الدائرة ومحيطها - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

www.jen.edu.sa الدائرة ومحيطها Circle and Circumference المادية 8-1 فيما سبق درست عناصر الأشكال الرباعية واستعملتها. (مهارة سابقة) وا الآن إذا ركبت العجلة الدوَّارة، فإن بعدك عن مركز دورانها يكون ثابتا، فإذا كانت المسافة بين موقعك ومركزها 44ft ، فيمكنك أن تجد المسافة التي تقطعها في دورة واحدة. القطع المستقيمة في الدائرة الدائرة هي المحل الهندسي لجميع النقاط في المستوى، والتي تبعد بعدا ثابتا عن نقطة معلومة تُسمّى مركز الدائرة. وعادة ما تسمى . أتعرف عناصر الدائرة الدائرة بمركزها، والشكل المجاور يبين الدائرة C التي يمكن أن يرمز لها بالرمز OC . وأستعملها. أحل مسائل تتضمن محيط الدائرة. المفردات الدائرة circle المركز و للقطع المستقيمة التي تقطع الدائرة أسماء خاصة. مفهوم أساسي قطع مستقيمة خاصة في الدائرة الدائرة C أو OC نصف القطر هو قطعة مستقيمة يقع أحد طرفيها على المركز والطرف الآخر على الدائرة. أمثلة: CD, CE, CF أنصاف أقطار في OC . أضف إلى مطويتك B A D F E center نصف القطر الوتر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة. أمثلة: ABDE وتران في OC . radius القطر هو وتر يمر بمركز الدائرة، ويتكون من نصفي قطرين يقعان على الوتر استقامة واحدة. مثال: DE قطر في OC ، ويتكون القطر DE من نصفي القطرين CD,CE الواقعين على H استقامة واحدة . مثال 1 تعيين القطع المستقيمة في الدائرة a ) سم الدائرة، وعين نصف قطر فيها. ) عين وترا وقطرًا في الدائرة. F L chord القطر diameter الدوائر المتطابقة congruent circles الدوائر المتحدة. المركز concentric circles محيط الدائرة circumference باي (7) pi المضلع المحاط بدائرة inscribed with a circle M 'N مركز الدائرة هو P؛ إذن يمكن تسميتها الدائرة P ، أو OP . تظهر في الشكل ثلاثة G K يظهر في هذه الدائرة وتران هما: JK,G، ويمر HG بالمركز؛ إذن HG قطر. S V Y Z T R X U وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 .PL, PN, PM أنصاف أقطار هي: تحقق من فهمك 1) سم الدائرة، ونصف قطر، ووترا، وقطرًا فيها. الدائرة الخارجية circumscribed الفصل 8 الدائرة 118

ومن تعريف الدائرة، فإن المسافة بين مركز الدائرة وأي نقطة عليها ثابتة دائمًا؛ إذن أنصاف أقطار الدائرة جميعها قراءة الرياضيات متطابقة . وبما أن قطر الدائرة يتكوّن من نصفي قطرين؛ فإن أقطار الدائرة جميعها متطابقة. القطر ونصف القطر: تستعمل الكلمتان (القطر، ونصف القطر) للتعبير عن الطول وعن القطع المستقيمة. وبما أن للدائرة عدة أنصاف أقطار وعدة أقطار أيضًا، فإن قولنا نصف قطر أو قطر يعني القياس، وليس القطعة المستقيمة. مفهوم أساسي العلاقة بين القطر ونصف القطر إذا كان نصف قطر الدائرة r وقطرها ، فإن : صيغة نصف القطر: أو 14 =r r= مثال 2 إيجاد نصف القطر والقطر في الشكل المجاور إذا كان QV = 8cm، فأوجد قطر ؟ d = 2r صيغة القطر صيغة القطر: d = 2r أضف إلى مطويتك تنبيه ! القطر أو نصف القطر في المسائل التي تتضمن الدوائر، انتبه جيدًا إلى ما إذا كانت المعطيات تتعلق بنصف قطر الدائرة أم بقطرها. = 2(8) = 16 بالتعويض والتبسيط القطر في 02 يساوي 16cm . اتحقق من فهمك : في الشكل المجاور 2) إذا كان TU = 14ft ، فأوجد نصف قطر 00؟ (28) إذا كان QT = 11 m، فأوجد QU . V U كما هو الحال في الأشكال الأخرى، يمكن أن تكون أزواج الدوائر متطابقة، أو أن تربطهما بعض العلاقات الخاصة. تقاطع في نقطتين مفهوم أساسي أزواج الدوائر أضف إلى مطويتك تكون الدائرتان متطابقتين إذا وفقط إذا كان الدائرتان المتحدثان في المركز نصفا قطريهما متطابقين هما الدائرتان اللتان تقعان في المستوى نفسه K مثال: OG=OJ! GH = JK ولهما المركز نفسه. B مثال: A التي نصف قطرها AB و A التي نصف قطرها AC دائرتان متحدثان في المركز إذا تقاطعت دائرتان، فإنه يمكن أن تتقاطعا بطريقتين مختلفتين، والجدول التالي يوضح الأوضاع المختلفة بين دائرتين. تقاطع في نقطة واحدة 80 لا يوجد تقاطع الدرس 1-1 الدائرة ومحيطهاة ال119م Ministry of Education 2024-1446

