تركيب التحويلات الهندسية - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

7-4 فيما سبق درست رسم صورة شكل هندسي ناتجة عن الانعكاس والانسحاب والدوران. (7-1,7-2, 7-3) وا الآن . أرسم صورة شكل هندسي ناتجة عن تركيب تحويلين هندسيين أحدهما هو الانعكاس. . أرسم صورة شكل هندسي ناتجة عن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين وحول مستقيمين متقاطعين . . المفردات التحويل الهندسي المركب composite transformation تركيب إزاحة انعكاس glide reflection تركيب التحويلات الهندسية ا رابط الدرس الرقمي www.jen.edu.sa Composition of Transformations المادية يوضح نمط آثار الأقدام على رمال الشاطئ في الصورة المجاورة إجراء تحويلين هندسيين مختلفين هما الإزاحة والانعكاس. عند إجراء تحويل هندسي على شكل ما، ثم إجراء تحويل هندسي آخر على صورته، فإن التحويل الهندسي الذي ينقل الشكل الأصلي إلى الصورة النهائية هو تركيب لتحويلين هندسيين، ويُسمى تحويلا هندسيا مركبيا. وأحد أنواع التحويلات الهندسية المركبة هو التحويل الهندسي الناتج عن تركيب إزاحة وانعكاس. في مفهوم أساسي تركيب إزاحة انعكاس تركيب إزاحة انعكاس هو تحويل هندسي مركب ينتج عن إزاحة يليها انعكاس في خط م مواز لخط اتجاه الإزاحة. مثال: تركيب إزاحة انعكاس المجاور هو تحويل هندسي مركب ينقل الشكل في اتجاه الإزاحة التي تنقل النقطة A إلى النقطة A مع انعكاس حول المستقيم . مثال 1 تمثيل تركيب الإزاحة والانعكاس بيانيا أضف إليا مطويتك A إحداثيات رؤوس المثلث JKL هي: (33 ,25 ,10 ,(61) ، مثل بيانيا JKL وصورته الناتجة عن إزاحة مقدارها 4 وحدات إلى أعلى ثم انعكاس حول المحور y . الخطوة 1: الإزاحة 4 وحدات إلى أعلى الخطوة 2 الانعكاس حول المحور ا (x,y) J'(6,3) K'(10, 2) -> (-x, y) → J"(-6,3) -> K"(-10, 2) L'(5, 1) ->> L"(-5, 1) (x, y) J(6, -1) K(10,-2) L(5,-3) -> (x, y+4) → J'(6,3) -> ->> K'(10, 2) L'(5, 1) إرشادات للدراسة تمييز التحويلات الهندسية : يستخدم السهم ← للدلالة على الانسحاب بينما يستخدم السهم للدلالة على الانعكاس. أما صورة الصورة فستكون باللون البني. الخطوة 3: مثل بيانيا AJKL وصورته "AJKL. IK L' 0 Ay K الدرس 4- تركيب التحويلات الهندسية 81 م Ministry of Education 2024-1446

تحقق من فهمك إحداثيات رؤوس المثلث ) هي (42 ,3 ,2 ,1 ,(1) ، مثل بيانيا APQR وصورته الناتجة عن التحويل الهندسي المركب المحدد في كل من السؤالين الآتيين: 1A إزاحة مقدارها وحدتين إلى اليسار ثم انعكاس حول المحور x . (18) إزاحة مقدارها 3 وحدات إلى أسفل و 3 وحدات إلى اليسار، ثم انعکاس حول المستقيم y = x . إرشادات للدراسة في المثال 1 تلاحظ أن: 'AJKL = AJKL ، و كذلك: "AJKL E MAJKL ، وبحسب خاصية التعدي للتطابق فإن: "AJKL = AJ"K"L. وهذا يقود إلى النظرية الآتية: # تحويلات التطابق إن الانعكاس والإزاحة والدوران والتحويلات المركبة منها هي تحويلات تطابق أيضًا. نظرية 7.1 تركيب تحويلات التطابق تركيب تحويلي تطابق (أو أكثر) هو تحويل تطابق أيضًا. ستبرهن النظرية 7.1 في السؤال 20 أضف إلى مطويتك قراءة الرياضيات لذا فإن الصورة الناتجة عن تركيب أي تحويلين هندسيين من تحويلات التطابق كالإزاحة أو الانعكاس أو الدوران وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تكون مطابقة للشكل الأصلي. الشرطتان : تستعمل الشرطتان للدلالة على أن هذا مثال 2 تمثيل تركيب تحويلي تطابق بيانيا الرأس صورة ناتجة من تحويل هندسي ثان. إحداثيات طرفي CD هما (--)C، مثل بيانيا CD وصورتها الناتجة عن انعكاس حول المحور x ثم دوران بزاوية 90 حول نقطة