الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء رابط الدرس الرق www.ien.edu.sa Dot and Cross Products of Vectors in Space 5-5 فيما سبق: درست الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى . الدرس (53) والآن : أجد الضرب الداخلي لماذا ؟ يستعمل طارق المتجهات؛ ليتحقق مما إذا كان خطا سير طائرتين متوازيين أم لا؛ وذلك بمعرفة إحداثيات نقطتي ،الإقلاع، ونقطتين تصلان إليهما بعد فترة زمنية معينة. الضرب الداخلي في الفضاء إيجاد الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء يشبه إيجاده لمتجهين في المستوى، وكما هي الحال مع المتجهات في لمتجهين والزاوية بينهما في الفضاء . أجد الضرب الاتجاهي للمتجهات، وأستعمله في إيجاد المساحات والحجوم. المفردات: الضرب الاتجاهي المستوى، يتعامد متجهان غير صفريين في الفضاء، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرًا. مفهوم أساسي الضرب الداخلي والمتجهات المتعامدة في الفضاء يُعرَّف الضرب الداخلي للمتجهين : a = (ay, az, ag), b = b bb في الفضاء كالآتي: a b = ab + a2b2 + abs ، ويكون المتجهان غير الصفريين متعامدين ، إذا وفقط إذا كان a.b = 0 cross product متوازي السطوح parallelepiped مثال 1 إيجاد الضرب الداخلي لتحديد المتجهات المتعامدة أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين , في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: الضرب القياسي الثلاثي u (3, -3, 3), v = (4,7,3) (b u v 3(4)+(-3)(7)+3(3) 12+(-21)+9=0 u = (-7,3,-3), v = (5,17,5) (a u⚫v=-7(5)+3(17) + (-3)(5) -35+51 +(-15) = 1 وبما أن 0 uv ، فإن uv غير متعامدين . تحقق من فهمك وبما أن 0 = uv ، فإن , متعامدان. أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: u = (3, 5, 4), v = (5,7,5) (1A u = (4, -2, -3), v = (1, 3, -2) (1B a.b |a||b| وكما هو في المتجهات في المستوى، إذا كانت 0 هي الزاوية بين متجهين غير صفريين ab في الفضاء فإن .cos @= الزاوية بين متجهين في الفضاء مثال 2 أوجد قياس الزاوية بين , إذا كان (42) = (321) = ، إلى أقرب جزء من عشرة. u 101.5" y V u.v الزاوية بين متجهين cos = |a| |v/ u = (3,2,-1), v = (-4,3,-2) cos = (3,2,-1) (-4,3,-2) |(3,2,-1)||(-4,3,-2)| أوجد الضرب الداخلي، وطول كل من المتجهين بسط وحل بالنسبة إلى 9 cos 0= -4 V1429 0 = cos - 1 101.5° √406 أي أن قياس الزاوية بين 4 هو 101.5 تقريباً. تحقق من فهمك (2) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين : 13 + u = -4i + 2j + k, v = i ، إلى أقرب منزلةٍ عشرية. وزارة التعليم الدرس 55 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء 115 2024-1446 triple scalar product

إرشادات للدراسة الضرب الاتجاهي هو نوع آخر من الضرب بين المتجهات في الفضاء، وبخلاف الضرب الداخلي، فإن الضرب الاتجاهي لمتجهين a, b هو متجه وليس عددا، ويُرمز له بالرمز a × b، ax b ويُقرأ a cross b ، ويكون المتجه a b عمودياً على المستوى الذي يحوي المتجهين a, b . يكون المستقيم عموديا على مستوى، إذا كان عموديا على كل مستقيم يقع في هذا المستوى ويتقاطع معه مفهوم أساسي الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء إذا كان a = ani + azj + agk, b = bi + bj + bgk ، فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين ab هو المتجه a × b = (abs – asbi - (abs - asbij + (ab - a2bk إذا طبقنا قاعدة حساب قيمة محدّدة من الدرجة الثالثة على