العبارات الشرطية - الرياضيات 1-1 - أول ثانوي

قراءة الرياضيات (إذا) و (فإن) كلمة (إذا) ليست جزءًا من الفرض، كذلك كلمة ( فإن) ليست جزءًا من النتيجة. تكتب كثير من العبارات الشرطية دون استعمال الكلمتين إذا، فإن)، ولكتابة تلك العبارات على صورة (إذا) ... فإن...) حدد الفرض والنتيجة. تحصل على خصم تشجيعي عند شرائك أيا من منتجاتنا قبل يوم الأربعاء النتيجة الفرض إذا اشتريت أيَّا من منتجاتنا قبل يوم الأربعاء، فإنك تحصل على خصم تشجيعي. تذكر أن النتيجة تعتمد على الفرض. مثال 2 كتابة العبارة الشرطية على الصورة (إذا... فإن...) حدّد الفرض والنتيجة في كل عبارة شرطية مما يأتي، ثم اكتبها على صورة (إذا... فإن...). (a الثدييات حيوانات من ذوات الدم الحار. الفَرض: الحيوان من الثدييات. النتيجة: هو من ذوات الدم الحار. إذا كان الحيوان من الثدييات فإنه من ذوات الدم الحار. المنشور الذي قاعدتاه مضلعان منتظمان، يكون منتظمًا. الفرض : قاعدتا المنشور مضلعان منتظمان. النتيجة يكون المنشور منتظما . إذا كانت قاعدتا المنشور مضلعین ،منتظمین، فإنه يكون منتظمًا. تحقق من فهمك (2) يمكن تبديل 5 أوراق نقدية من فئة الريال بورقة نقديةٍ واحدةٍ من فئة 5 ريالات. 2B) مجموع قياسي الزاويتين المتتامتين يساوي 90 تذكر أن الفرض والنتيجة والعبارة الشرطية نفسها جميعها عبارات قد تكون صائبة وقد تكون خاطئة. قال عمر لزملائه إذا أنهيت واجبي المنزلي، فإني سوف ألعب الكرة معكم. قراءة الرياضيات ليست خاطئة إذا كانت العبارة المنطقية ليست خاطئة؛ فإنها تكون صائبة. الفرض النتيجة أنهى عمر يلعب عمر الكرة الواجب المنزلي مع زملائه T T T F F T T T F T F F العبارة الشرطية إذا أنهيت واجبي المنزلي، فإني سوف ألعب الكرة معكم. إذا أنهى تكون صائبة؛ لأنه أوفى بوعده. عمر واجبه المنزلي، ولعب الكرة مع زملائه، فإن العبارة الشرطية إذا أنهى عمر واجبه المنزلي ولم يلعب الكرة مع زملائه، تكون العبارة الشرطية خاطئة؛ لأنه لم يف بوعده. إذا لم يُنه عمر واجبه، ولعب الكرة مع زملائه يكون الفرض خاطئًا ولكن النتيجة صائبة. وبما أن العبارة الشرطية لا تقرر شيئًا في حالة عدم حل عمر واجبه، فإن الأمر راجع إلى عمر، إما أن يلعب الكرة مع زملائه أو لا، وتكون العبارة الشرطية صائبة بغض النظر عما يفعله عمر. إذا لم ينه عمر واجبه، ولم يلعب الكرة مع زملائه، يكون الفرض خاطئًا، والنتيجة خاطئة. وللسبب نفسه في الحالة السابقة تكون العبارة الشرطية صائبة. لاحظ أن العبارة الشرطية تكون صائبة في جميع الحالات، إلا أن يكون الفرض صائبا والنتيجة خاطئة. الدرس 3-1 العبارات الشرطية - 27 Ministry of Education 2024-1446

