إثبات علاقات بين القطع المستقيمة - الرياضيات 1-1 - أول ثانوي

1-7 فيما سبق: إثبات علاقات بين القطع المستقيمة Proving Segments Relationships الماذا؟ رابط الدرس www.ien.edu.sa درست كتابة البرهان الجبري يعمل عبدالله في محل لبيع الأقمشة، ويقيس والبرهان ذي العمودين. الدرس (6-1) والآن : أكتب براهين تتضمن جمع أطوال القطع المستقيمة. أكتب براهين تتضمن تطابق قطع مستقيمة. القماش بوضع حافته عند حافة تدريج المسطرة التي طولها متر واحد. ولكي يقيس أطوالا مثل 125cm، يقيس مترًا من القماش ويضع علامة عليه، ثم يقيس من تلك العلامة 25cm أخرى. فيصبح الطول : 100cm + 25 cm = 125cm وليسم | رينسي | مسلمة أطوال القطع المستقيمة : علمت كيف تقيس القطع المستقيمة باستعمال المسطرة، وذلك بوضع صفر المسطرة على أحد طرفي القطعة المستقيمة وقراءة التدريج المقابل للطرف الآخر من القطعة المستقيمة، فيمثل هذا التدريج طول القطعة المستقيمة. وهذا يوضح مسلمة المسطرة. 60 الفصل 1 التبرير والبرهان مسلمة 1.8 مسلّمة أطوال القطع المستقيمة التعبير اللفظي: النقاط التي تقع على مستقيم أو قطعة مستقيمة يمكن ربطها بأعداد حقيقية. مثال: إذا أعطيت نقطتين A و B على مستقيم، وكانت A تقابل الصفر، أضف إلى مطويتك فإن B تقابل عددًا موجبًا. B A 0 1 2 3 4 5 6 7 يمكن التعبير عن معنى وقوع نقطة بين نقطتين أخريين بمسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة. مسلمة 1.9 مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة , التعبير اللفظي : إذا علمت أن النقاط A على استقامة واحدة، فإن النقطة B تقع بين A و C إذا كان AB + BC = AC والعكس. أضف إلى مطويتك النموذج : AB + BC A B C AC | ومسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة تستعمل تبريرا في العديد من البراهين الهندسية. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

C G مثال 1 استعمال مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة أثبت أنه إذا كان CE = FEED = EG ، فإن CD = FG . المعطيات CE = FE, ED = EG المطلوب : CD = FG البرهان العبارات المبررات D FE قراءة الرياضيات اختصارات : رغبة في الاختصار عند كتابة البراهين نكتب: "بالتعويض" بدلا من "خاصية التعويض للمساواة" ونكتب "بالطرح" بدلا من "خاصية الطرح للمساواة" وهكذا. CEFE, ED = EG (1 CE=FE, ED = EG (2 CE + ED = CD (3 FE + EG = CD (4) FE + EG = FG (5 CD = FG (6) CDFG (7 تحقق من فهمك (1) أكمل البرهان الآتي: : المعطيات JL = KM 1) معطيات (2) تعريف تطابق القطع المستقيمة (3 مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة (4) بالتعويض من الخطوة 2 في الخطوة 3 (5 مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة (6) بالتعويض من الخطوة 4 في الخطوة 5 (7) تعريف تطابق القطع المستقيمة M L K J المطلوب : JK = LM البرهان العبارات a معطيات ؟ JL KM (a (b JL = KM (b JK + KL = KL + LM = ؟ ؟ (c (d JK + KL = KL + LM (d (e JK + KL - KL = KL + LM - KL (e ؟ (f JKLM (g المبررات مسلمة جمع أطوال القطع المستقيمة f) بالتبسيط تعريف تطابق القطع المستقيمة تطابق القطع المستقيمة : درست سابقًا أن تساوي أطوال القطع المستقيمة تحقق خاصية الانعكاس والتماثل والتعدي. وبما أن القطع المستقيمة المتساوية الطول متطابقة، فإن تطابق القطع المستقيمة يحقق أيضًا خصائص الانعكاس والتماثل والتعدي. نظرية 1.2 خصائص تطابق القطع المستقيمة خاصية الانعكاس للتطابق ABAB خاصية التماثل للتطابق أضف إلى مطويتك خاصية التعدي للتطابق إذا كان AB = CD ، فإن CD = AB إذا كان AB = CD, CD = EF ، فإن AB = EF 6,5 سوف تبرهن خاصيتي الانعكاس والتماثل في السؤالين 5 و الدرس 7-1 إثبات علاقات بين القطع المستقيمة التP61 Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة تقام مسابقات الماراثون في العديد من محافظات المملكة، ويخصص ريع بعضها لدعم أنشطة خيرية. برهان خاصية التعدي للتطابق المعطيات AB = CD, CD = EF المطلوب : AB = EF برهان حر CD, CD = EF ≈ , 6 = B E A F C D 6 أضف إلى مطويتك بما أن ABCD CD EF ، فإن AB C D E F ، وذلك من تعريف تطابق القطع المستقيمة. وباستعمال خاصية التعدي للمساواة ينتج أن AB = EF ؛ لذا AB = EF من تعريف التطابق. مثال 2 من واقع الحياة البرهان باستعمال تطابق القطع المستقيمة ماراثون: تبين الخريطة أدناه المسار الذي سيسلكه المشاركون في سباق ماراثون. تقع المحطتان x و Z عند نقطتي المنتصف بين نقطة البداية والمحطة Y ونقطة النهاية والمحطة Y على التوالي. إذا كان بعدا المحطة Y عن النقطتين X و Z متساويين، فأثبت أن الطريق من المحطة Z إلى نقطة النهاية يتطابق مع الطريق من المحطة X إلى نقطة البداية. F نقطة النهاية المحطة 2 نقطة البداية S المحطة X 62 الفصل 1 التبرير والبرهان المحطة Y المعطيات X نقطة منتصف SY ، و Z نقطة منتصف XY = YZ ، YF المطلوب : ZF = SX البرهان : العبارات 1 X نقطة منتصف SY ، و 2 نقطة منتصف YF XY = YZ SX = XY, YZ = ZF (2) XYYZ (3 SXYZ (4 SX = ZF (5 المبررات 1) معطيات (2 نظرية نقطة المنتصف (3) تعريف تطابق القطع المستقيمة (4) خاصية التعدي للتطابق (5) خاصية التعدي للتطابق ZF = SX (6 تحقق من فهمك (6 خاصية التماثل للتطابق (2) نجارة : قص نجار قطعة خشبية RS طولها 22in . ثم استعملها نموذجًا ليقص قطعة أخرى PQ مطابقة لها. وهكذا استعمل PQ ليقص قطعة ثالثة MN . ثم استعمل القطعة الثالثة MN ليقص قطعة رابعة KL. أثبت أن RS = KL. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد (1) أكمل البرهان الآتي: المثال 1 المعطيات LK = NM,KJ = MJ المطلوب : LJ = NJ البرهان : العبارات (a LK = NM, KJ = MJ (a ؟ (b (c LK + KJ = NM + KJ (c (d LK + KJ = NM + MJ (d ؟ (e LJ = NJ (f LJNJ (g المثال 2 : (2) مقص في الشكل المجاور، تدرب وحل المسائل AR CR, DR = BR، أثبت أن: .AR + DR = CR + BR (3) أكمل البرهان الآتي: المثال 1 المعطيات C نقطة منتصف AE. C نقطة منتصف BD AE = BD المطلوب : AC = CD البرهان : العبارات (a ؟ AC = CE, BC = CD (b AE = BD (c المبررات ؟ تعريف تطابق القطع المستقيمة ؟ M N J KL جمع أطوال القطع المستقيمة e) مسلّمة (f (g ؟ ؟ A۰ D R C O B A B X D E a معطيات (b c ؟ ؟ المبررات (d مسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة ؟ (d (e AC + CE = BC + CD (e (f AC + AC = CD + CD (f (g ؟ (h (i ACCD (i 8) بالتبسيط h) بالقسمة ؟ الدرس 7-1 إثبات علاقات بين القطع المستقيمة الت 63 P Ministry of Education 2024-1446

