القطوع الناقصة والدوائر - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa القطوع الناقصة والدوائر Ellipses and Circles 4-2 فيما سبق درست تحليل القطوع المكافئة وتمثيلها بيانيا (الدرس 1 - 4) والان . أحلل معادلات القطوع الناقصة والدوائر وأمثلُهما بيانيًا. . أكتب معادلات القطوع الناقصة والدوائر. المفردات: القطع الناقص اليماذا؟ يدور كوكب عطارد كبقية كواكب المجموعة الشمسية في مدار ليس دائريا تماما حول الشمس، ويبعد عنها مسافة 43.4 مليون ميل في أبعد نقطة، و 28.5 مليون ميل في أقرب نقطة، ويأخذ مداره شكلًا إهليليجيا يسمى قطعا ناقصا. عطارد الأرض الزهرة تحليل القطع الناقص والدائرة وتمثيلهما بيانيًا القطع الناقص هو المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المستوى التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين يساوي مقدارًا ثابتا وتسمى هاتان النقطتان البؤرتين وعمليا يمكنك رسم منحنى القطع الناقص بتثبيت طرفي خيط عند البورتين، ثم تحريك قلم بمحاذاة الخيط بعد شده كما في الشكل أدناه. مجموع بعدي أية نقطة على منحنى القطع الناقص عن البؤرتين يساوي مقدارًا ثابتا، أي أن d + d2 = ds + da، وهذا مقدار ثابت ellipse البؤرتان foci المحور الأكبر major axis المركز center المحور الأصغر minor axis الرأسان vertices الرأسان المرافقان co-vertices الاختلاف المركزي eccentricity تُسمّى القطعة المستقيمة التي تحوي البؤرتين، والتي نهايتاها على منحنى القطع الناقص المحور الأكبر وهو محور تماثل للقطع، وتسمى نقطة منتصف المحور الأكبر المركز. أما القطعة المستقيمة التي تمر بالمركز، ونهايتاها على المنحنى، والمتعامدة مع المحور الأكبر، فتسمى المحور الأصغر. وتُسمى نهايتا المحور الأكبر الرأسين، بينما تسمى نهايتا المحور الأصغر الرأسين المرافقين. الرأس - - الرأس المرافق. المحور الأكبر المركز --- الرأس المحور الأصغر البؤرتان الرأس المرافق مركز القطع الناقص هو نقطة المنتصف لكل من المحور الأكبر والمحور الأصغر. لذا فالقطعتان من المركز إلى كل رأس متساويتا الطول، والقطعتان من المركز إلى الرأسين المرافقين متساويتا الطول أيضًا، وليكن البعد بين كل رأس والمركز يساوي 4 وحدة والبعد بين المركز وكل رأس مرافق يساوي 6 وحدة والبعد بين المركز وكل بؤرة يساوي ، وحدة. وفيما يلي توضيح للعلاقة بين abc بما أن AFC = AFC بحسب مسلمة التطابق SAS (F₁CFC, ZV₁CF₁ = ZV₁CF₂,V₁C = V₂C) فإن VF = VF2 . ويمكننا استعمال تعريف القطع الناقص؛ لإيجاد طولي V1, V2 بدلالة الأطوال abc تعريف القطع الناقص V₁ VF = VF VF + VF = V V₁F₁1 + V₁F2 =V3F1 + V3F2 V₁F1 + V₁F2 = V4F2 + V3F2 ViFi + VF2 = V3 VV = 2a VF = VF ViFi + VF2 = 24 V₁F₁ + V₁F₁ = 2a بسط اقسم 2(V₁F₁)=2a V₁F₁ = a بما أن 4 = VF ، و AFC قائم الزاوية، فإن 2 - 2 = c2 بحسب نظرية فيثاغورس. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 4 القطوع المخروطية 54