المحدّدة أدناه، والتي تتضمن متجهات الوحدة i j k وإحداثيات كل من a b ، فإننا نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه a × b . li j k a × b = 41 42 43 b₁ by by بوضع متجهات الوحدة في الصف 1 بوضع إحداثيات a في الصف 2 بوضع إحداثيات 6 في الصف 3 a2 a3 03 a i- j+ k axb (a2b3a3b2)i- (a₁ b3a3 b₁)j + (a₁ b₂- a₂ b₁)k تنبيه الضرب الاتجاهي يطبق الضرب الاتجاهي على المتجهات في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد فقط، ولا يطبق على المتجهات في مثال 3 إيجاد الضرب الاتجاهي لمتجهين أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: (33) = 1, 3,2,1) = ، ثم بين أن u x v يعامد كلًا من . i j k u = 3i - 2j + k, v = -3i + 3j + k uxv= 3 -2 1 -3 3 1 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 قاعدة إيجاد قيمة محددة الدرجة الثالثة أوجد قيمة محدّدة الدرجة الثانية بسط =(-23)i [3-(-3)]j + (9-6)k = -5i - 6j + 3k = (-5,-6,3) الصورة الإحداثية ولإثبات أن u x v يعامد كلًا من جبريا، أوجد الضرب الداخلي لـ u x v مع كل من v . . uxv (u xv) v =(-5,-6,3) (-3, 3, 1) =-5(-3)+(-6)(3)+3(1) 15+(-18) + 3 = 0✓ (u xv) u =(-5,-6,3) (3,-2,1) = -5(3) + (-6)(-2)+3(1) =-15+ 12 +3=0✓ بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرا، فإن ux v عمودي على كل من v,u. ع تحقق من فهمك u, v : أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم بيّن أن x v يعامد كلا من : u = (-2,-1,-3), v = (5,1,4) (3B u = (4,2,-1), v = (5,1,4) (3A المستوى الإحداثي. الفصل 5 المتجهات 116

الشكل 5.5.1 للضرب الاتجاهي تطبيقات هندسية عديدة، فمثلًا مقدار المتجه uv يُعبر عن مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متجاوران كما في الشكل 5.5.1 مثال 4 مساحة متوازي أضلاع في الفضاء أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه 3 + u = 2 + 4j – 3k, v = i – 5j ضلعان متجاوران. الخطوة 1 أوجد ux v الخطوة 2 أوجد طول ux v i j k u = 2i + 4j - 3k, v = i - 5j + 3k u X V = 2 4 -3 1 -5 3 بإيجاد قيمة محددة الدرجة الثالثة بإيجاد قيمة محددة الدرجة الثانية 4 -5 = -3i - 9j - 14k |u × v = √√(-3)² + (−9)² + (−14)² = √286 = 16.91 طول متجه في الفضاء بسط أي أن مساحة متوازي الأضلاع في الشكل 5.5.1 ، تساوي 16.91 وحدة مربعةً تقريبًا. تحقق من فهمك 4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه : u = -6 -2j + 3k, v = 4i +3j + k ضلعان متجاوران . الضرب القياسي الثلاثي إذا التقت ثلاثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية، فإنها تكوّن أحرفًا متجاورة لمتوازي سطوح، وهو عبارة عن مجسم له ستة أوجه كل وجه منها على شكل متوازي أضلاع كما في الشكل 5.5.2 أدناه، إن القيمة المطلقة للضرب القياسي الثلاثي لهذه المتجهات يُمثل حجم متوازي السطوح. مفهوم أساسي الضرب القياسي الثلاثي الشكل 5.5.2 إذا كان: t = ti + tzj + tgk, u = uni + uzj + ugk, v = vi + vzj + gk ، t1 t2 t3 فإن الضرب القياسي الثلاثي للمتجهات tu يُعرف كالآتي 143 142 41 = ( x ) . مثال 5 حجم متوازي السطوح 01 02 03 أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه : 3 + 5 - t = 4i - 2j - 2k, u = 2i + 4j - 3k, v = i أحرف متجاورة. t=4i-2j-2k 4 -2 -2 u = 2i+4j-3k t⚫ (uxv) = 2 v = i - 5j + 3k 4 -3 1 -5 3 4 -3-30-2-3-2-12 3 (2) =-12+18+28 = 34 أوجد قيمة محددة المصفوفة من الرتبة 3 × 3 بسط أي أن حجم متوازي السطوح في الشكل 5.2. هو ، ويساوي 34 وحدة مكعبة. تحقق من فهمك (5) أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه : +t = 2j - 5k, u = 6i - 2j + 3k, v = 4i+3+k أحرف متجاورة. وزارة التعليم الدرس 5-5- الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء 117 2024-1446

