معدل التغير والميل - الرياضيات 1 - ثالث متوسط

٢ - ٥ معدل التغير والميل رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa فيما سبق درست تمثيل الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي. والآن أستعمل معدل التغير لحل المسائل. أجد ميل مستقيم. المفردات معدل التغير لماذا؟ تسمح لك إحدى الألعاب المائية بالانحدار لمسافة ۲۰ مترًا، ويصف معدّل التغير في هذه اللعبة نسبة تغير المسافة التي يقطعها الشخص بالنسبة للتغير في الزمن. معدل التغير معدّل التغير هو نسبة تصف معدل تغير كمية بالنسبة لتغير كمية أخرى. مفهوم أساسي معدل التغير إذا كانت س س هي المتغير المستقل، وص المتغير التابع فإن : أضف إلى مطويتك ٧٦ التغير في ص معدّل التغير : = التغير في س مثال ١ من واقع الحياة إيجاد معدل التغير ألعاب مسلية : استعمل الجدول المجاور لإيجاد معدّل التغير، ثم فسّر معناه. معدل التغير = التغير في التغير في " التكلفة التغير في التغير في عدد الألعاب ١٥٦-٧٨ ٤-٢ الريالات الألعاب عوض عدد ألعاب الحاسوب | التكلفة (ريال) (س) (ص) VA ٤ ٢٣٤ ۳۹ 44 = VA= ۳۹ بسط معدّل التغير هو - وهذا يعني أن كل لعبة تكلف ٣٩ ريالًا. تحقق من فهمك (۱) تبليط يبيّن الجدول المجاور كيف تتغير مساحة عدد البلاطات المساحة المبلطة (سم) السطح المبلط مع التغير في عدد البلاطات. أ) أوجد معدّل التغير. ب) فَسِّر معنى معدل التغير. الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية (س) (ص) ۱۲۰۰ ٣ ٢٤٠٠ ٣٦٠٠ ۹ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة المعدل: يشير معدّل تعرفت من الأمثلة السابقة على معدلات التغير الثابتة، إلا أن كثيرًا من المواقف من واقع الحياة تتضمن معدلات تغير ليست ثابتة. مثال ٢ من واقع الحياة معدل التغير غير الثابت مدينة ألعاب يبين التمثيل البياني المجاور عدد زوار إحدى مدن الألعاب. التغير الموجب إلى الزيادة أ) أوجد معدّل التغير في الفترة من ١٤٣٢هـ - ١٤٣٤هـ ، وفي الفترة من ١٤٣٤ هـ - ١٤٣٦هـ . مع تغير الزمن. أما معدّل التغير السالب فيشير إلى نقصان الكمية. معدّل التغير في الفترة ١٤٣٢ هـ - ١٤٣٤هـ : ۳۳۵ ١٤٣٨ هـي مدينة الألعاب ٣٣٥ ٣٣٠ ٣٢٥ ٣٢٠ ۳۱۷ ٣٢٤ ٣٢٥ ١٤٣٦هـ 1434هـ ١٤٣٢هـ السنة التغير في عدد الزوار التغير في الزمن ٣٢٤ - ٣١٧ ١٤٣٤ - ١٤٣٢ ٢ = ٣,٥ = الزوار عوض السنوات بسط (بالألف) عدد الزوار ازداد عدد الزوار خلال هاتين السنتين ٧ آلاف، وذلك بمعدل تغير مقداره ٣٥ آلاف في السنة. معدّل التغير في الفترة ١٤٣٤ هـ - ١٤٣٦هـ : التغير في عدد الزوار التغير في الزمن ٣٢٥ - ٣٢٤ 1 ١٤٣٦ - ١٤٣٤ = += عوض بسط زاد عدد الزوار خلال هاتين السنتين ألفًا، وذلك بمعدّل تغير مقداره ٥٠٠ زائر في السنة. ب فسّر معنى معدل التغير في كل حالة. في الفترة من ١٤٣٢هـ - ١٤٣٤هـ : زاد عدد الذين زاروا مدن الألعاب بمعدل ٣٥٠٠ زائر كل سنة . في الفترة من ١٤٣٤ هـ - ١٤٣٦هـ زاد عدد الذين زاروا مدن الألعاب بمعدل ٥٠٠ زائر كل سنة . جـ) كيف تظهر معدلات التغير المختلفة على التمثيل البياني؟ هناك تغير رأسي أكبر في الفترة من ١٤٣٢هـ - ١٤٣٤هـ عن الفترة من ١٤٣٤ هـ - ١٤٣٦هـ . ولذا يكون الجزء الذي يمثل الفترة من ١٤٣٢هـ - ١٤٣٤هـ أكثر ميلًا. تحقق من فهمك ۲) عد إلى التمثيل البياني أعلاه، وأوجد - دون إجراء عمليات حسابية - فترة السنتين ذات معدل التغير الأكبر، ثم احسب للتحقق من إجابتك. الدرس ٢-٥ معدل التغير والميل وزا ۷۷ تعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة دالة خطية أم غير خطية ؟ حتى تكون الدالة خطية يجب أن يكون معدل التغير ثابتًا؛ أي يجب أن يكون معدل التغير للدالة ثابتًا إذا لم تتغير قيمته بين أي نقطتين على التمثيل البياني لتلك الدالة. والدوال الخطية لها معدّل تغير ثابت. مثال ٣ معدلات التغير الثابتة حدد ما إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم لا، وفسر إجابتك: معدل التغير = - ۱۲ (٣-)-۱- ١٦ - ١٢ ۱۰ ۱۲ 1- ١٦ ۲۲ 312 ب) ۱۲ - (1-)-1 17-1A ١٦ 1 = ۱۸ ۱۸-۲۲ ۲ = ٥-٣ ۲۲ بما أن معدل التغير ليس ثابتًا، فالدالة ليست خطية. ب) س 2- ۱۲ ١٦ 212 212 2|2 2|2 معدل التغير II يكون التغير في كل من أ ) س قيم س، ص ثابتًا. 7- 1 1- ٤ 1.- V ۱۲- ۱۰ 18- ۱۳ (7-)-A- 1-2 (^-)-1- -V (۱۰-)- ۱۲- V-1. (١٤-)١٢- 1 8 3 ^- V ۱۲- ۱۰ ۱۰-۱۳ 18- ۱۳ بما أن معدل التغير ثابت فالدالة خطية. تحقق من فهمك ۱۱ ١٥ ۱۹ ۲۳ ۲۷ س (١٣ إيجاد الميل ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة التغير في الإحداثي الصادي إلى التغير في الإحداثي السيني كلما انتقلت من نقطة إلى أخرى. وبالتالي يمكن استعماله لوصف معدل التغير. إن ميل المستقيم يصف درجة انحداره وكلما زادت القيمة المطلقة للميل كان المستقيم أشد انحدارا. (۳ ،۱-) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 .. يُظهر الرسم البياني المجاور مستقيما مارا بالنقطتين (- ۱ ، ۳) ، (۲ ، ۲). - 6 الميل = التغير الرأسي التغير الأفقي فرق الصادات فرق السينات التغير الأفقي : ۲ - (- ۱) = 3 التغير الرأسي: - ٢ - ٣ - - ٥ م (۲ - (۲) 03 = ۳ - ۲- (1-) - Y = لذا، فميل المستقيم هو - - . الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية V^

قراءة الرياضيات تقرأ ص على الصورة ا وبما أن معدل تغير الدالة الخطية ثابت، فيمكنك استعمال أي نقطتين على المستقيم غير الرأسي لتحديد ميله. صاد واحد. وتقرأ س على الرموز الصورة سين اثنين. ويشير الرقمان ١، ٢ إلى النقطتين الأولى والثانية اللتين ترتبط بهما قيم س، مفهوم أساسي الميل التعبير اللفظي ميل المستقيم غير الرأسي هو نسبة التغير الرأسي إلى التغير الأفقي. يمكن إيجاد الميل (م) للمستقيم غير الرأسي المار بالنقطتين رسر ( ، ص ) ، ( س ، ص ) على النحو الآتي: ص۲ التغير في التغير في س (س. الرسم س. س ( س ، ص ) مطويتك - ص م س يمكن أن يكون ميل مستقيم موجبًا أو سالبًا أو صفرًا أو غير مُعرَّف. فإذا لم يكن المستقيم أفقيا ولا رأسيًا، فميله إما موجب وإما سالب مثال ٤ الميل الموجب أو السالب أو الصفر أوجد ميل المستقيم المارّ بكل نقطتين من النقاط الآتية: تنبيه ! أ) (-۲، ۰ ) ، (١، ٥) ترتیب