim (10 lim sin x - x (9 x x-0+ x lim x-3- x2 - 5x + 6 (12 x-3 lim x-0 (11 lim x2 + 5 + 6 (14 |2x + 1| lim x=2x+2 (13 x lim -25 (16) 1-51-5 lim (-x-7) (15 |x + 1| |3x| lim (18) lim (17 x-12-1 x-02r lim f(x),f(x) = x-5, x<0 (19 x2 + 5 x20 ' ' x<0 2x x20 (20) -0-x x-0 lim f(x), f(x) = { -x²+2 الأسابيع استعمل التمثيل البياني لتقدير (lim f(to) ، lim f(to 203 استعمل التمثيل البياني لتقدير (10) lim إذا كانت موجودة، وفسر النتيجة. 718 (36) برامج تلفزيونية : يُقدَّر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية اليومية بالدالة 12 - 1.250124)12 = d)، حيث ، رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج. (مثال (7) ) مثل الدالة (4) بيانيا في الفترة 20 = 1 = 0. ما عدد مشاهدي البرنامج في اليوم الخامس، العاشر ، العشرين، بعد شهرين ( 60 = d)؟ قدر (lim (d إذا كانت موجودة، وفسر النتيجة. d-00" (37) كيمياء: تتسرب مادة سامة من أنبوب غاز تحت الأرض كما في استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (الأمثلة 4-1) الشكل أدناه. ويعبر عن المسافة الأفقية بالأمتار التي تقطعها المادة المتسربة بالدالة 1,1 - 1 (0.7)2000 = (d(t ، حيث ٤ عدد السنوات منذ بدء التسرب (مثال (7) g(x) 10 4 8x -8 +41 -8- lim g(x) (22) x-4 3-4' lim f(x) (21 lim g(x) (24 x116 x-4 lim f(x) (23 قدر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة: (الأمثلة 6-4) |x| lim x-4x-4 (26 lim -17 x-4x² + 8x + 16 (25 5 lim (28 lim x-6(x- 6)2 (27 x-5x210x + 25 lim +x-22 (30 lim (x5-7x4 -4x+1) (29 - 4x³-13 X188 السنة 3 السنة +1400m-1-980 m السنة -2000 m- مثل باستعمال الآلة البيانية الدالة بيانيا في الفترة 15 = 1 = 1. استعمل التمثيل البياني وخاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية لإيجاد قيم ، عندما 5,105 = . استعمل التمثيل البياني لتقدير (lim (d(t.. 1-00 هل من الممكن أن تصل المادة المتسربة لمستشفى يقع على بعد m 7000 من موقع التسريب؟ تذكر أن مجموع المتسلسلة الهندسية غير المنتهية هو 7 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1 تقدير النهايات بيانيا 209366

للدالة الممثلة بيانيًا أدناه، قدر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة (53) تحد قدر كلًّا من النهايات الآتية للدالة / إذا كانت موجودة lim_f(x) (38 x-0 lim f(x) (39 x10+ lim f(x) (40 x-0 lim f(x) (41 x-2- lim f(x) (42 x-2+ lim f(x) (43 x-1 2 3 y f(x) f(x) = 2x + 4 -1 x2 x-3 lim f(x) (c x-2+ lim f(x) (b x-0 x < -1 -1 ≤ x ≤0 1<x≤2 x> 2 lim f(x) (a x-1 (54) اكتب من خلال ما لاحظته في حل التمارين، وضح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة. حاسبة بيانية: حدد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في مراجعة تراكمية كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية lim x-2 (45 lim 2 x2 - 1 1 x2 - 2x + 1 (44 | x + 5 lim 1-5 x +5 (47) lim 3 cos(46 x-0 مسائل مهارات التفكير العليا (55) أثبت صحة المتطابقة. (مهارة سابقة) 1 sin sin 0 cos e | = cos20 cot 0) (56) حدد ما إذا كانت الدالة الآتية متصلة عند قيم x المعطاة. برر إجابتك باستعمال اختبار الاتصال، وإذا كانت الدالة غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال: لا نهائي قفزي قابل للإزالة (مهارة سابقة) = 2-25 x+5 57) أوجد متوسط معدل تغير 6 - f(x) = Vx في الفترة (48) اكتشف الخطأ قال علي: إن نهاية الدالة الممثلة بيانيا في الشكل [16 ,8 (مهارة سابقة) أدناه عندما تقترب x من 6 هي 4 في حين قال محمد: إنها 3. هل أي منهما إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك. h(x)= أوجد قياس الزاوية بين المتجهين في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) u (2,9,-2), v = (-4,7,6) (58 m = 3i - 5j+6k, n=-7i+ 8j+9k (59 تدريب على اختبار (60) باستعمال التمثيل البياني للدالة (y = f(x أدناه ما قيمة (lim f(x (إن وجدت)؟ f(x) y x-07 -8- -4- -4 8x -4 x-0 (49) مسألة مفتوحة: أعط مثالا على (f(x، بحيث تكون (lim f(x موجودة، و (0) غير معرفة ، ومثالا على دالة أخرى (x)، بحيث تكون (0) معرفة، ولكن (lim (x غير موجودة. . فقدر كلًا من 3-0 . f(x) = x2 + 1 x-1 8(x)= = x+1 x²-4 50) تحد. إذا كان . (x) من (lim f(x. وإذا كانت (x) (x) كثيرتي حدود بحيث : F 1-2 x-1 j(x) ؟ 0 , (a) ، فماذا يمكنك القول عن (im (x برر إجابتك. 51 تبرير حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائمًا أو صحيحة أحيانًا أو غير صحيحة أبدا. برر إجابتك. إذا كان c) = L)، فإن lim f(x) = L (52) مسألة مفتوحة : مثل بيانيا دالة تحقق كلا مما يأتي: 5 = (2)lim f(x) = -3 (0) = 2, f) ، و (lim f(x غير موجودة. x-0 x-21 0 A 1B (61) إذا كانت = 3 Of النهاية غير موجودة (x) وكانت العبارات: ا نقطة عدم اتصال لا نهائي. نقطة عدم اتصال قفزي. نقطة عدم اتصال قابل للإزالة. فأي مما يأتي يصف التمثيل البياني لمنحنى الدالة (x)؟ A ا فقط II C فقط III B 1 فقط I D و II فقط وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 94