قانون جيوب التمام - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

رابط www.icm.edu.sa قانون جيوب التمام Law of Cosines لماذا؟ 8-5 فيما سبق درست حل مثلثات باستعمال قانون الجيوب الدرس (4-8) وا الان . أستعمل قانون جيوب التمام لحل مثلثات. الغواصات التي تنزلها السفن إلى المحيط تُستعمل لإيصال الأشخاص إلى أعماق لا يمكنهم الوصول إليها بوسائل أخرى. الغواصة في الشكل المجاور على بعد 520m من السفينة، وترسل ضوءًا إلى حطام سفينة أخرى على بعد 338m عنها، يمكن استعمال حساب المثلثات لإيجاد المسافة بين السفينة والحطام. 520 m 336 m استعمال قانون جيوب التمام لحل المثلثات لا يمكنك استعمال قانون الجيوب لحل مثلث مثل المثلث المرسوم في الشكل أعلاه. يمكنك استعمال قانون جيوب التمام لحل المثلث في الحالتين الآتيتين: أختار طرقًا مناسبة لحل . معرفة طولي ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما (ضلع - زاوية - ضلع (حالة SAS)) معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث (ضلع – ضلع – ضلع (حالة SSS)) مثلثات. العالي الا انت قانون جيوب التمام Law of Cosines مفهوم أساسي قانون جيوب التمام إذا كانت أضلاع ABC التي أطوالها : abc تقابل الزوايا ذات القياسات A,B,C على الترتيب، فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة: a B أضف إلى مطويتك A C 2 = 2 + 2 - 2bc cos A b2a2+ c² 2ac cos B - c2 = a + b2 - 2ab cos C ستبرهن هذه الصيغة في السؤال (31) مثال 1 حل مثلث بمعلومية طولي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما حل ABC الموضّح في الشكل المجاور ، مقربًا طول الضلع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسي الزاويتين إلى أقرب درجة. الخطوة 1: استعمل قانون جيوب التمام لإيجاد طول الضلع الثالث. 5 A b 7 36° B قانون جيوب التمام a = 7, c = 5, B = 36° 12 = 2 + 2 - 2ac cos B 62 72+52 2(7)(5) cos 36° 62 = 17.4 b = 4.2 استعمل الآلة الحاسبة للتبسيط خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين الخطوة 2: استعمل قانون جيوب التمام لإيجاد قياس الزاوية A. قانون جيوب التمام a=7,b=4.2, c=5 a2 b2c2-2bc cos A 72 (4.2)2+52-2(4.2) (5) cos A cos A (5) (42) - 252 (42) - 72 اطرح 4.22) و 52 من كلا الطرفين = 72 (4.2)2-52 -2(4.2)(5) = cos A اقسم كلا من الطرفين على (5) (4.2)2 cos استعمل الآلة الحاسبة أوجد قيمة -0.1514 -1 وزارة التعليم الدرس 5-8 قانون جيوب التمام 87 for E 2024-1446 0.1514 = cos A 99° = A

الخطوة 3 أوجد قياس الزاوية الثالثة. mZC 180° (36° + 99°) = 45° - b=4.2, A99°, C=45°:03) تحقق من فهمك 1) حل AFGH الموضّح في الشكل المجاور الذي فيه : 14 = 36 °82 = G مقربًا طول الضلع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسي الزاويتين إلى أقرب درجة. يمكنك استعمال قانون جيوب التمام لحل المثلث إذا علمت أطوال أضلاعه الثلاثة، وتكون الخطوة الأولى للحل هي إيجاد قياس الزاوية الكبرى في المثلث حتى نضمن أن الزاويتين الأخريين حادتان عند استعمال قانون الجيوب بعد ذلك. (مثال 2 حل مثلث بمعلومية أطوال أضلاعه الثلاثة حل AABC الموضح في الشكل المجاور، مقربا قياسات الزوايا إلى أقرب درجة. الخطوة 1: استعمل قانون جيوب التمام لإيجاد قياس الزاوية الكبرى في ABC وهي A. A 10 B 16 9 إرشادات للدراسة طريقة بديلة بعد إيجاد LA في الخطوة 1 يمكن استعمال قانون جيوب التمام مرة أخرى لإيجاد قياس زاوية أخرى. اطرح 92 و 102 من كلا الطرفين قانون جيوب التمام a = 16, b = 9, c = 10 a2 b2c2-2bc cos A 162 = 92 + 102 - 2 (9) (10) cos A 162 - 92 - 102 = 2(9) (10) cos A 162-92-102 -2(9)(10) = cos A -0.4167 cos A 115° = A الخطوة 2 استعمل قانون الجيوب لإيجاد قياس B . sin B 9 sin 115° 16 sin B b sin A a اقسم كلا من الطرفين على (10) (9)2 استعمل الآلة الحاسبة أوجد قيمة 0.4167- 1-cos إرشادات للدراسة 88 sin B = 9 sin 115 16 sin B = 0.5098 B = 31° اضرب كل من الطرفين في 9 استعمل الآلة الحاسبة أوجد قيمة 10.5098-sin الخطوة 3 أوجد قياس C. التقريب mLC = 180° - (115° + 31°) = 34° يمكن أن يؤدي التقريب في بعض الأحيان إلى إجابات غير دقيقة مثل إذن: 34 = A = 115, B = 31° C. تحقق من فهمك أن يكون لدينا مثلث مجموع قياسات زواياه .181° (2) حل ABC الذي فيه : 8 = 11 = 5 = a مقربا قياسات الزوايا إلى أقرب درجة. وزارة التعليم الفصل 8 حساب المثلثات Ministry of Education 2024-1446

