المتجهات في المستوى الإحداثي - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

المتجهات في المستوى الإحداثي رابط الدرس الرق Vectors in the Coordinate Plane 5-2 www.ien.edu.sa فيما سبق: درست العمليات على لماذا ؟ المتجهات باستعمال مقياس تؤثر الرياح في سرعة الطائرة واتجاه حركتها؛ لذا يستعمل قائد الطائرة الرسم - الدرس (51) والان مقاييس مدرّجة؛ لتحديد السرعة والاتجاه الذي يجب على الطائرة السير فيه؛ لمعادلة أثر الرياح ، وعادة ما يتم إجراء هذه الحسابات باستعمال المتجهات في المستوى الإحداثي. أُجري العمليات على المتجهات في المستوى المتجهات في المستوى الإحداثي في الدرس 1-5 ، تعلمت إيجاد طول (مقدار) المحصلة واتجاهها لمتجهين الإحداثي، وأمثلها بيانيا. أو أكثر هندسياً باستعمال مقياس رسم. وبسبب عدم دقة الرسم، فإننا نحتاج إلى طريقة جبرية باستعمال نظام أكتب المتجه باستعمال الإحداثيات المتعامدة للمواقف التي تحتاج إلى دقةٍ أكثر ، أو التي تكون فيها المتجهات أكثر تعقيدا. متجهي الوحدة المفردات الصورة الإحداثية ويمكن التعبير عن OP في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي كما في الشكل 5.2.1 بصورة وحيدة، وذلك بإحداثيي نقطة نهايته (x,y) . وهذه الصورة هي ) ، حيث إن x, y هما المركبتان المتعامدتان لـ OP ؛ لذا تسمى (x,y) الصورة الإحداثية للمتجه. O OP P(x,y) x T الشكل 5.2.1 الشكل 5.2.2 وحيث إن المتجهات التي لها الطول والاتجاه نفساهما متكافئة، فإنه بإمكاننا التعبير عن كثير من المتجهات بالإحداثيات نفسها، فمثلاً المتجهات , في الشكل 5.2.2 متكافئة، إذ يمكن التعبير عن أي منها بالصورة (32)، ولإيجاد الصورة الإحداثية لمتجه مرسوم في وضع غير قياسي، استعمل إحداثيي نقطتي بدايته ونهايته. مفهوم أساسي الصورة الإحداثية لمتجه الصورة الإحداثية لـ AB الذي نقطة بدايته Axy y ، ونقطة نهايته (2 x) هي : y Bx22 2-1 Alx, y₁ 0 (x2-x1, Y2 - Y1) مثال 1 التعبير عن المتجه بالصورة الإحداثية أوجد الصورة الإحداثية لـ AB ، الذي نقطة بدايته ، ونقطة نهايته (B3,5 . الصورة الإحداثية (x1,y1)=(-4,2), (x2, y2) = (3,-5) بسط AB = (x2-x1, Y2 - Y1) = (3-(-4), -5 -2) = (7,-7) 1 تحقق من فهمك أوجد الصورة الإحداثية لـ AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: A(-2, -7), B(6, 1) (1A A(0, 8), B(-9,-3) (1B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 component form متجه الوحدة unit vector متجها الوحدة القياسيان standard unit vectors توافق خطي linear combination الفصل 5 المتجهات 94

قراءة الرياضيات المعيار يسمى مقدار المتجه أحيانا معيار المتجه. يمكن إيجاد طول المتجه في المستوى الإحداثي باستعمال قانون المسافة بين نقطتين. مفهوم أساسي طول المتجه في المستوى الإحداثي إذا كان ٧ متجها، نقطة بدايته (1 ,xy) ، ونقطة نهايته (2) (x2) ، فإن طول ٧ يُعطى بالصيغة إرشادات للدراسة التحقق بيانيا يمكن التحقق بيانيا من إجابة مثال 3 الفرع 2 ، استعمال طريقة قاعدة متوازي الأضلاع . كما في الشكل أدناه. 