تدرب وحل المسائل , v أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t, u, v أحرف متجاورة في كلّ أوجد الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (مثال (1) مما يأتي: (مثال 5) t = (-1, -9,2), u = (4, -7,-5), v = (3,-2,6) (20 t(2, -3, -1), u = (4, -6, 3), v = (-9,5,-4) (21 t = i + j - 4k, u = -3i + 2j + 7k, v = 2i - 6j + 8k (22) t = 5i - 2j + 6k, u = 3i - 5j + 7k, v = 8i - j + 4k (23) أوجد متجها غير صفري يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: u = (3,-9, 6), v = (-8,2,7) (1 u (5,0,-4), v = (6,1,4) (2 u = (-7, -3, 1), v = (-4,5,-13) (3 u = (11,4,-2), v = (-1,3,8) (4 u = 6i - 2j - 5k, v = 3i - 2j + 6k (5) u = 9i - 9j + 6k, v = 6i + 4j - 3k (6) (7) كيمياء: تقع إحدى ذرتَي الهيدروجين في جزيء الماء عند (55.5 55.5 55.5) ، والأخرى عند 55.5 55.5 55.5) وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة الأكسجين في نقطة الأصل. أوجد الزاوية بين المتجهين اللذين يكونان رابطة الأكسجين – الهيدروجين مقربة إلى أقرب جزء من عشرة (مثال 2 ) أوجد قياس الزاوية 0 بين المتجهين uv في كل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة (مثال (2) (3,-8, 4) (24 (-1,-2,5) (25 (6,3,-3) (26 (7,0,8) (27 ل من v, u٠٧ ، فأوجد حالةً ممكنة للمتجه » في كل مما يأتي: إذا علم كل من ٠٧, v = (2, -4, -6), u⚫v=-22 (28 V = =(0, 4), u . v = 31 (29 v = (-2, -6, -5), u v = 35 (30 حدد ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعةً على استقامة واحدة أم لا؟ (-1, 7, 7), (-3, 9, 11), (-5, 11, 13) (31 (11,8,-1), (17, 5, -7), (8, 11, 5) (32 حدد ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا: m (2, -10, 6), n = (3, -15, 9) (33 a = (6,3,-7), b = (-4, -2, 3) (34 u = (6, -5, 1), v = (-8,-9,5) (8 u = (-8, 1, 12), v = (-6,4,2) (9 u (10, 0, -8), v = (3, -1, -12) (10 u = -3i + 2j + 9k, v = 4i + 3j - 10k (11 أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بين أن u x v عمودي على كل من : مثال (3) u = (-1,3,5), v = (2, -6, -3) (12 u = (4,7,-2), v = (-5,9,1) (13 u = (3,-6, 2), v = (1,5, -8) (14 u = -2i - 2j + 5k, v = 7i + j - 6k (15) (35) اكتب الصورة الإحداثية للمتجه الذي يقع في المستوى yz ، وطوله 8، ويصنع زاوية قياسها 60 فوق الاتجاه الموجب للمحور y. أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه ضلعان متجاوران في كل مما يأتي: (مثال 4) u = (-9, 1, 2), v = (6,-5,3) (16 u = (4,3,-1), v = (7,2,-2) (17 حدد ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD المُعطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضلاع أم لا، وإذا كان كذلك، فأوجد مساحته، وحدد ما إذا كان مستطيلا أم لا: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 A(3, 0, -2), B(0, 4, -1), C(0, 2, 5), D(3,2,4) (36 A(7, 5, 5), B(4, 4, 4), C(4, 6, 2), D(7,7,3) (37 u = 6i - 2j + 5k, v = 5i - 4j - 8k (18 u = i + 4j - 8k, v = -2i + 3j - 7 (19) الفصل 5 المتجهات 118