المثال 2 (4) تبليط قص مبلط قطعة بلاط بطول معين الربط مع الحياة ثم استعملها نموذجًا ليقص بلاطة ثانية تطابق الأولى، ثم استعمل هاتين البلاطتين لقص بلاطة ثالثة طولها يساوي مجموع طولي البلاطتين. أثبت أن طول البلاطة الثالثة يساوي مثلي طول البلاطة الأولى. أثبت الخاصيتين الآتيتين في النظرية (1.2). (5) خاصية التماثل للتطابق (6) خاصية الانعكاس للتطابق. المبلط: هو الشخص برهان أثبت كلا مما يأتي: الذي يقوم بتركيب بلاط D E الأرضيات أو الجدران ويستعمل في أثناء عمله أدوات قياس الطول والميل؛ من أجل وضع البلاط بشكل دقيق وترتيبه بأنماط جميلة. وعادة يلتحق المبلط 7) إذا كان VZ = VY , WY = XZ ، (8 إذا كانت E نقطة منتصف DF ، 6 فإن VW = VX CD = FG ، فإن CE = EG Y W C D E F G V بمركز تدريب مهني ليتلقى تدريبًا خاصًا. X Z 64 9) إذا كان FE = LK، AC = GI 6 .AC + CF + FE = GI + IL + LK a) فأثبت أن CF = IL • B H A D F G J B E I L H K برر برهانك بقياس أطوال القطع المستقيمة. فسّر إجابتك. (10) 5 تمثيلات متعددة : A نقطة منتصف PQ ، و B نقطة منتصف PA ، و C نقطة منتصف PB a) هندسيا : ارسم شكلًا يوضح هذه المعطيات. جبريًا ضع تخمينا للعلاقة الجبرية بين PC و PQ. 6 حسيا : استعمل مسطرة لرسم قطعة مستقيمة تطابق PQ ، ولتعيين النقطتين B و C على PQ ، استعمل هذا الرسم لتؤيد التخمين الذي وضعته. d منطقيًا أثبت صحة تخمينك. 6 الفصل 1 التبرير والبرهان مسائل مهارات التفكير العليا 11 اكتشف الخطأ في الشكل المجاور : AB = CD, CD = BF ، اختبر النتائج التي حصل عليها أحمد وسعد، وهل وصل أي منهما إلى نتيجة صحيحة؟ أحمد سعد B C A F D بما أن AB = CD, CD = BF بما أن AB = CD, CD = BF ، إذن AB = AF وذلك بتطبيق خاصية التعدي للتطابق. إذن AB = BF وذلك بتطبيق خاصية الانعكاس للتطابق. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

12 تحد ABCD مربع. أثبت أن AC = BD . (13) اكتب هل توجد خاصية في التطابق تشبه خاصية الجمع في المساواة؟ فسّر إجابتك . (14) تبرير صنف العبارة الآتية إلى صحيحة أو خاطئة، وإذا كانت خاطئة فأعط مثالا مضادا إذا كانت النقاط تقع على استقامة واحدة، بحيث تقع B بين A و C ، وتقع C بين B و D ، وتقع بين C و E ، وكان AC = BDCE ، فإن AB = C = DE . = 6 (15) مسألة مفتوحة: ارسم شكلا يمثل تعميما لمسلّمة جمع أطوال القطع المستقيمة، (جمع 3 قطع مستقيمة) واكتب النتيجة. تدريب على اختبار , 16 النقاط , تقع على استقامة واحدة، بحيث تقع النقطة (17) أي العبارات الآتية يعطي وصفًا أفضل للمسلمة؟ B بین A و C والنقطة C بين B و D . أي عبارة مما يلي ليست بالضرورة صحيحة ؟ AB + BD = AD A AB = CD B BC = BC C BC + CD = BD D A تخمين ينشأ عن أمثلة. B تخمين ينشأ عن حقائق وقواعد وتعريفات وخصائص. C عبارة تقبل على أنها صحيحة. عبارة تم إثبات صحتها. مراجعة تراكمية (18) برهان أثبت أنه إذا كان 57 = 2x1)، فإن 100 = x ، واكتب تبريرًا لكل خطوة (الدرس 6-1 : (19) نماذج : استعمل حاتم ستة مربعات من الورق المقوى لعمل منشور رباعي. ما الجزء من الفراغ الذي يمثله كل وجه من المنشور، وكم مستقيما ينتج عن تقاطعها؟ (الدرس 5-1) 20 أنماط : يمكن ترتيب مجموعة من قطع النماذج لتكوين نمط دوراني دون ترك فراغات بين هذه القطع، وكما تعلم أن قياس الدورة الكاملة يساوي °360، أوجد قياس الزوايا المرقمة في كلُّ من الأشكال الآتية بالدرجات (الدرس 1-1) (23 2x° 4x° الدرس 7-1 إثبات علاقات بين القطع المستقيمة الت65 P Ministry of Education 2024-1446 6 5 4 (22 14x° /. (8x + 4)° 3 استعد للدرس اللاحق جبر أوجد قيمة x في كل مما يأتي: (8x + 1)° (5x − 2)° (21