28 تنبيه تحليل العبارات الشرطية عند تحديد قيم الصواب للعبارة الشرطية، لا تحاول أن تحدد ما إذا كان للعبارة معنى أم لا يمكنك استعمال النتائج السابقة لإنشاء جدول الصواب للعبارات الشرطية. العبارات الشرطية b+d p q T T T T F F F T T< F F T بل اهتم بالسؤال: هل النتيجة تتبع الفرض بالضرورة؟ عندما يكون الفرض خاطئًا، تكون العبارة الفصل 1 التبرير والبرهان الشرطية صائبة بغض النظر عن النتيجة تكون العبارة الشرطية خاطئة فقط عندما يكون الفرض صائبا والنتيجة خاطئة. لإثبات صحة العبارة الشرطية، يجب عليك إثبات أنه عندما يكون الفرض صائبًا، فإن النتيجة صائبة أيضًا. ولإثبات أن العبارة الشرطية خاطئة يكفي أن تعطي مثالًا مضادا مثال 3 قيم الصواب للعبارات الشرطية حدد قيمة الصواب لكل عبارة شرطية فيما يأتي، وإذا كانت صائبة، ففسّر تبريرك، أما إذا كانت خاطئة، فأعط مثالا مضادا: a عند قسمة عدد صحيح على عدد صحيح آخر ، يكون الناتج عددًا صحيحًا أيضًا. مثال مضاد عند قسمة 1 على 2، يكون الناتج 0.5 بما أن 0.5 ليس عددًا صحيحًا، فإن النتيجة خاطئة. وبما أنك استطعت إيجاد مثال مضاد، فالعبارة الشرطية خاطئة. ( إذا كان الشهر القادم هو رمضان، فإن هذا الشهر هو شهر شعبان. رمضان هو الشهر الذي يلي شهر شعبان؛ إذن كلما كان الفرض الشهر القادم رمضان) صائبًا، فإن النتيجة هذا الشهر هو شهر شعبان تكون صائبة أيضًا؛ وعليه فإن العبارة الشرطية صائبة. ( إذا كان للمثلث أربعة أضلاع، فإنه مضلع مقعر . لا يمكن أن يكون للمثلث أربعة أضلاع؛ إذن الفرض خاطئ وعندما يكون الفرض خاطئًا، فإن العبارة الشرطية تكون صائبة. تحقق من فهمك إذا كانت A حادة، فإن °35 = mLA (3) إذا كان 1- = VX ، فإن 1- = 2(1) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

العبارات الشرطية المرتبطة : يرتبط بالعبارة الشرطية المعطاة عبارات شرطية أخرى تسمى العبارات الشرطية المرتبطة. مفهوم أساسي أضف إلى العبارات الشرطية المرتبطة مطويتك التعبير اللفظي الرموز أمثلة العبارة الشرطية هي العبارة التي يمكن كتابتها على صورة إذا كان p، فإن 9 . ينتج العكس من تبديل الفرض مع النتيجة في العبارة الشرطية. ينتج المعكوس عن نفي كل من الفرض والنتيجة في العبارة الشرطية ينتج المعاكس الإيجابي من نفي كل من الفرض والنتيجة في عكس العبارة الشرطية. pq gp ~p~q -q→ ~p إذا كان °35 = mA، فإن A حادة. إذا كانت A حادة، فإن °35 = mLA. إذا كان °35 mLA، فإن A ليست حادة. إذا لم تكن A حادة، فإن °35 mLA. إذا كانت العبارة الشرطية صائبة، فليس بالضرورة أن يكون عكسها ومعكوسها ،صائبين، بينما يكون المعاكس الإيجابي صائباً. ويكون المعاكس الإيجابي خاطئًا إذا كانت العبارة الشرطية خاطئة. وبالمثل فإن عكس العبارة الشرطية ومعكوسها إما أن يكونا صائبين معًا أو خاطئين معا. وتسمى العبارات التي لها قيم الصواب نفسها عبارات متكافئة منطقيًا . مثال 4 جداول الصواب والعبارات المتكافئة منطقيًا أوجد قيم الصواب للعبارة الشرطية وعكسها ومعكوسها ومعاكسها الإيجابي على نفس الجدول، ثم اكتب عبارتين متكافئتين منطقيًا. p q ~p ~9 المعاكس الإيجابي معكوس العبارة الشرطية عكس العبارة الشرطية العبارة الشرطية p + q ~q→~p q+ p ~p→ ~q T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T من خلال جدول