6 2.5 (-4,1) INT || = V (x2 - x2 + (y2 - 12 وإذا كانت a, b هي الصورة الإحداثية للمتجه v فإن : || = Va2 + b2 مثال 2 إيجاد طول متجه أوجد طول AB الذي نقطة بدايته A4 ، ونقطة نهايته (35) . AB = √√(x2-x1)² + (y 2 - Y1)² = √√[3 − (−4)]² + (−5 – 2)² = 798 = 9.9 قانون المسافة بين نقطتين y Y2-y (x1,y₁) (x, y)=(-4, 2), (x2, y2) = (3,-5) بسط x التحقق علمت من المثال 1 أن (77) = AB ؛ وعليه فإن : 98 = 2(7) + V \AB | = V72 تحقق من فهمك أوجد طول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: A(-2, -7), B(6, 1) (2A A(0, 8), B(-9,-3) (2B تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي، والجمع والطرح على المتجهات العمليات نفسها على المصفوفات. مفهوم أساسي العمليات على المتجهات إذا كان , , متجهين و عددًا حقيقيا، فإن جمع متجهين طرح متجهين a+b=(a+b₁, a₂+ b₂) a-b= (a₁-b₁, a₂- b₂) ka = (ka, ka) ضرب متجه في عدد حقيقي مثال 3 العمليات على المتجهات أوجد كلًا مما يأتي للمتجهات 1 (0 ,3) = a = (2, 5, b : c+a (a c+a (4, 1) + (2,5) =(-4+2, 1+ 5) = (-2, 6) b 2a (b عوض اجمع المتجهين b - 2a = b + (2) =(-3,0)+(-2)(2,5) =(-3,0)+(-4, -10) = (-7, -10) تحقق من فهمك أعد كتابة الطرح كعملية جمع عوض اضرب متجها في عدد حقيقي واجمع متجهين أوجد كلا مما يأتي للمتجهات: (1) a = (2, 5), b = (3, 0, c : 4c + b (3 -3c (3B 2c4a b (3C وزارة التعليم of Edu الدرس 2-5 المتجهات في المستوى الإحداثي 2095

تاريخ الرياضيات ويليام روان هاميلتون (1805-1865) طور الرياضي الأيرلندي هاميلتون نظرية في نظام الأعداد لتوسيع الأعداد المركبة ونشر العديد من المحاضرات فيها. يذكر أن العديد من المفاهيم الأساسية في تحليل المتجهات يعتمد على هذه النظرية متجهات الوحدة يُسمَّى المتجه الذي طوله 1 متجه الوحدة، ويرمز له بالرمز u ولإيجاد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه المتجه ۷ ، اقسم المتجه v على طوله || . u= V = = || وبذلك يكون u = v .. ونكون قد عبرنا عن المتجه غير الصفري ٧ في صورة حاصل ضرب متجه وحدة بنفس اتجاه ٧ في عددٍ حقيقي. مثال 4 إيجاد متجه وحدة له نفس الاتجاه المتجه . معطى أوجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه (23) = v . u = V = (-2,3) -2, 3)| 1 = (-2, 3) -2)²+32 (-2,3) V13 -2 3 = V13 V13 -2√13 3√√13 == 13 13 التحقق متجه وحدة باتجاه v عوض (a, b)=√√a²+b² بسط اضرب متجه في عدد حقيقي أنطق المقام بما أن تمثل حاصل ضرب ٧ في عدد موجب فإن له اتجاه ۷ نفسه. تحقق من أن طول م هو 1 . |u| = 1 + قانون المسافة بين نقطتين 1 تحقق من فهمك = + 13 = VT = 17 بسط بسط أوجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه المُعطى في كل مما يأتي: w = (6,-2) (4A x=(-4,-8) (4B تنبيه متجه الوحدة 1 لا تخلط بين متجه الوحدة ة، والعدد التخيلي ) ، حيث يكتب متجه الوحدة بخط داكن غير مائل ، بينما يكتب العدد التخيلي بخط غير داكن مائل 1 . يُرمز لمتجهي الوحدة بالاتجاه الموجب لمحور x ، والاتجاه الموجب لمحور y بالرمزين 0,1) = (10) = 1 على الترتيب كما في الشكل .5.2.3 . كما يُسمَّى المتجهان متجهي الوحدة القياسيين. y 12 الشكل 5.2.3 of y v = (a, b) الشكل 5.2.4 bit ويمكن استعمال هذين المتجهين للتعبير عن أي متجه , على الصورة v = a + bj كما في الشكل 5.2.4 ؛ 96 الفصل 5 المتجهات وذلك لأن: v = (a, b) = (a,0)+(0, b) a(1, 0)+b(0, 1) = ai + bj الصورة الإحداثية أعد كتابة المتجه على صورة ناتج جمع متجهين اضرب متجه في عدد حقيقي (1, 0), (0, 1) =j وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تسمى الصورة ait bj توافقاً خطياً للمتجهين . ويُقصد بها كتابة المتجه بدلالة متجهي الوحدة i, j مثال 5 كتابة