(38) عرض جوي: أقلعت طائرتان معا في عرض جوي، فأقلعت مراجعة تراكمية الأولى من موقع إحداثياته (2-0) ، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعا إحداثياته (15 (6)، في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته أوجد طول كل قطعة مستقيمةٍ مما يأتي، والمعطاة نقطتا طرفيها، ثم أوجد (02)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (605) هل يتوازى خطا سير الطائرتين؟ وضح إجابتك. إذا كان (4) = (322) = u ، فأوجد كلًا مما يأتي إن أمكن: إحداثيات نقطة منتصفها الدرس 4-5) (1, 10, 13), (-2, 22, -6) (46 (12,-1,-14), (21, 19, -23) (47 (-22, 24, -9), (10, 10, 2) (48 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس 3-5 ) (-8,-7) (1, 2) (49 (-4, -6) (7,5) (50 (6,-3) (-3,5) (51 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية، مستعملا قاعدة المثلث أو متوازي الأضلاع، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي (الدرس 1-5) a b . (uv) (39 vx (uv) (40) (41) إذا كانت V W u تُمثَّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة ؟ v(-2,-1,4) (52 0 y u(c,-3,1) w (1, 0, -2) d (53 مسائل مهارات التفكير العليا (42) تبرير حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائما، أو غير صحيحة أبدا، برّر إجابتك . لأي متجهين غير صفريين وغير متوازيين، يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين. u = (4, 6, c), v = (-3, -2, 5):15 13(43 تدريب على اختبار (54) أي مما يأتي متجهان متعامدان؟ (1, 0, 0), (1,2,3) A (1,2,3), (2,4,6) B (3, 4, 6), (6, 4, 3) C (3,-5, 4), (6,2,-2) D قيمة ، التي تجعل u x v = 34i - 26j + 10k . (44) تبرير فسر لماذا لا يمكن تعريف الضرب الاتجاهي في المستوى. (45) اكتب بين طرق الكشف عن توازي متجهين أو تعامدهما. (55) ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين : fu (3,8, 0), v = (-4, 2, 6) 48i 18j+38k A 48i - 22j + 38k B 46i - 22j+ 38k C 46i 18j+38k D وزارة التعليم الدرس 5- الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء 119 2024-1446

الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية مقدمة في المتجهات ( الدرس (51) المفردات كمية قياسية عددية ص 86 المتجه ص 86 . يُعبر عن اتجاه المتجه بالزاوية بين المتجه، والأفقي. ومقدار كمية متجهة ص 86 المتجه هو طوله قطعة مستقيمة متجهة ص 86 . ناتج جمع متجهين هو متجه يُسمى المحصلة، ويمكن إيجاده نقطة البداية ص 86 باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع نقطة النهاية ص 86 المركبات ص 90 المركبات المتعامدة ص 90 الصورة الإحداثية ص 94 متجه الوحدة ص 96 متجها الوحدة القياسيان ص 96 توافق خطي ص 97 قاعدة المثلث b a+b a+b طول المتجه ص 86 قاعدة متوازي الاضلاع المتجهات في المستوى الإحداثي (الدرس (52) • الصورة الإحداثية للمتجه في الوضع القياسي هي (x,y) . الصورة الإحداثية للمتجه في الوضع غير القياسي الذي نقطة بدايته 1 Ax ، ونقطة نهايته (2 x) هي: . (22 - 21,92 - 91 . يُعطى طول المتجه (02 ,0) = 7 بالصيغة || = (1) + (02) 2 الوضع القياسي ص 86 اتجاه المتجه ص 86 الاتجاه الربعي ص 87 الاتجاه الحقيقي ص 87 المتجهات المتوازية ص 87 المتجهات المتساوية ص 87 المتجهان المتعاكسان ص 87 المحصلة ص 88 قاعدة المثلث ص 88 قاعدة متوازي الأضلاع ص 88 المتجه الصفري ص 89 . إذا كان : a = (442), b = by, b2 