الصواب نلاحظ أنه للعبارتين 9 p و p - - - قيم الصواب نفسها لذا فهما متكافئتان منطقيًّا. تحقق من فهمك ~ (4) أوجد قيم الصواب للعبارات : p), ppp) على نفس الجدول، ثم اكتب زوجين من العبارات المتكافئة منطقياً. مما سبق نلاحظ أن: مفهوم أساسي العبارات المتكافئة منطقيا • العبارة الشرطية ومعاكسها الإيجابي متكافئان منطقيًا. • عكس العبارة الشرطية ومعكوسها متكافئان منطقيًا. . (p) - تكافئ منطقيا pv-q~ (pva)- تكافئ منطقيا p-q~ أضف إلى مطويتك الدرس 3-3-1 العبارات الشرطية 29 Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة تعد الأسود والنمور من فصيلة القطط، وهي القطط الوحيدة التي تزأر ، ولا تموء. يمكنك استعمال التكافؤ المنطقي للتحقق من قيمة الصواب لعبارة ما في المثال 5 أدناه، لاحظ أن كلًا من العبارة الشرطية ومعاكسها الإيجابي صائبان. وأن كلا من العكس والمعكوس خاطئان. مثال 5 من واقع الحياة العبارات الشرطية المرتبطة طبيعة اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي للعبارة الشرطية الآتية، ثم استعمل معلومات الربط مع الحياة؛ لتحديد ما إذا كان أي منها صائبًا أم خاطئًا . وإذا كان خاطئًا، فأعط مثالا مضادًا. الأسود هي قطط تستطيع أن تزار. العبارة الشرطية: أعد كتابة العبارة على صورة (إذا ... فإن...) . العكس: إذا كان الحيوان أسدًا، فإنه قط يستطيع أن يزأر. اعتمادًا على المعلومات المجاورة عن اليمين تكون العبارة صائبة. إذا كان الحيوان قطا يستطيع أن يزأر ، فإنه يكون أسدًا. مثال مضاد: النمر قط يستطيع أن يزأر، لكنه ليس أسدًا. إذن فالعكس خاطيء. 30 تأكد المعكوس: إذا لم يكن الحيوان أسدا، فإنه لا يكون قطا يستطيع أن يزأر. مثال مضاد النمر ليس أسدًا، ولكنه قط يستطيع أن يزأر . إذن المعكوس خاطيء المعاكس الإيجابي: إذا لم يكن الحيوان قطا يستطيع أن يزأر ، فإنه لا يكون أسدًا. اعتمادًا على المعلومات التي في الهامش تكون العبارة صائبة . تحقق تحقق من أن للعبارات المتكافئة منطقيا قيم الصواب نفسها. تحقق من فهمك العبارة الشرطية ومعاكسها الإيجابي كلاهما صائب. ✓ العكس والمعكوس كلاهما خاطيء. ✓ اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي لكل من العبارتين الشرطيتين الآتيتين، ثم حدد ما إذا كان أي منها صائبًا أم خاطئًا . وإذا كان خاطئًا فأعط مثالا مضادا. 5) الزاويتان اللتان لهما القياس نفسه متطابقتان. (5) الفأر من القوارض. المثال 1 حدد الفرض والنتيجة في كل من العبارات الشرطية الآتية: 1 يوم غد هو السبت إذا كان اليوم هو الجمعة. (2) إذا كان 57 + 2x، فإن 1 < x . (3) إذا كانت الزاويتان متكاملتين، فإن مجموع قياسيهما °180 (4) يكون المستقيمان متعامدين إذا نتج عن تقاطعهما زاوية قائمة. الفصل 1 التبرير والبرهان وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