متجه على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة إذا كانت نقطة بداية المتجه DE. هي (23) ، ونقطة نهايته (45) ، فاكتب ، DE على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة . أولا، أوجد الصورة الإحداثية لـ DE . الصورة الإحداثية DE = (x2 - x1 92 - 91 (x1,y1)=(-2, 3), (x2, y2) = (4, 5) (4-(-2), 5-3) بسط = (6,2) ثم أعد كتابة المتجه على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة. الصورة الإحداثية DE = (6,2) (a, b = ai + bj = 6i + 2j تحقق من فهمك اكتب المتجه DE المعطى نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i j في كل مما يأتي : (a, b) |v/sin 0 0 | v | cos 0 الشكل 5.2.5 (-5.8.7. V y x 120° D(-3, -8), E(7,1) (5B D(-6, 0), E(2,5) (5A إرشادات للدراسة متجه الوحدة تستنتج من الصورة ويمكن كتابة المتجه ، باستعمال زاوية الاتجاه التي يصنعها ٧ مع الاتجاه الموجب لمحور x فمن الشكل 5.2.5 يمكن كتابة v على الصورة الإحداثية، أو على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة ), كما يأتي: v = (a, b) v = ( v | cos0, | v | sin 0 = (v| cos 0 |v| sin أن متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه ٧ يأخذ الصورة = |v| (cos 0) i + |v| (sin 0) j u = (1) cos 6, 1 sin (0) الصورة الإحداثية عوض توافق خطي من i = (cos 0, sin 0) مثال 6 إيجاد الصورة الإحداثية أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v الذي طوله 10 ، وزاوية اتجاهه 120 مع ا الأفقي. الصورة الإحداثية للمتجه بدلالة || v = (v| cos 0, v| sin (0) || = 10, 0 = 120° = (10 cos 120°, 10 sin 120°) cos 120° = sin 120 = = (10(-2), 10(3) بسط = (-5,5√√3) مثل بيانيا : (587) = (553) = v ، تجد أن قياس الزاوية التي يصنعها ٧ مع الاتجاه الموجب لمحور x هي °120 كما في الشكل المجاور، || = V (5)2 + (53) 2 = 10✓ التحقق تحقق من فهمك أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v المعطى طوله وزاوية اتجاهه مع الأفقي في كل مما يأتي : |v| 8,045° (6A |v| 24,0 210° (6B وزارة التعليم الدرس 2- المتجهات في المستوى الإحداثي 97 2024-1446

من الشكل (5.2.5) تستنتج أنه يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه a b = مع الاتجاه الأفقي (الموجب لمحور )x) || sin 0 بحل المعادلة المثلثية : 6 Ivl cos مثال 7 0 tan، أو 2 = 0 tan زوايا الاتجاه للمتجهات أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات الآتية مع الاتجاه الموجب لمحور x . تنبيه لكل قيمة 3 0 tan توجد زاويتان مختلفتان بناءً على العلاقة: tan 0 = tan(0+180) فإذا كانت قيمة 0 tan موجبة فإن 0 زاوية تقع في الربع الأول أو الربع الثالث، وإذا كانت قيمة 0 tan سالبة فإن 0 زاوية تقع في الربع الثاني أو الرابع، وتكون العلاقة بين الزاويتين هي أن قياس إحداهما عبارة عن قياس الأولى مجموعا لها 180. p = 3i + 7j (a tan 0 = b a 7 tan 0 = 0 = tan-13 معادلة زاوية الاتجاه a=3,b=7 حل بالنسبة إلى 0 من خلال الصورة الإحداثية للمتجه 3 = y = 7 ، x ، فإن المتجه يقع في الربع الأول، إذن: 0 = 66.8° استعمل الآلة الحاسبة أي أن زاوية اتجاه المتجه p هي 66.8 تقريبًا كما في الشكل 5.2.6 . 1/ (3.7 0 66.8 الشكل 5.2.6 41 OA 308. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الشكل 5.2.7 25m/s 40° 5 m/s x معادلة زاوية الاتجاه a=4,b=-5 حل بالنسبة إلى 0 r = (4,-5) (b tan 0 = tan 0 = 0 = tan -1 من خلال الصورة الإحداثية للمتجه 0 5- = x = 4 > 0 ، y ، فإن المتجه يقع في الربع الرابع وبالتالي زاويته 0-51.3° استعمل الآلة الحاسبة بما أن r يقع في الربع الرابع، كما في الشكل ،5.2.7 ، فإن: 308.7 = °51.3 - °360 = 0 تحقق من فهمك أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهين الآتيين مع الاتجاه الموجب لمحور x . (-3,-8) (7B -6i + 2j (7A مثال 8 من واقع الحياة تطبيق العمليات على المتجهات كرة قدم يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم للأمام بسرعة m/s 5 ، ليرمي الكرة بسرعة 25m/s ، بزاوية 40 مع الأفقي. أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة. بما أن اللاعب يتحرك للأمام بشكل مستقيم، فإن الصورة الإحداثية لمتجه سرعة اللاعب v1 هي (50) ، وتكون الصورة الإحداثية لمتجه سرعة الكرة v2 هي: الصورة الإحداثية للمتجه V2 | v2 = 25, 0 = 40° بسط V2 = (V2| cos 6, vz| sin 0 ) =(25 cos 40°, 25 sin 40°) (19.2, 16.1) الفصل 5 المتجهات 98

V₁ اجمع المتجهين V2 ، V1 جبريًا؛ لتجد متجه محصلة السرعة r . متجه المحصلة عوض اجمع r = V1 + V2 (5,0)+(19.2, 16.1) = (24.2, 16.1) طول متجه المحصلة هو 29.1 = 16.12 + r = V24.22 . وتكون زاوية اتجاه المحصلة مع الأفقي هي 0 حيث 2 = 6 tan ، حيث (16.1 ,24.2) = a, b) حل بالنسبة إلى 0 tan 6 = 16.1 24.2 0 = tan -1 16.1 24.2 ≈ 33.6° تدرب وحل المسائل أي أن محصلة سرعة الكرة هي m/s 29.1 تقريبا، وتصنع زاوية قياسها °33.6 مع الأفقي تقريبًا. تحقق من فهمك 8) كرة قدم: أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة إذا تحرك اللاعب إلى الأمام بسرعة 7m/s أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه ۷ نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB ، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلَّ مما يأتي: المثالان (12) v = (-2,7) (13 v = (9,-3) (14 v (-8,-5) (15 v = (6,3) (16 v (-1,-5) (17 v = (1,7) (18 A(-3, 1), B(4, 5) (1 A(2, -7), B(-6, 9) (2 A(10, -2), B(3,-5) (3 A(-2, 6), B(1, 10) (4 A(2.5, -3), B(-4, 1.5) (5 A(-9), B(6, 2) (6 اكتب DE ، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة : (مثال (5) إذا كان (62) = f = (80), g = (3, 5, h ، فأوجد كلا مما يأتي: (مثال 3) D(4, 1), E(5,-7) (19 D(9,-6), E(-7,2) (20 D(3, 11), E(-2, -8) (21 D(9.5, 1), E(0, -7.3) (22 D(-4, -6), E(9,5) (23 D(3, 3), (4,2) (24 4h - g (7 f+2h (8 2fg 3h (9 f - 2g - 2h (10) h - 4f + 5g (11 وزارة التعليم OF ED الدرس 2- المتجهات في المستوى الإحداثي 299 4g - 3f + h (12

أوجد الصورة الإحداثية للمتجه ل ، المُعطى طوله وزاوية اتجاهه مع بين ما إذا كان AB, CD المُعطاة نقطنا البداية والنهاية لكل منهما فيما يأتي الاتجاه الموجب لمحور x في كل مما يأتي: (مثال (6) متكافئين أو لا، وإذا كانا متكافئين، فأثبت أن AB = CD ، وإذا كانا غير " ذلك، فاذكر السبب. A(3, 5), B(6, 9), C(-4, -4), D(-2, 0) (36 A(1,-3), B(0, -10), C(11, 8), D(10, 1) (37 |v|12, 0=60° (25 || = 16, 0 = 330° (26) || = 4, 0 = 135° (27 || = 15, 0 = 125 (28) أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات الآتية مع الاتجاه الموجب لمحور x : (مثال (7) 3i+ 6j (29 -2i+5j (30 -4i-3j (31 (-5,9) (32 (33) ملاحة جوية تطير طائرة جهة الشرق بسرعة مقدارها mih 600 ، وتهب الرياح بسرعة مقدارها mih 85 باتجاه 59°E . ( مثال 8) 38 انسحاب يمكنك سحب شكل هندسي باستعمال المتجه (a) وذلك بإضافة إلى الإحداثي x ، وإضافة 6 إلى الإحداثي y . (a) حدد المتجه الذي يُستعمل لسحب AFGH إلى 'AFGH في الشكل المجاور. إذا استعمل المتجه (36) لسحب 'AFGH ، فمثل بيانيا كلا من 'AFGH ، وصورته .AF"G"H" y Η G 10 حدّد المتجه الذي يُستعمل لسحب AFGH إلى "AFGH . أوجد نقطة نهاية ممكنة لكل متجه مما يأتي إذا علمت طوله ونقطة بدايته : 600 mi/h √√37, (-1,4) (39 85 mi/h 59° 10, (-3, -7) (40 رياح a أوجد محصلة سرعة الطائرة. أوجد زاوية اتجاه مسار الطائرة. 34) تجديف يجدف شخص بقاربه في نهر باتجاه عمودي على الشاطئ بسرعة 5mih ، ويؤثر فيه تيار مائي باتجاه مجرى النهر سرعته . 3 mi/h a أوجد السرعة التي يتحرك بها القارب إلى أقرب جزء من عشرة. أوجد زاوية اتجاه حركة القارب بالنسبة للشاطئ إلى أقرب درجة. (35) ملاحة جوية تطير طائرة بسرعة مقدارها mi/h 480 بالاتجاه N 82°E ، وبسبب الرياح، فإن محصلة سرعة الطائرة بالنسبة لسطح الأرض أصبحت mih 518 باتجاه N 79° E . ارسم شكلا يُمثل هذا الموقف. (41) آلة تصوير: عُلقت آلة تصوير معدة لمتابعة حدث رياضي الحبل 2. بثلاثة حبال كما في الشكل المجاور، إذا كان الشد في كل حبل يمثل متجها، فأجب عما يأتي: الحبل 1 1200 N 51° 1000 N 26° 39° 700 N الحبل 3 أوجد الصورة الإحداثية لكل متجه لأقرب عدد صحيح. أوجد الصورة الإحداثية لمتجه المحصلة المؤثر على آلة التصوير. أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 5 المتجهات 100

(42) قوة تؤثر قوة الجاذبية 8 وقوة الاحتكاك على صندوق في وضع السكون موضوع على سطح مائل ويبيّن الشكل أدناه المركبتين المتعامدتين للجاذبية الأرضية الموازية للسطح والعمودية عليه). ما استعمل مجموعة المتجهات الآتية لرسم متجه يمثل كلًا مما يأتي: الوصف الصحيح لقوة الاحتكاك ليكون هذا الوضع ممكنا ؟ الدرس 1-5) 19 مسائل مهارات التفكير العليا الاحتكاك P m + 3n (52 n -m (51 p + 2n - m (54) m3n (53 (43) تبرير: إذا كان متجهين متوازيين، فعبر عن كل من المتجهين بالصورة الإحداثية مبينا العلاقة بين ab (44) تبرير: إذا أعطيت طول متجه، ونقطة بدايته، فصف المحل تدريب على اختبار الهندسي للنقاط التي يمكن أن تُمثّل نقطة نهايته. (إرشاد: المحل (55) ما طول المتجه الذي نقطة بدايته (25) ، ونقطة نهايته (34) ؟ الهندسي هو مجموعة من النقاط تحقق شرطاً معيناً). (45) تحد: إذا كانت زاوية اتجاه ( x ) هي (4) ، فأوجد قيمة x بدلالة .y √82 C √2 A V106 D √26 B برهان: إذا كان ( a = (x,y), b = (x2,92), C = x33 ، فأثبت الخصائص الآتية: a+b=b+a (46 (56) ما مساحة المثلث المجاور إذا علمت أن PR = RS ؟ (a+b)+ca + (b + c) (47 48 ab ka kb) ، حيث k عدد حقيقي 49 kal = ki lal ، حيث k عدد حقيقي مراجعة تراكمية 50) دمي أطفال : يقوم محمد بسحب دميته بقوة مقدارها 1.5N بواسطة نابض مثبت بها الدرس 1-5) إذا كان النابض يصنع زاوية 52 مع سطح الأرض، فأوجد مقدار كل من المركبتين الرأسية والأفقية للقوة. ) إذا رفع محمد النابض، وأصبح يصنع زاوية قياسها 78 مع سطح الأرض، فأوجد مقدار كل من المركبتين الأفقية والرأسية للقوة. S R 30° P 18√√3 D 18√2 C 93 92 وزارة التعليم الدرس 2-5 المتجهات في المستوى الإحداثي 101 2024-1446