الأصل. الخطوة 1: الانعكاس حول المحور x y C D₁ 90° Dir (x, y) C(-7,1) D(-3,2) -> (x, y) ->> - C'(-7,-1) D'(-3,-2) الخطوة 2 الدوران حول نقطة الأصل بزاوية 90 (x, y) -> (-y, x) C'(-7,-1) -> C"(1,-7) D'(-3,-2) -> D"(2,-3) الخطوة 3: مثل بيانيا CD وصورتها "C"D . تحقق من فهمك إحداثيات رؤوس المثلث ABC هي : 21- )B5, 5, C ,(2- 6- ، مثل بيانيا ABC وصورته الناتجة عن تركيب التحويلين الهندسيين بالترتيب المحدّد في كل من السؤالين الآتيين: 24) إزاحة مقدارها 3 وحدات إلى اليمين و وحدة واحدة إلى أسفل، ثم انعكاس حول المحور ا . 28) دوران بزاوية 180 حول نقطة الأصل، ثم إزاحة مقدارها وحدتين إلى اليسار و4 وحدات إلى أعلى. الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل 82

أضف إلى مطويتك أضف إلى مطويتك P A" 2x 2d- تركيب انعكاسين إن تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يكافئ إزاحة. p نظرية 7.2 تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين يمكن وصف تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين بأنه إزاحة، ويكون . اتجاهها عموديا على كل من المستقيمين. . مقدارها يساوي ضعف المسافة بين المستقيمين المتوازيين ستبرهن النظرية 7.2 في السؤال 26 إن تركيب انعکاسين حول مستقیمین متقاطعين يكافئ دورانا .. تنبيه ! ترتيب التركيب احرص على تركيب التحويلين الهندسيين بالترتيب المحدد في المسألة. نظرية 7.3 تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين يمكن وصف تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين بأنه دوران، ويكون • مركزه هو نقطة تقاطع المستقيمين. *k A • قياس زاويته يساوي ضعف قياس الزاوية التي يشكلها تقاطع هذين المستقيمين. ستبرهن النظرية 7.3 في السؤال 27 مثال 3 رسم الصورة الناتجة عن انعكاسين حول مستقيمين ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم " ثم حول المستقيم P ، ثم صف تحويلا هندسيا واحدا ينقل إلى " في كل مما يأتي: 60° 144- A A m A A' -m A A m H 1.75 cm تاريخ الرياضيات فيلكس كلاين (1849-1925) هو عالم رياضيات ألماني عرف الهندسة بأنها دراسة خصائص الفضاء التي تبقى دون تغيير تحت تأثير مجموعة من التحويلات الهندسية. الخطوة 1: ارسم صورة الشكل A الناتجة عن الخطوة 1: .m انعكاس حول المستقيم " m الخطوة 2 : الخطوة 2 ارسم صورة الشكل A الناتجة عن انعكاس حول المستقيم P. Idoto بناءً على النظرية ،7.3 فإن تركيب هذين الانعكاسين بناءً على النظرية 7.2 ، فإن تركيب هذين الانعكاسين حول المستقيمين المتقاطعين p . يكافئ دورانا حول المستقيمين المتوازيين p , يكافئ إزاحة بزاوية تساوي 60×2 أي 120 عكس اتجاه حركة أفقيةً إلى اليمين مقدارها 2x1.75 = 3.5 cm عقارب الساعة حول نقطة تقاطع المستقيمين . الدرس 4- تركيب التحويلات الهندسية 83 Ministry of Education 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تحقق من فهمك ارسم صورة الشكل B الناتجة عن انعكاس حول المستقيم ثم حول المستقيم ، ثم صف تحويلا هندسيا واحدا ينقل B إلى "B (38) 25° B (3A B 11 9 يتم إنشاء كثير من الأنماط في الحياة الواقعية باستعمال تركيب التحويلات الهندسية. مثال و من واقع الحياة وصف التحويلات الهندسية أنماط : صف تحويلا هندسيا مركبا، يمكن استعماله لتكوين النمط في كل مما يأتي: (a الربط مع الحياة تستعمل تحويلات هندسية مركبة عند تصميم السجاد، لاحظ تكرار الجزء نفسه في إطار السجادة أعلاه يمكن تكوين هذا النمط بتركيب انعكاس وإزاحة الشكلين المتقابلين ( وحدة النمط)، بتركيب انعكاس حول المستقيم ، ثم إزاحة إلى اليمين موازية للمستقيم " كما في الشكل أدناه. لاحظ أن المستقيم 7 يمر في منتصف الشكل الأصلي (وحدة النمط). تم تكوين هذا النمط بتركيب إزاحة وانعكاس؛ أي أنه يمكن تكوينه بتركيب إزاحة إلى اليمين موازية للمستقيم " تنقل A إلى B متبوعةً بانعكاس حول المستقيم " كما في الشكل الآتي. تحقق من فهمك ) سجاد صنف تحويلا هندسيا مركبا يمكن استعماله لتكوين النمط في كل مما يأتي: (B (A الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل 84