المثال 2 اكتب كل عبارة شرطية مما يأتي على صورة (إذا... فإن..... (5) الشخص الذي تجاوز عمره 18 عامًا يمكنه استخراج رخصة قيادة. (6) يحتوي الجبن على عنصر الكالسيوم. (7) قياس الزاوية الحادة بين °0 و 90 ( المثلث المتطابق الأضلاع متطابق الزوايا. 9) مطر: هناك أنواع مختلفة من هطل المطر، تتشكل في ظروف مختلفة. اكتب العبارات الشرطية الثلاث الآتية على صورة (إذا... فإن...). a يتكاثف بخار الماء في الغلاف الجوي فيسقط على شكل مطر. يتجمد بخار الماء الشديد البرودة في الغيوم الركامية فيسقط على شكل بَرَد. يكون الهطل على شكل ثلج، عندما تكون درجة الحرارة متدنية جدًّا إلى حد التجمد في الغلاف الجوي. المثال 3 حدد قيمة الصواب لكلِّ عبارة شرطية فيما يأتي، وإذا كانت العبارة صائبة، ففسّر تبريرك، أما إذا كانت خاطئة، فأعط مثالا مضادا. (10) إذا كان 16 = x2، فإن 4 = x (11) إذا كنت تعيش في الرياض، فإنك تعيش في الكويت. (12) إذا كان يوم غد هو الجمعة، فإن اليوم هو الخميس. 13 إذا كان للحيوان ،قرنان، فإنه كبش (14) إذا كان قياس الزاوية القائمة °95 ، فإن الزاوية تكون حادة. المثال 4 أوجد قيم الصواب لكل عبارتين فيما يأتي، ثم قرّر هل هما مكافئتان منطقيا أم لا؟ ~p^q, ~(p^q) (15 ~pv~q, ~(pvq) (16 المثال 5 اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي لكلِّ من العبارتين الشرطيتين الآتيتين. ثم حدد ما إذا كان أي منها صائبًا أم خاطئًا، وإذا كان خاطئًا فأعط مثالا مضادًا. (17) إذا كان العدد يقبل القسمة على 2 ، فإنه يقبل القسمة على 4 18 جميع الأعداد الكلية أعداد صحيحة. تدرب وحل المسائل المثال 1 حدد الفرض والنتيجة في كلّ من العبارات الشرطية الآتية: (19) إذا كانت الزاويتان متجاورتين، فإن لهما ضلعًا مشتركًا. (20) إذا كنت قائد مجموعتنا، فإنني سأتبعك. الدرس 3-1 العبارات الشرطية 31 Ministry of Education 2024-1446

21 إذا كان 11 = 4 - 3x، فإن 5 = x (22) إذا كانت الزاويتان متقابلتين بالرأس، فإنهما متطابقتان. المثال 2 اكتب كل عبارة شرطية مما يأتي على صورة (إذا ... فإن ..... بادي الإنك (23) احصل على قارورة ماء مجانًا عند شرائك خمس قوارير. 24 كل من حضر الحفل سيحصل على هدية. (25) تقاطع مستويين يمثل مستقيما. 26) مساحة الدائرة تساوي Tr2 (27) قياس الزاوية القائمة 90 (28 كيمياء: اكتب العبارة الآتية على صورة (إذا ... فإن...). ينصهر الفوسفور عند درجة 44 سيليزية. (29) أحياء يتغير الماء على الأرض باستمرار عبر عملية تُسمّى دورة الماء. اكتب العبارات الشرطية الثلاث أدنى الشكل على صورة (إذا... فإن...). تبخر دورة الماء نتح هواء 1119 CAMEL CLUB الربط مع الحياة نادي الإبل هو نادي يختص برعاية الإبل والمهتمين بها، والأنشطة المختصة بها تحت رابطة واحدة، وقد جاء ذلك اهتمامًا ودعمًا للموروث الشعبي في المملكة العربية السعودية، والمحافظة عليه، والعمل على تطويره بما يجعله قادرًا على مواكبة العصر الحالي. محيط ( مسطحات مائية ) . بحيرة جريان سطحي هطل تربة مياه جوفية ترشيح جريان الماء السطحي يصب في المسطحات المائية. تعيد النباتات الماء إلى الهواء من خلال عملية النتح . تعيد المسطحات المائية الماء إلى الهواء عن طريق التبخر. نباتات حدد قيمة الصواب لكل عبارة شرطية فيما يأتي. وإذا كانت صائبة، ففسّر ،تبريرك، أما إذا كانت خاطئة فأعط مثالا المثال 3 مضادا: (30) إذا كان العدد فرديًا، فإنه يقبل القسمة على 5 (31) إذا كان الأرنب حيوانًا برمائيا، فإن هذا الفصل هو فصل الصيف. 