كن حريصًا على عدم تبديل قيم س أو قيم ص. ܡܙ ص۲ التغير الرأسي التغير الأفقي سا II ب) (-٣، ٤ ) ، (٢، ٣) م ص۲ سا ٣-٤- (٣-) - ۲ = جـ) (-٣، (۱) ، (۲ ، ۱) = - ص۲ 10 1-)-1- (٣-) - ۲ == -۲ ، ۰) = ( س ، ص ) ، (١، ٥) = (سہ ، صہ) بسط التغير الرأسي التغير الأفقي (-٣، ٤ ) = (س، ص ) ، (۲، -۳) = (س, ص) ، صہ) بسط التغير الرأسي التغير الأفقي عوض بسط تحقق من فهمك أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية: ٤ أ ) ( ٤ ، (۲)، (۰، ۲) - ٤ ب) (-٢، ٢) ، (-٦، ٤ ) 13 13 (۳ - ۲) (0.1) صر م م م (۰ ،۲- ) ( ٣، ٤-) الدرس ٢-٥- معدل التغير والميل ٧٩١٠٩تعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة الميل الذي قيمته صفر والميل غير المعرف إذا كان الفرق في قيم ص صفرًا، فسيكون الخط أفقيًا. وإذا كان الفرق في قیم س صفرا، فسيكون الميل غير معرّف وسيكون الخط رأسيًا. مثال ٥ الميل غير المعرف أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين ( - ٢ ، ٤ ) ، ( -٢ ، ٣): ص س ا م س II ٣-٤- (۲-) - ۲- التغير الرأسي التغير الأفقي عوض = - Y أو غير معرّف تحقق من فهمك بسط أوجد ميل المستقيم المار بكل زوجين من النقاط الآتية: ٥ أ) (٣،٦)، (٧،٦) ه ب) (۳ ، ۲)، (۳ ، ۱) ۸۰ وفيما يلي ملخص الرسوم البيانية للمستقيمات المختلفة الميل: مفهوم أساسي 12 م الميل مطويتك الميل موجب الميل سالب الميل صفر الميل غير معرف خط أفقي المستقيم للأسفل عند التحرك المستقيم للأعلى عند التحرك من اليسار إلى اليمين من اليسار إلى اليمين ~ خط رأسي أحيانًا قد تعطى قيمة الميل ويطلب إليك إيجاد الإحداثي المجهول. مثال ٦ إيجاد الإحداثي إذا علم الميل أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين (١) ، ٤ ) ، (٥) ، ر) يساوي . -2 || صر سا س ٤ -> صيغة الميل ضع (س ، ص ) = (١، ٤ ) ، (س ، ص ) = (٥، ر) ٤ = 7- اطرح ر - ٤) = ١-٦) ر - ١٢ = -٦ اضرب تبادليًّا خاصية التوزيع ٣ر = ٦ أضف ١٢ إلى كلا الطرفين، وبسط ر = ۲ اقسم على ٣ ، وبسط لذلك فإن المستقيم يمر بالنقطة ) - ٥ ، ٢). تحقق من فهمك ٦) أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين (٢، ٦)، (ر ، -٤ ) يساوي - ٥ الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

السعر (ريال) معدل أسعار الوجبات في المطاعم ٢٤ ۲۰ Λ 11 ۱۲ ١٤٢٦ ١٤٢٨ ١٤٣٠ ١٤٣٢ ١٤٣٤ ما ۱۹ ۲۳ ١٤٣٦ ١٤٣٨ ٢٤ ۲۰ ۱۲ ٨ ۲- " ه V مثال ۱ أوجد معدّل التغير الممثل في كلَّ من التمثيل البياني أو الجدول فيما يأتي: 7- ۲ ۱۰ ٢٦ س 32 ه > (۲ م (Y..) (٣، ٦) (۱ مثال ۲ مطاعم : استعمل الشكل المجاور في الإجابة عما يأتي: أ) أوجد معدّل التغير في الأسعار من ١٤٣٦هـ - ١٤٣٨هـ ، وفسر معناه. ب دون إجراء الحسابات أوجد فترة العامين التي كان معدّل تغيرها أكبر من معدل التغير في الفترة من ١٤٣٦هـ - ١٤٣٨هـ، وفسر إجابتك. مثال ٣ حدد ما إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم لا، وفسر إجابتك: ه) س ه ۲ 1- E- V- ه س (٤ تأكد المثالان ٤، ٥ أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية: (۱ ، ۲) ،(٦( )٤ ، ٣ ( ٣، ٤) ،(۷ ،۳) (۷ مثال ٦ أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية كما هو معطى: ) (۱، ۲)، (۷، ر)، م = - V) (−3'))² (−V' √)² = = -0. ر)، ۳)، تدرب وحل المسائل مثال ۱ أوجد معدّل التغير لكل من الدالتين الممثلتين بالجدولين الآتيين ٤ (11 ١٥ (1. مثال ۲ (۱۲) سكان أوجد المعدّل السنوي للتغير في عدد سكان المملكة العربية السعودية من عام ١٤٣١ هـ إلى ١٤٤٣هـ ؟ وفسر معناه. مثال ٣ حدد ما إذا كانت كل دالة فيما يأتي خطية أم لا، وفسر إجابتك: السنة 1431هـ 143هـ عدد سكان المملكة العربية السعودية ٢٧١٣٦٩٧٧ ٣٢١٧٥٢٢٤ المصدر: الهيئة العامة للإحصاء ,٦ 7 • س الدرس ٢-٥- معدل التغير والميل ونا ۸۹ تعليم Ministry of Education 2024-1446 (18 0- v- ۲۳ ۲۰ ۱۷ ۱۱ 33 (۱۳

المثالان ٤ ، ٥ أوجد ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية: (۱ ، ۱) ،(۲ ،۸) (۱٥ - (۲ ، ۲) ،(۲ ،۲) (١٦ 6 (1867)6(10-67) (IV مثال ٦ أوجد قيمة (ر) التي تجعل ميل المستقيم المار بكل نقطتين من النقاط الآتية كما هو معطى: ۱۸) (۱۲ ، ۱۰)، (۲ ، ر)، م = - ٤ ۱۹) (ر، (٥)، (۳، ۱۳)، م = ۸ - (۲۰) معدل نمو الشعر : طول شعر فاطمة ٢٥ سنتمترا. وفي غضون ثلاثة أشهر نما شعرها ثلاثة سنتمترات أخرى. أجب عما يأتي مفترضًا أن شعرها ينمو بالمعدل نفسه: أ) أكمل الجدول المجاور. الزمن (شهر) ب) مثل العلاقة بين نمو شعر فاطمة والزمن بالأشهر بيانيًّا. طول شعر فاطمة (سم) جـ) ما ميل المستقيم الذي يمثل العلاقة بين نمو الشعر والزمن؟ وماذا يمثل؟ مسائل مهارات التفكير العليا الربط مع الحياة ۲۱) تبرير لماذا لا تستعمل معادلة الميل في المستقيمات الرأسية؟ فسِّر ذلك. تتميز سيارات الدفع الرباعي (٢٢) تحد: إذا كنت ترتفع ٥ أقدام لكل ١٣ قدما تتحركها إلى الأمام بنظام مام حركي يوفر لها الأمان وسهولة الحركة على الطرق الرملية والجبلية والوعرة عند قيادة سيارتك في طريق جبلي، فما ميل الطريق؟ ۲۳) تحد أوجد قيمة د التي تجعل ميل المستقيم المار بالنقطتين ( أ ، ب )، ( جـ ، د ) يساوي - . ه قدم (٢٤ اكتب بيّن العلاقة بين معدّل التغير والميل، وكيف يمكن إيجاد ميل مستقيم. ۱۳ قدم تدريب على اختبار ٢٥ اشترت روان حاسوبًا بقيمة ٤۰۰۰ ريال، فإذا علمت أن (٢٦) احتمال : ما احتمال ظهور العدد ٥ عند إلقاء مكعب سعره ينخفض بصورة ثابتة، وكانت قيمته بعد سنتين ٢٥٠٠ ریال، فما مقدار الانخفاض السنوي في سعره ؟ أرقام (١-٦) مرة واحدة؟ أ) ١٥٠٠ ريال. جـ) ٢٥٠٠ ريال. ب) ٧٥٠ ريالًا. د) ١٢٥٠ ريالا مراجعة تراكمية حُلّ كلّ معادلة فيما يأتي بيانيا : الدرس (٢-٤) (۲۷ س + ۱۸ = ۰ (۳۰ حُلَّ المعادلة | س- ۳ | = ٨ . الدرس (١-٥) استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : أوجد ناتج الطرح في كل مما يأتي: (۱-) - ۱۳ (۱ ۸۲ الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية جـ) (i 05 - 2 ب 3 ཀླ -|0 -|r ۲۸) ۸س – ۳۲ = ۲۹) ۰ = ۱۲ س - ٤٨ ١٢ (۲-) -۸- (٣٤) ۳-۳ (۳۳ ٣٢ ٤ - ١٦ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446