القطعة المستقيمة التي تصل بين مركزي دائرتين متقاطعتين يمكن أن تحوي نصفي قطري الدائرتين. مثال 3 إيجاد قياسات في دائرتين متقاطعتين في الشكل المجاور قطر OS يساوي 30 وحدةً، وقطر OR يساوي 20 وحدة، و DS يساوي 9 وحدات، أوجد CD. بما أن قطر OS يساوي 30 ، فإن 15 = CS و CD هو جزء من نصف القطر CS. CD + DS = CS CD + 9 = 15 CD = 6 مسلمة. جمع القطع المستقيمة بالتعويض بطرح 9 من كلا الطرفين تحقق من فهمك (3) استعمل الشكل أعلاه لإيجاد RC . محيط الدائرة: محيط الدائرة هو طول المنحنى المغلق الذي يُمثل الدائرة، ويُرمز له بالرمز C، وتُعرف النسبة لا بأنها عدد غير نسبي يُسمّى باي (T) ، ويساوي 3.14 أو 2 تقريباً، ويمكن استنتاج صيغتين لحساب محيط الدائرة باستعمال هذا التعريف. تعريف باي C = Td C = (2г) C = 2πr بضرب كلا الطرفين في d بالتعويض d = 2r بالتبسيط مفهوم أساسي محيط الدائرة أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: إذا كان قطر الدائرة يساوي d، أو نصف قطرها يساوي ٣ ، فإن محيطها C يساوي حاصل ضرب القطر في ، أو مثلي نصف القطر في T . الرموز C = Td أو C = 2ar الربط مع الحياة أُقيمت في عام 2005 م مباراة دولية في التنس على مهبط للطائرات العمودية فوق قمة فندق برج العرب في الإمارات العربية المتحدة، ويرتفع هذا المهبط الدائري ft 700 تقريبا عن سطح الأرض، وقطره 79ft 120 الفصل 8 الدائرة مثال من واقع الحياة إيجاد محيط الدائرة تنس أوجد محيط المهبط الدائري الموصوف في فقرة الربط مع الحياة المجاورة. C=Td =π(79) = 797 248.19 صيغة محيط الدائرة بالتعويض بالتبسيط باستعمال الحاسبة محيط المهبط الدائري يساوي 79mft، أو 248.19ft تقريباً. اتحقق من فهمك أوجد محيط كلَّ من الدائرتين الآتيتين مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (44) نصف القطر يساوي 2.5cm 48) القطر يساوي 16ft وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة يمكنك استعمال إحدى صيغتي محيط الدائرة، لحساب قطر الدائرة؛ ونصف قطرها إذا علم محيطها. مستويات الدقة : بما أن 7 عدد غير نسبي، مثال 5 إيجاد القطر ونصف القطر إذان لا يمكن كتابته على أوجد القطر ونصف القطر مقربين إلى أقرب جزء من مئة للدائرة التي محيطها 106.4mm صورة كسر عشري منته. ولكن لأغراض الحصول على تقدير سريع في الحسابات، يمكن اعتبار C = Td 106.4 = Td 106.4 = d 33.87 mm = d صيغة محيط الدائرة بالتعويض بقسمة كلا الطرفين على T باستعمال الحاسبة تحقق من فهمك r = (33.87) = 16.94 mm صيغة نصف القطر d=33.87 باستعمال الحاسبة قيمته 3 وإذا استعملت القيمة 3.14 أو 22، فستحصل على تقريب أكثر دقة، وللحصول على القيمة الدقيقة استعمل مفتاح 7 في الحاسبة. 5) إذا كان محيط دائرة يساوي 77.8cm ، فأوجد قطر الدائرة ونصف قطرها مقربين إلى أقرب جزء من مئة. يكون المضلع محاطًا بدائرة إذ وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة. وتسمى هذه الدائرة الدائرة الخارجية. • الشكل الرباعي LMNP محاط بـ OK . • OK دائرة خارجية للمضلع LMNP . L *K M N P مثال 6 من اختبار إجابة قصيرة، إذا كانت الدائرة / تحيط بمربع طول ضلعه 9in ، وقطره يمثل قطرها، فما القيمة الدقيقة لمحيط . اقرأ سؤال الاختبار إرشادات للدراسة احسب قطر الدائرة، واستعمله لحساب محيطها. حل سؤال الاختبار ارسم شكلا توضيحيا فيه: قطر المربع يمثل قطرا للدائرة أيضاء ويكون وترا لمثلث قائم الزاوية. الدائرة الخارجية والدائرة الداخلية : تسمى الدائرة التي تمر بجميع رؤوس المضلع الدائرة الخارجية، أما الدائرة التي تمس جميع a2 + b2 = 2 92+92 = c² 162 = c² 9√2=c نظرية فيثاغورس بالتعويض بالتبسيط بأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين أضلاع المضلع، فتسمى قطر الدائرة يساوي 92in الدائرة الداخلية، حيث تكون محاطة بالمضلع كالدائرة في الشكل أدناه. أوجد المحيط بدلالة ، بتعويض 92 لقيمة d في الصيغة C = Td . محيط الدائرة يساوي 97V2in تحقق من فهمك أوجد القيمة الدقيقة المحيط الدائرة في كل مما يأتي: 6) إذا كانت تحيط بمثلث قائم الزاوية طولا ساقيه 7mm 6B) إذا كانت محاطة بمربع طول ضلعه 10ft 9 in. الدرس 1-1 الدائرة ومحيطها ال121م Ministry of Education 2024-1446