تأكد ملخص المفهوم تركيب التحويلات الهندسية الإزاحة تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين . الدوران تركيب انعكاسين حول مستقيمين متقاطعين . أضف إلى مطويتك المثال 1 إحداثيات رؤوس المثلث CD هي: 1- 1-) ,5 ,2 ,1-5-)C، مثل بيانيا ACDE وصورته الناتجة عن التحويل الهندسي المركب المحدد في كل من السؤالين الآتيين : 1) إزاحة مقدارها 4 وحدات إلى اليمين ثم انعكاس حول المحور x (2) إزاحة مقدارها 6 وحدات إلى أعلى، ثم انعكاس حول المحور لا المثال 2 (3) إحداثيات طرفي هما (65) ,(2)، مثل بيانيا K وصورتها الناتجة عن انعكاس حول المحور x ، ثم دوران بزاوية 90 حول نقطة الأصل. المثال 3 ارسم صورة الشكل 6 الناتجة عن العكاس حول المستقيم 10 ثم حول المستقيم هي، ثم صنف تحويلا هندسيا واحدا ينقل S إلى ". P 4 1.5 in S m (5) 50° S المثال 4 6) أنماط البلاط : صنع راشد نمطًا من بلاط على شكل مثلث متطابق الضلعين، صف التحويل الهندسي المركب الذي يمكن استعماله لتكوين هذا النمط. تدرب وحل المسائل المثال 1 مثل بيانيا الشكل وصورته الناتجة من التحويل المركب المحدد في كل مما يأتي: (7) ARST الذي إحداثيات رؤوسه 8 ADFG الذي إحداثيات رؤوسه R(1,-4), S(6,-4), T(5, -1) + D(2, 8), F(1, 2), G(4, 6) إزاحة مقدارها وحدتان إلى اليمين ثم انعكاس حول المحور تد إزاحة مقدارها 3 وحدات إلى اليمين و3 وحدات إلى أعلى، ثم انعكاس حول المستقيم y = x المثال 2 مثل بيانيا الشكل وصورته الناتجة عن التحويل المركب المحدد في كل مما يأتي: W(-4, 6), X(-4, 1). WX (9 انعكاس حول المحور x ثم دوران بزاوية 190 حول نقطة الأصل. 10 RS ، حيث 5- (6) ,(1- ,2) ، إزاحة مقدارها وحدتان إلى اليسار ووحدتان إلى أسفل، ثم انعكاس حول المحور ل الدرس 4-7- تركيب التحويلات الهندسية 85 Ministry of Education 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 المثال 3 ارسم صورة الشكل D الناتجة عن انعكاس حول المستقيم 17 ثم حول المستقيم P. ثم صف تحويلا هندسيا واحدا ينقل D إلى "D. P. 105 D m (12) D 1.2 in 11 P (11 المثال 4 صف تحويلا هندسيا مركبًا يمكن استعماله لتكوين نمط الأقمشة في كل مما يأتي: (15 (14 (13 16) زلاجات، رسم صالح على الاجته لمطاء ما التحويل الهندسي المركب الذي استعمله صالح لرسم هذا النمط ؟ 0000 جبر مثل بيانيا صورة كلُّ من الشكلين الآتيين الناتجة عن التحويل الهندسي المركب المحدد: (17) دوران بزاوية 90 حول نقطة الأصل ثم انعكاس حول المحور x (18) انعكاس حول المحور تد ثم انعكاس حول المحور ا -8 -4 -4 0 y=(x-3)² -4 -4Ay=3x+ 0 4 4 (19) أوجد إحداثيات رؤوس "AABC الناتج عن انعكاس حول المحور x ثم دوران بزاوية 180 حول نقطة الأصل للمثلث ABC الذي إحداثيات رؤوسه هي: (-)B2, 3, C ,(1 ,3) (20) برهان اكتب برهانًا حرًا للحالة الآتية من نظرية 7.1 (تركيب تحويلات التطابق). المعطيات تنقل الإزاحة بمقدار a وحدة إلى اليمين و وحدة إلى أعلى النقطة X إلى X والنقطة Y إلى " . وينقل الانعكاس حول المستقيم 2 النقطة X إلى "X والنقطة Y إلى "Y . X' X" المطلوب: "XY = X"Y الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل 86