متجهين، وكان k عددًا حقيقيًا، فإن : a + b = a + by a + b2 ، اختبر مفرداتك a - b = (a - by, a2 - b2 ، ka = (kay, ka) . يمكن استعمال متجهي الوحدة ، أ للتعبير عن المتجه v = a, b على الصورة ai + bj . الضرب الداخلي (الدرس (3-5) . يُعرف الضرب الداخلي للمتجهين (1,42) = a ، (162) بالصيغة a. b = a b + az b2 . إذا كانت 0 زاوية بين متجهين غير صفريين a, b ، فإن : a.b |a| |b| cos 0 = المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد (الدرس 4-5) . تعطى المسافة بين النقطتين ( 1 ) (222 ) بالصيغة • تعطى نقطة منتصف AB بالصيغة AB= : V x2 - x1 ) 2 + (92 - 912 + (22 - 21) 2 M(x1+x 1 + 1/2 1+2) 2 2 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي لمتجهين في الفضاء ( الدرس 5-5 ) . يُعرف الضرب الداخلي للمتجهين : ( 3 ,2 ,1) = a ، b = by bab بالصيغة ab = ab + azb + abs الضرب الداخلي ص 102 المتجهان المتعامدان ص 102 الشغل ص 105 نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد ص 109 المحور 2 ص 109 الثمن ص 109 الثلاثي المرتب ص 109 الضرب الاتجاهي ص 116 متوازي السطوح ص 117 الضرب القياسي الثلاثي ص 117 حدد ما إذا كانت العبارات الآتية صحيحة أم خاطئة، وإذا كانت خاطئة فاستبدل ما تحته خط لتصبح العبارة صحيحة: 1) نقطة نهاية المتجه هي الموقع الذي يبدأ منه . (2) إذا كان (3) = (41) = a ، فإن الضرب الداخلي للمتجهين هو (32) + (1)4 (3) نقطة منتصف AB عندما تكون (22) 12 (Axy 1, 1), B (x2 21+22 2 (4) طول المتجه r الذي نقطة بدايته (1) ، ونقطة نهايته (24) هو (36) (5) يتساوى متجهان إذا وفقط إذا كان لهما الطول نفسه، والاتجاه نفسه. (6) إذا تعامد متجهان غير صفريين، فإن قياس الزاوية بينهما 180 (7) لتجد متجها يعامد أي متجهين على الأقل في الفضاء، أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين الأصليين. (8) طرح متجه يكافئ إضافة معكوس المتجه. (9) إذا كان ٧ متجه وحدة باتجاه ، فإن • إذا كان: a = ai + azj + agk, b = bi + bzj + bgk ، فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين هو a × b ، ويساوي || .v= u 120 (ab - asbi - (abs - asbij + (ab - abk الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة الدروس 5-1 مقدمة في المتجهات الصفحات 86 - 93 حدد الكميات المتجهة، والكميات القياسية في كل مما يأتي: (10) تسير سيارة بسرعة 50mi/h باتجاه الشرق. (11) شجرة طولها 20ft أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر، ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي، مستعملا المسطرة، والمنقلة. مثال 1 أوجد محصلة المتجهين s r مستعملا قاعدة المثلث، أو قاعدة متوازي الأضلاع قرب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر، ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملا المسطرة، والمنقلة. d (12 (13 13 (14 (15 أوجد طول المحصلة لناتج جمع المتجهين واتجاهها في كل مما يأتي: 16 70m جهة الغرب، ثم 150m جهة الشرق. 17 8 للخلف، ثم 12N للخلف. قاعدة المثلث اسحب ، بحيث تلتقي نقطة نهاية x مع نقطة بداية ، فتكون المحصلة هي المتجه الذي يبدأ من نقطة بداية ، وينتهي عند نقطة نهاية s. قاعدة متوازي الأضلاع نقطة اسحب 5 ، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع : بداية r ، ثم أكمل متوازي الأضلاع الذي فيه , ضلعان متجاوران فتكون المحصلة هي المتجه الذي يكون قطر متوازي الأضلاع. فيكون طول المحصلة 3.4cm ، وقياس زاويتها "59 مع الأفقي. r+s r+s وزارة التعليم الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة 121 2024-1446

الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة 5-2 المتجهات في المستوى الإحداثي ( الصفحات 94 - 101 أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلّ مما يأتي: A(-1, 3), B(5, 4) (18 A(7,-2), B(-9,6) (19 A(-8,-4), B(6, 1) (20 مثال 2 أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB الذي نقطة بدايته (32) ، ونقطة نهايته (41) . 91 - 192 - (AB = (x2 الصورة الإحداثية =(43,-1-(-2)) = (1,1) عوض اطرح A(2,-10), B(3,-5) (21 sp=(4,0), q = (-2,-3), t = (-4,2):31515) مما يأتي: 2q - p (22) p+2t (23 t - 3p + q (24 2p + t - 39 (25) أوجد متجه وحدة u باتجاه v في كل مما يأتي: v = (-7,2) (26 v = (-5,-8) (28 v = (3,-3) (27 v (9,3) (29 أوجد طول المتجه AB. = Va24b2 = V12 + 12 = 2 = 1.4 | AB قانون المسافة عوض بسط 5-3 الضرب الداخلي ( الصفحات (102 - 107) مثال 3 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم تحقق ممَّا إذا كانا متعامدين أم لا: u (-3,5), v(2,1) (30 u (4, 4), v (5,7) (31 u =(-1, 4), v = (8,2) (32 u =(-2, 3), v = (1,3) (33 أوجد الزاوية 0 بين المتجهين v في كل مما يأتي: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين : (4) = x = (2, -5), y ، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. y = x1 91 + x22 • الضرب الداخلي =2(-4)+(-5)(7) =-8+ (-35) = -43 عوض بسط بما أن 0 • ، فإن المتجهين y ، x غیر متعامدين u = (5,-1), v = (-2,3) (34 u = (-1, 8), v = (4,2) (35 122 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد ( الصفحات 109 - 114) مثال 4 عين كل نقطة من النقاط الآتية في الفضاء الثلاثي الأبعاد: (1,2,-4) (36 (3,5,3) (37 (5,-3,-2) (38 (-2,-3,-2) (39 أوجد طول القطعة المستقيمة المعطاة نقطتا طرفيها في كل مما يأتي، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها. عين النقطة (34) في الفضاء الثلاثي الأبعاد . حدد موقع النقطة (3) في المستوى xy بوضع إشارة، ثم عيّن نقطةً تبعد 4 وحدات أسفل هذه النقطة، وباتجاه مواز للمحور 2 . (-3,4,-4) (-4, 10, 4), (2, 0, 8) (40 (-5, 6, 4), (-9, -2, -2) (41 (3,2, 0), (-9, -10, 4) (42 (8, 3, 2), (-4, -6, 6) (43 مثل بيانيا كلا من المتجهات الآتية في الفضاء: a = (0, -3, 4) (44 b = -3i + 3j + 2k (45) c = -2i - 3j + 5k (46 d=(-4, -5,-3) (47 5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء ( الصفحات 115 - 119) مثال 5 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: (423) = ، كانا متعامدين أم لا. (71) = 7 ، ثم بيّن أن u x v يعامد كلا من . 2 ux v = 11 = (37, -13,-58) (u xv) u=(37, -13, -58) (-4,2,-3) =-148 26+ 174 = 0✔ (u xv) v(37, -13, -58) (7, 11, 2) 259 143 116 = 0✓ بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرا، فإن ux V عمودي على كل من ulv وزارة التعليم الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة 123 2024-1446 u = (2,5,2), v = (8,2,-13) (48 u = (5, 0, -6), v = (-6, 1, 3) (49 أوجد الضرب الإتجاهي للمتجهين , في كل مما يأتي، ثم بين أن يعامد كلا من : u = (1, -3, -2), v = (2,4,-3) (50 u = (4, 1, -2), v = (5,-4,-1) (51