E D N B A F S نصف قطر تأكد المثالان 1.2 استعمل الدائرة في الشكل المجاور؛ للإجابة عن الأسئلة الآتية: 1) سم هذه الدائرة. عين كلا مما يأتي: a) وترا ) قطرا إذا كان CN = 8 cm ، فأوجد DN . إذا كان EN = 13 ft ، فما قطر الدائرة؟ المثال 3 قطر كل من يساوي , cm 18 cm 8 على الترتيب. أوجد كلا من القياسين الآتيين: FG (5 FB (6 المثال 4 (7) عجلة دوارة: عُد إلى فقرة "لماذا ؟ " بداية الدرس. ما قطر هذه العجلة الدوارة؟ وما محيطها؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من منة إذا لزم ذلك. I المثال 5 (8) بركة سباحة محيط بركة السباحة الدائرية في الشكل المجاور يساوي ft 56.5 تقريبا، ما قطر هذه البركة؟ وما نصف قطرها؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. 12 cm 8 cm T V R U المثال 6 (9) إجابة قصيرة المثلث القائم الزاوية في الشكل المجاور محاط بالدائرة D ، أوجد القيمة الدقيقة لمحيط OD . تدرب وحل المسائل المثالان 12 عد إلى OR في الشكل المجاور؛ للإجابة عن الأسئلة الآتية. (10) ما مركز الدائرة؟ 11) عين وترا يكون قطرًا. (12) هل VU نصف قطر؟ برر إجابتك. (13) إذا كان SU = 16.2cm ، فأوجد RT؟ المثال 3 إذا كان نصف قطر / يساوي 10 وحداتٍ، ونصف قطر OK يساوي 8 وحدات و BC يساوي 5.4 وحدات، فأوجد كل قياس مما يأتي: A BCK D وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 AB (15) AD (17) CK (14 JK (16 الفصل 8 الدائرة 122

المثال 4 18) بيتزا أوجد نصف قطر قرص البيتزا ومحيطها في الشكل المجاور، مقرنا الاجابة إلى أقرب جزء من منة، إذا لزم ذلك. (19) دراجات قطر إطار دراجة يساوي 26in ، أوجد نصف قطر الإطار ومحيطه، مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 14 in المثال 5 أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها إذا عليم محيطها في كل مما يأتي مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. C=18 in (20 C=124 ft (21 C = 2608.25m (23) C = 375.3cm (22) المثال 6 أوجد القيمة الدقيقة لمحيط كل من الدوائر الآتية باستعمال المضلّع الذي تحيط به أو الذي يُحيط بها. (26 8cm -14 yd- (25) +5 in. 9 in. (24 (27) فناء: أراد مصطفى أن يرصف فناء دائري الشكل، كما في الشكل المجاور. ما المحيط التقريبي لهذا الفناء؟ إذا غير مصطفى خطة إنشاء هذا الفناء، بحيث يصبح محيط الدائرة الداخلية 25 تقريباً، فكم يكون نصف قطر الدائرة مقربا إلى أقرب قدم؟ 3ft 2ft في كلّ من الأسئلة 31-28، علم نصف قطر أو قطر أو محيط دائرة. أوجد القياسين المجهولين مقربا إجابتك إلى الحرب جزء من مئة. r = 1}n,d=1,C=1 (29 r = ,d = 1, C = } (31 d = 8 in, r = 1, C = 3 (28 C = 35 x cm, d = 2, T = 2 (30) قراءة الرياضيات الرمزان CA و C : يقرأ الرمز C محيط الدئرة A ويقرأ الرمز C محيط الدائرة B. (32) حدائق : يُراد إنشاء رصيف عرضه 4m حول بركة دائرية الشكل محيطها 68m، فما محيط الرصيف؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (33) تمثيلات متعددة في هذا السؤال ستستكشف أثر تغيير الأبعاد في الدائرة. a) هندسيًا: مستعملا الفرجار ارسم ثلاث دوائر متحدة المركز، بحيث تكون نسبة طول نصف قطر كل دائرة إلى طول نصف قطر الدائرة الأكبر منها تساوي 2 ) جدوليا : احسب محيط كل من الدوائر السابقة مقربا إلى أقرب جزء من مئة، وسجل في جدول نصف القطر والمحيط لكل منها. $ لفظيا فسّر لماذا تكون الدوائر الثلاث متشابهة هندسياً. ل الفطيا ضع تخمينا حول النسبة بين محيطي الدائرتين عندما تكون النسبة بين تصلي قطريهما تساوي 2 . e) تحليليا : معامل التشابه من A إلى OB يساوي . اكتب معادلة تربط محيط CA) A ) بمحيط .(C) OB عدديا : إذا كان معامل التشابه من A إلى OB يساوي ، ومحيط OA يساوي 12in ، فما الدرس 1-1 الدائرة ومحيطها ال123م Ministry of Education 2024-1446 محیط OB؟