32 إذا كانت جدة في اليمن، فإن صنعاء هي عاصمة المملكة العربية السعودية. (33) إذا نتج اللون الأبيض عن مزج اللونين الأزرق والأحمر، فإن 0 = 2 - 3 (34) إذا كان للحيوان سنام، فإنه جمل. (35) إذا كانت الزاويتان متطابقتين، فإنهما متقابلتان بالرأس. (36) إذا كان الحيوان طائرًا، فإنه يكون نسرًا. (37) إذا كان الموز أزرق، فإن التفاح من الخضراوات. 32 الفصل 1 التبرير والبرهان وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

طبيعة استعمل العبارة أدناه لكتابة كلَّ من العبارات الشرطية الآتية، ثم استعمل معلومات الربط مع الحياة لتحديد قيمة الصواب لكل منها، وإذا كانت أي منها خاطئة، فأعط مثالا مضادًا. الحيوان الذي تظهر على جسمه خطوط هو الحمار الوحشي 38) عبارة شرطية 40) معكوس العبارة الشرطية “ (39) عكس العبارة الشرطية (41) المعاكس الإيجابي للعبارة الشرطية المثال 4 أوجد قيم الصواب لكل عبارتين فيما يأتي، ثم قرّر هل هما متكافئان منطقيًا أم لا؟ ~(p→q), ~p→ ~q (42 ~(p→q), ~(~q→~p) (43 (p^q) vr, p^ (qV r) (44 المثال 5 اكتب العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي لكل من العبارات الشرطية الآتية، ثم حدد ما إذا كان أي منها صائبًا أم خاطئًا. وإذا كان خاطئًا، فأعط مثالا مضادًا. الربط مع الحياة موطن ظباء الدكدك هو أفريقيا، وهي ظباء صغيرة الحجم، يبلغ متوسط طولها من قدم واحدة إلى ما يزيد على قدمين قليلا، وتتميز أجسامها بخطوط تشبه خطوط الحمر الوحشية. (45) إذا كنت تعيش في الدمام، فإنك تعيش في المملكة العربية السعودية. (46) إذا كان الطائر نعامة، فإنه لا يستطيع أن يطير. (47) جميع المربعات مستطيلات. (48 جميع القطع المستقيمة المتطابقة لها الطول نفسه. (49) المثلث القائم الزاوية يحوي زاوية قياسها °90 استعمل أشكال فن أدناه؛ لتحديد قيمة الصواب لكلِّ من العبارات الشرطية الآتية. وفسّر تبريرك. الدوال غير الخطية الدوال التربيعية الحيوانات البحرية الثدييات دائمة الخضرة (50) إذا كانت الدالة غير خطية، فإنها تكون دالة تربيعية. (51) إذا كان الحيوان من الثدييات، فإنه لا يكون حيوانًا بحريا. (52) إذا كانت الشجرة متساقطة الأوراق، فإنها لا تكون دائمة الخضرة. (53) متساقطة الأوراق تمثيلات متعددة في هذه المسألة سوف تستقصي أحد قوانين المنطق باستعمال العبارات الشرطية. ( منطقيا اكتب ثلاث عبارات شرطية صائبة، بحيث تكون نتيجة كل عبارة فرضًا للعبارة التي تليها. بيانيا : ارسم شكل فن يوضح هذه السلسلة من العبارات الشرطية. (۲ منطقيًا : اكتب عبارةً شرطيةً مستعملاً فرض العبارة الأولى، ونتيجة العبارة الثالثة. إذا كان فرض العبارة الأولى صائبًا. فهل تكون العبارة الشرطية الناتجة صائبة؟ ( لفظيًا : إذا أعطيت العبارتين الشرطيتين الصائبتين : إذا كان a ، فإن b ، وإذا كان ، فإن c، فاكتب تخمينا حول قيمة الصواب للعبارة ، عندما تكون العبارة a صائبة. فسِّر تبريرك. الدرس 3-1 العبارات الشرطية - 33 Ministry of Education 2024-1446