اختيار الطريقة المناسبة لحل المثلثات يمكنك استعمال قانون الجيوب وقانون جيوب التمام لحل مثلثات غير قائمة الزاوية، حيث تحتاج على الأقل إلى معرفة طول أحد الأضلاع وقياسي أي عنصرين آخرين من عناصر المثلث. وإذا كان للمثلث حل، فيجب أن تُقرر ما إذا كنت ستبدأ باستعمال قانون الجيوب أو قانون جيوب التمام لحله. ملخص المفهوم إذا أُعطيت حل المثلثات غير القائمة الزاوية قياسا زاويتين وطول أي ضلع طويتك فابدأ الحل باستعمال قانون الجيوب طولا ضلعين وقياس الزاوية المقابلة لأحدهما قانون الجيوب طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما أطوال الأضلاع الثلاثة قانون جيوب التمام قانون جيوب التمام الربط بالحياة الرقم القياسي لأعمق مسافة غاص إليها غواص هو 318.2m مثال 3 من واقع الحياة استعمال قانون جيوب التمام غوص: ينظر غواص إلى أعلى بزاوية قياسها 200 ليرى سلحفاة تبعد عنه 3m، وينظر إلى أسفل بزاوية قياسها 40 فيرى سمكة زرقاء تبعد عنه ،4m ما المسافة بين السلحفاة والسمكة الزرقاء؟ الفهم تعرف قياسي الزاويتين المتكونتين من نظر الغواص إلى أعلى وإلى أسفل، كذلك تعرف المسافة بين الغوّاص وكل من السلحفاة والسمكة الزرقاء. خطط استعمل هذه المعلومات لرسم شكل تقريبي يُمثل المسألة. بما أن طولي ضلعين في المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما معلوم حل لديك، فيمكنك استعمال قانون جيوب التمام لحل المسألة. 2 = 2 + 22 - 2bc cos A قانون جيوب التمام السلحفاة 3m 20° 40° 4m السمكة الزرقاء الغواص b = 4, c = 3, A = 60" a²=42+32-2(4)(3) cos 60° a² = 13 a = 3.6 استعمل الآلة الحاسبة أوجد قيمة a الموجبة إذن المسافة : بین السلحفاة والسمكة الزرقاء تساوي 3.6m تقريبًا. تحقق باستعمال قانون الجيوب، يمكنك التوصل إلى أن: "46 = B = 74° C بما أن CAB, ca b، فإن الحل منطقي. تحقق من فهمك (3) ماراثون: ركض سعيد مسافة 6km في اتجاه معين. ثم انعطف بزاوية قياسها °79 ، وركض مسافة 7km . ما المسافة بين النقطة التي بدأ منها سعيد الركض والنقطة التي وصل إليها؟ وزارة التعليم الدرس 5-8 قانون جيوب التمام 89 of 2024-1446