8ft 60 ft 136 ft (34) رياضة : يظهر في الصورة أدناه مضمار جري. الربط مع الحياة يمكن أن يحرق الشخص الذي يزن 68kg حوالي 240 سعرا حراريا، إذا ركض بسرعة km/h 9 مدة 20min ، وذلك أكثر من مثلي عدد السعرات التي يحرقها إذا سار بسرعة 7.2km/h المدة الزمنية نفسها. a كم تزيد المسافة التي يقطعها شخص يركض دورة واحدة على المسار الخارجي للمضمار، عن المسافة التي يقطعها شخص يركض دورة واحدة على المسار الداخلي؟ ) كم دورة تقريبًا يجب أن يركض شخص على المسار الخارجي للمضمار؛ ليقطع ميلًا واحدًا؟ مسائل مهارات التفكير العليا (35) مسألة مفتوحة ارسم دائرة يكون محيطها بين cm 8 و 12cm، ما نصف قطر هذه الدائرة؟ (36) اكتشف الخطأ: رسم كلّ من حمود و سلمان شكلًا يُمثل مجموعة النقاط التي تبعد cm 4 عن النقطة ، فهل إجابة أي منهما صحيحة؟ برر إجابتك. حمود سلمان Ko 4x x H x 2x J4cm (37) تحد مجموع محيطات الدوائر التي تظهر في الشكل المجاور يساوي 567 . أوجد K . 38) تبرير: هل المسافة بين مركز الدائرة وأي نقطة داخلها أقل من نصف قطرها دائمًا أو أحيانًا أو لا تكون كذلك أبدًا؟ فسّر إجابتك. (39) تحد: OP مُحاطة بالمثلث المتطابق الأضلاع ،LMN كما في الشكل أدناه، ما محيط OP، مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة ؟ M P. . 8 in. N 40) اكتب بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين الدوائر المتطابقة والدوائر المتحدة في المركز. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 الدائرة 124

تدريب على اختبار (41) ما محيط OT؟ قرب إجابتك إلى أقرب عُشر. (42) جبر: أحاط إبراهيم حديقته الدائرية الشكل بسياج. إذا كان طول السياج 50m ، فما نصف قطر الحديقة؟ قرب إجابتك إلى أقرب عددٍ صحيح. 8C 7 D 10 A 9 B 12 مراجعة تراكمية استعمل مسطرة لرسم صورة الشكل الناتجة عن تمدّد مركزه B ومعامله المحدّد في كل من الأسئلة الآتية. (مهارة سابقة) k=3 (46 B B 4 ft k=2 (45 (48) k = (44 B k = (43 B أوجد القيمة الدقيقة لمحيط كل دائرة ممّا يأتي: (الدرس 1-8) (47 4√√2m حدد ما إذا كان يبدو لصورة كلّ من الأشكال الآتية تماثل دوراني أم لا؟ وإذا كان كذلك، فانسخ الشكل في دفترك، وحدد عليه مركز التماثل، واذكر رتبته ومقداره (مهارة سابقة) 6x 3x (52) الدرس 1-1 الدائرة ومحيطها ال125م Ministry of Education 2024-1446 (55) (51 2x (54 (50 (49 استعد للدرس اللاحق أوجد قيمة و في كل مما يأتي: xx (53)