الفصل 5 دليل الدراسة والمراجعة تطبيقات ومسائل 52) كرة قدم: تلقى لاعب كرة قدم الكرة برأسه، فارتدت بسرعة (55) أقمار اصطناعية: إذا مَثَّلت النقطتان : (38426 ,32461 ,28625)، ابتدائية مقدارها 55ft/s ، وبزاوية قياسها °25 فوق الأفقي كما في الشكل أدناه. أوجد مقدار كل من المركبتين الأفقية، والرأسية للسرعة (الدرس 1-5) (292183015 31613) موقعي قمرين اصطناعيين، ومَثَلَتِ النقطة (0,0,0) مركز الأرض، وعلمت أن الإحداثيات معطاة بالميل، وأن طول نصف قطر الأرض يساوي 3963mi تقريبًا، فأجب عما يأتي: (الدرس 4 - 5 ) 55 ft/s (53) طيران تهبط طائرة بسرعة مقدارها mi/h 110 ، وبزاوية قياسها 10 تحت الأفقي، أوجد الصورة الإحداثية للمتجه الذي يُمثل سرعة الطائرة (الدرس (52) اسم $ 10° 110 mi/h 10° 54) صناديق : يدفع عامل صندوقًا بقوةٍ ثابتة مقدارها 90N بزاوية 45 في الشكل أدناه. أوجد الشغل المبذول بالجول لتحريك الصندوق 8m (مع إهمال قوة الاحتكاك). (الدرس 3-5 ) 124 -45° 45% الفصل 5 المتجهات (a) أوجد المسافة بين القمرين إذا وضع قمر ثالث في منتصف المسافة بين القمرين، فما إحداثيات موقعه؟ اشرح إمكانية وضع قمر ثالث في الإحداثيات التي أوجدتها في الفرع 6 . 56) استعمل الضرب القياسي الثلاثي لحساب حجم غرفة أبعادها 3m, 4m, 5m "إرشاد: اعتبر متوازي المستطيلات حالةً خاصةً من متوازي السطوح" (الدرس 5-5) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل 5 اختبار الفصل أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث a (2,4,-3), b = (-5, -7, 1), c = (8, 5, -9):15 13! أو قاعدة متوازي الأضلاع، قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من فأوجد كلًا مما يأتي: السنتمتر، ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملا المسطرة، والمنقلة. 2a + 5b - 3 (12) b 6a+2c (13 (2 d P (1 أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلّ 14) بالونات الهواء الساخن: أُطلق 12 بالونا تحوي هواء ساخنا في مما يأتي: A(1), B(-1,7) (4 A(1,-3), B(-5,1) (3 (5) كرة قدم: ركض لاعب بسرعة m/s 4 ؛ للتصدي لكرة قادمة من الاتجاه المعاكس لحركته، فضربها برأسه بسرعة m/s 30 ، وبزاوية قياسها 25 مع الأفقي، فما محصلة سرعة الكرة، واتجاه حركتها؟ أحد المهرجانات، وبعد عدة دقائق من الإطلاق، كانت إحداثيات البالونين الأول والثاني هي : 29510) (200) كما في الشكل أدناه ، علما بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام. 42 40- ⚫(-29, 15, 10) (20, 25, 30) -30 10 y -20 20 20 -20 30 m/sec 25° 4 m/sec أوجد متجه وحدة باتجاه u في كل مما يأتي: u = (-1,4) (6 u = (6,-3) (7 أوجد الضرب الداخلي للمتجهين uv في كل مما يأتي، ثم بين ما إذا كانا متعامدين أم لا: u = (2,-5), v = (-3,2) (8 u (4,3), v (6,8) (9 u = 10i - 3j, v = i + 8j (10 أوجد المسافة بين البالونين الأول والثاني في تلك اللحظة. إذا كان البالون الثالث عند نقطة منتصف المسافة بين البالونين الأول والثاني، فأوجد إحداثياته. أوجد الزاوية 0 بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: u = (-2, 4, 6), v = (3,7,12) (15 u = -9i + 5j + 11k, v = -5i - 7j - 6k (16 11) اختيار من متعدد: إذا علمت أن :-) = u = (13) ,v ، فأي مما يأتي يُمثل ناتج جمع متجهين متعامدين أحدهما مسقط 1 على ٧ ؟ 11= أوجد الضرب الإتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بين أن يعامد كلا من : u = (1, 7,3), v = (9,4,11) (17 u = -6i + 2j - k, v = 5i - 3j - 2k (18 وزارة التعليم الفصل 5 اختبار الفصل 125 2024-1446 + B u = (-3)+(1/3) c 1 = (3) + (3) u