تأكد المثالان 1 حُلَّ كلّ مثلث ممَّا يأتي مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة: C 14 A (2) 10 B 20 B 110°, a 6, c=3 (4 = B (1 4 92" 3 A b C a = 5, b = 8, c = 12 (3 حده انسب طريقة يجب البدء بها (قانون الجيوب أم جيوب التمام الفعل كل مثلك منا بأني لم حل المثلث مثال 3 مقربا أطوال الأضلاع إلى اقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى القرب درجة. B (6 5 96' C 4 b A B 12 107° A 8 C (5 (7) ARST الذي فيه : 9 = R = 35°, s = 16, t 8) كرة قدم في إحدى مباريات كرة القدم كان لاعب خط الوسط على بعد 20m من لاعب الجناح الأيمن. ودار لاعب خط الوسط بزاوية قياسها °40 ، فرأى لاعب الجناح الأيسر على بعد 16m منه. ما المسافة بين وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الاعبي الجناحين؟ تدرب وحل المسائل المثالان 1.2 حل كل مثلث مما يأتي مقربا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة B (10 14 92° C 12 b A C (9 3 70° 2 B C A A (12) B 7 (11 C 10 8 9 13 C 14 B A C = 80°, a = 9, b = 2 (14 A=116°, b = 5, c=3 (13 20 = 20, x = 13, y = 12 (16 f=10, g 11, h=4 (15 الفصل 8 حساب المثلثات 90

مثال 3 حدد أنسب طريقة يجب البدء بها (قانون الجيوب أم جيوب التمام لخل كل ملك منا باني، ثم حل المثلث مقربا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. R 16 S (18 20 106 T M P N (20 47° 31 80% P m A (17 14 13 50° C a B A B 11 C (19 15. 22 21) ABC الذي فيه : 2 = C = 84, c = 7, a . (22) AHK الذي فيه : 23 = h = 18, j = 10, k . (23) استكشاف : ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية هذا الدرس. وأوجد المسافة بين السفينة وحطام السفينة الأخرى، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. (24) سباق ميدان للسباق على شكل مثلث أطوال أضلاعه 1.8km, km 1.2km . أوجد قياس كل زاوية من زواياه. (25) أرض قطعة أرض على شكل مثلث أطوال أضلاعه 140,210,300 . استعمل قانون جيوب التمام لإيجاد مساحة قطعة الأرض مقربة إلى أقرب متر مربع. (26) ألعاب سيارات في ساحة سيارات اللعب في مدينة ألعاب، اصطدمت السيارتان 1 كما هو مبين في الشكل أدناه، ما المسافة ، التي كانت بين السيارتين قبل تصادمهما ؟ 7m 118° 5.5m (27) رياضة مائية: يركب أحمد دراجته المائية ليقطع المسافة من النقطة A إلى النقطة B ثم إلى النقطة C بسرعة 28 كلم / ساعة ثم يعود ... من النقطة C إلى النقطة A مباشرة بسرعة 35 كلم / ساعة. كم دقيقة تحتاج إليها الرحلة ذهابًا وإيابًا، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة؟ B 1.15 km 130° 1.25 km حل كل مثلث مما يأتي مقربا غرب أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى القرب درجة: F 20.8 G (30 28 R (29) B 25° 19 15.2 21.6 12.4 36.2 S 104° H A 8.1 C وزارة التعليم y of الدرس 5-8 قانون جيوب التمام 91 2024-1446 (28)

B a h مسائل مهارات التفكير العليا (31) برهان: استعمل الشكل المجاور ونظرية فيثاغورس، لاشتقاق قانون C x D b-x b جيوب التمام، . م، مستعملا الإرشادات الآتية: أولا: طبق نظرية فيثاغورس على ADBC. ثانيا: استعمل المعلومات التالية في AADB. .2 = x2 + 2 . cos A = C تدريب على اختبار (32) تبرير مثلث أطوال أضلاعه 10.6cm, 8cm 14.5cm . وضح كيف يمكنك إيجاد قياس الزاوية الكبرى فيه. ثم أوجدها مقربة إلى أقرب درجة. 33) اكتب قارن بين الحالات التي تستطيع فيها استعمال قانون الجيوب لحل مثلث بتلك التي تستطيع فيها استعمال قانون جيوب التمام (34) إجابة قصيرة: حل المعادلة: 23 - 6.x 8 + x-1 (35) هندسة محيط الشكل المجاور يساوي: 12 12 60° 36 C 24 A 48 D 30 B A (38 47° 12km 8km C B مراجعة تراكمية أوجد مساحة AABC في كل منا يأتي مقربة إلى اقرب جزء من عشرة: (الدرس 904) 5m 30% A 6 m C B (37 12 cm C A (36 11 cm 81° B (39) إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة 9 (6)، فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية . (الدرس (3-8) ارسم الزوايا الآنية في الوضع اللباسي، ثم أوجد الزاوية المرجعية لكل منها. (الدرس (3-8) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 245° (42 7 (41) -15° (40 الفصل 8 حساب المثلثات 92