21 حياكة تحيك خولة منديلا باستعمال النمط الظاهر في الشكل المجاور، صف تركيب التحويلات الهندسية الذي تستعمله خولة لإنشاء هذا النمط. آثار الأقدام: استعن بمعلومات الربط مع الحياة، وصفِ التحويل المركب من إزاحة وانعكاس الذي يمكن استعماله للتنبؤ بموقع أثر القدم اللاحق في كل من السؤالين الآتيين: (22) طائر الحبش الخطوة (23) البطة الربط مع الحياة طول خطوة الحيوان يساوي المسافة بين أثري قدم متتاليين. الخطوة صلب التحويل الهندسي المركب الذي ينتقل الشكل الأزرق إلى البني في كل من السؤالين الآتيين: فمتوسط طول خطوة طائر الحبش in 11 تقريبا ومتوسط طول خطوة البطة in 5 تقريبا. (24 K -2- L -6 KOK 6x L" L' RyR" 6 (25 Q Q T 157S" Tw -6 -2 02 Tx S' - P CC A D B Y B' Y B" A .P. S A' m R P A У R (26) برهان اكتب برهانا حرا للنظرية 7.2 المعطيات ينقل الانعكاس حول المستقيم p القطعة BC إلى BC وينقل الانعكاس حول المستقيم و القطعة BC إلى "BC -P||q, AD=x إرشادات للدراسة مراجعة عُد إلى الدرس 7-5 لمراجعة خصائص تطابق القطع المستقيمة. المطلوب (BB 1p, BB 1 qa BB" = 2x (b (27) برهان اكتب برهانا حرا للنظرية 7.3 المعطيات يتقاطع المستقيمان , في النقطة P. A نقطة لا تقع على أي من المستقيمين ) أو . المطلوب : (a) إذا أُجري انعكاس للنقطة A حول المستقيم ، ثم أجري انعكاس لصورتها حول المستقيم ، فإن "A تكون صورة A بدوران حول النقطة P. mZAPA"=2(m/SPR) (b مسائل مهارات التفكير العليا (28) تحد : إذا أزيح الشكل PQRS بمقدار 3 وحدات إلى اليمين ووحدتين إلى أسفل، ثم عكست الصورة حول المستقيم 1 - = y، وبعد ذلك تم تدوير الصورة الجديدة بزاوية 90 حول نقطة الأصل، فما إحداثيات رؤوس الشكل الناتج "PQRS؟ الدرس 4-7- تركيب التحويلات الهندسية 87 Ministry of Education 2024-1446

(29) تبرير إذا أُجري انعكاسان متعاقبان بشكل ما؛ أحدهما حول المستقيم y = x، والآخر حول المحور x، فهل يؤثر ترتيب الانعكاسين في الصورة الناتجة؟ اشرح إجابتك . (30) مسألة مفتوحة : صف تحويلا هندسيا مركبا يمكن استعماله لتحويل ABC إلى ADEF في الشكل المجاور. (31) تبرير إذا أخضع شكل ما لدورانين، فهل لترتيب الدورانين تأثير في موقع الصورة الناتجة دائمًا، أو أحيانًا، أو ليس له تأثير أبدًا؟ (32) اكتب هل تبقى أي نقاط ثابتةً في التحويلات الهندسية المركبة؟ -D B A- E وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 وضح إجابتك. تدريب على اختبار (33) ما صورة النقطة (1) الناتجة عن انعكاس حول المستقيم 34) إجابة قصيرة : إحداثيات طرفي CD هما (24) و (8) (7) ، إذا أزيحت هذه القطعة المستقيمة بمقدار 6 وحدات إلى y = x ؟ اليسار ووحدتين إلى أعلى، ثم عكست الصورة حول المحور لا ، فما إحداثيات "D؟ (-1,4) C (-1,-4) D (1, 4) A (1, 4) B مراجعة تراكمية استعمل منقلة ومسطرة؛ لرسم صورة الشكل الناتجة عن الدوران حول النقطة X بالزاوية المبينة في كل مما يأتي: ( الدرس 3-7) 180° (37 W Z Y C 120° (36 B * x. D R E T 60° (35 S مثل بيانيها الشكل وصورته الناتجة عن الإزاحة المحددة في كل مما يأتي: (الدرس (72) AFGH الذي إحداثيات رؤوسه هي : 1 ,1 ,3 ,4 ,(1) ؛ إزاحة مقدارها وحدتان إلى اليمين و6 وحدات إلى أعلى. (39) الشكل الرباعي ABCD الذي إحداثيات رؤوسه: 22) ؛ إزاحة مقدارها 3 وحدات إلى اليسار و5 وحدات إلى أسفل. استعد للدرس اللاحق يبين كل من الأشكال الآتية الأصل والصورة الناتجة عن انعكاس حول مستقيم ما، ارسم محور الانعكاس. (42 (41 الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل (40) 88