34 تدريب على اختبار مسائل مهارات التفكير العليا (54) اكتشف الخطأ: حدَّدَ كل من أحمد وماجد قيمة الصواب للعبارة الشرطية "إذا كان العدد 15 أوليا، فإن العدد 20 يقبل القسمة على 4 . كلاهما يعتقد أن هذه العبارة صائبة، ولكنهما برّرا ذلك بتبريرين مختلفين. أيُّهما كان مصيبا؟ فسّر تبريرك. أحمد النتيجة صائبة؛ لأن العدد 20 يقبل القسمة على 4؛ إذن العبارة الشرطية صائبة. ماجد الفرض خاطئ؛ لأن 15 ليس عددًا أوليا؛ إذن العبارة الشرطية صائبة. (55 تبرير عبارة شرطية فرضها صائب، ونتيجتها خاطئة. هل يكون معكوسها صائبًا ؟ 56) مسألة مفتوحة اكتب عبارة شرطية، بحيث يكون العكس والمعكوس والمعاكس الإيجابي لها جميعها صائبة. فسّر تبريرك. (57) تحد : تجد أدناه معكوس العبارة الشرطية .A اكتب العبارة الشرطية .A وعكسها ومعاكسها الإيجابي. فسّر تبريرك . "إذا لم تدرك تكبيرة الإحرام مع الإمام، فإنك ذهبت إلى المسجد متأخرا." 58) اكتب صفِ العلاقة بين العبارة الشرطية وعكسها ومعكوسها ومعاكسها (59) إذا كان مجموع قياسي زاويتين يساوي 90 فإنهما متتامتان. أيُّ العبارات الآتية هي عكس العبارة الشرطية أعلاه؟ إذا كانت الزاويتان متتامتين، فإن مجموع قياسيهما °90 إذا كانت الزاويتان غير متتامتين، فإن مجموع قياسيهما °90 C إذا كانت الزاويتان متتامتين، فإن مجموع قياسيهما لا يساوي 90 إذا كانت الزاويتان غير متتامتين، فإن مجموع قياسيهما لا يساوي °90 الفصل 1 التبرير والبرهان 60) جبر ما أبسط صورة للعبارة 50 2a-3b A C 10a2 – 15ab 4a² - 9b² a 2a+3b a D 2a-3b 50 2a+3b B ؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

~P ^ ~q (32 A 14.4 مراجعة تراكمية أنشئ جدول الصواب لكلِّ من العبارات المركبة الآتية (الدرس (2-1) qp (61 ~qVp (62 ~P^q (63 اكتب تخمينًا معتمدًا على المعلومات المعطاة في كل مما يأتي . وارسم شكلا يوضح تخمينك ( الدرس (1-1) K 65) تقع النقاط على أضلاع مختلفة لمثلث. 10 B 10 8 12 E 14.4 6 C 8 10 D 13 ¹³ m = 2(1) (71 m = 6 (2) الدرس 3-1 العبارات الشرطية - 35 Ministry of Education 2024-1446 . R(3, −4), S(−2, −4), T(0, −4) (66 A(−1, −7), B(4, −7), C(4, −3), D(−1, −3) (67 (68 طائرة ورقية : تصنع الطائرات الورقية بشكل يشبه الماسة؛ لذلك تسمى الطائرة الماسية. سم جميع القطع المستقيمة المتطابقة في الشكل المجاور. (مهارة سابقة) استعد للدرس اللاحق حدد العملية التي استعملتها لتحويل المعادلة (1) إلى المعادلة (2) في كلّ مما يأتي. جبر x + 9 = 4 - 3x (1) (70 4x + 9 = 4 (2) 8(y11) 32 (1) (69 y – 11 = 4 (2)