(h-a,k)- F₁h-c, k) (h, k + b) C(h, k)! y P(x, y) الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص افترض أن (x,y) نقطة على منحنى القطع الناقص الذي مركزه ومحوره الأكبر أفقي وإحداثيات بؤرتيه ورؤوسه موضحة في hak) الشكل المجاور. وباستعمال تعريف القطع الناقص، فإن مجموع بعدي أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين ثابت، لذا فإن 24 = PF1 + PF2 . (h, k- b) OL Fh+ck) تعريف القطع الناقص صيغة المسافة خاصية التوزيع ثم التجميع اطرح ربع الطرفين، ثم أوجد مفكوك مربع مجموع (أو الفرق بين حدين ويكون بسط اقسم كلا الطرفين على 4 ربع الطرفين بسط a²-c²= b² اقسم الطرفين على a2b2 (x - h2 PF1 + PF2 = 2a Vx. c − (h − c)]² + (y − k)² + √√ [x − (h + c)]² + (y − k)² = 2a √√ [(x − h) + c]² + (y - k)² + √ √ [(x − h) - c]² + (y − k)² = 2a [(x - h) - - c]² + (y − k)² = 2a − √ [(x − h) + c]² + (y − k)² - - - (xh)2-2c (xh) + c² + (yk)² = 4a² - 4a√[(x − h) + c]² + (y − k)² + (xh)2+2c(xh) + c² + (y-k)² 4a [(xh)+c]²+(y-k)² = 4a² + 4c(x − h) a√(xh)+c]²+(y-k)² = a² + c(x − h) a²(xh)2+2c (xh) + c² + (y-k)2] = a + 2a²c(x − h) + c²(x − h)² a² (x − h)² + 2a²c (x − h) + a²c² + a²(y = k)² = a + 2a²c(x − h) + c²(x − h)² a²(xh)2c2(xh)² + a²(y-k)² = a+ - a²c² b2(xh)2+a2(y-k)² = a²b² (x-h)² ( - 2 + a² = 1 62 الصورة القياسية لمعادلة القطع الناقص الذي مركزه ، حيث المحور الأكبر عندها أفقيا، وفي الصورة القياسية 1 = . مفهوم أساسي a² + 1 h2 يكون المحور الأكبر رأسيًّا. (x-h)2 (y-k)² + b2 a² خصائص القطع الناقص المعادلة في الصورة القياسية المعادلة في الصورة القياسية : (x-h)² (y - k + 62 y =1 02 F1 ¡V₂ (x - )2 (y - 2 + =1 a² 62 Fi V₂ الاتجاه المحور الأكبر أفقى المركز : ( ) البؤرتان : الرأسان : ( a ) الرأسان المرافقان : ) المحور الأكبر = y وطوله = 2 المحور الأصغر: x = h وطوله = 2 العلاقة بين b a b c - 2 = 2 أو c = Va2 - b2 طول البعد البؤري : 2C الاتجاه : المحور الأكبر رأسي المركز : ( ) البؤرتان الرأسان : ( ) الرأسان المرافقان : المحور الأكبر: x = h وطوله = 2a المحور الأصغر: y = k وطوله = 20 2 - c = a2 أو العلاقة بين abc : c = Va2 - b2 طول البعد البؤري : 2C وزارة التعليم الدرس 2- القطوع الناقصة والدوائر 55 2024-1446 إرشادات للدراسة البعد البؤري المسافة بين البؤرتين تسمى البعد البؤري. الرسم القطع الناقص نعين نقاطا مساعدة وهي التي تبعد مسافة أعلى وأسفل كل من البؤرتين.

(-3.-1)- (3.2) 8 (3. إرشادات للدراسة إتجاه القطع الناقص إذا كان ( - x مقسوما على 7 في الصورة القياسية المعادلة القطع الناقص فإن المحور الأكبر يكون أفقيا، أما إذا كان 2 - ) مقسوما على 12 فإن المحور الأكبر يكون رأسيا، حيث 62 < 2 دائما . مثال 1 تحديد خصائص القطع الناقص وتمثيل منحناه بيانيا حدد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا : (x-3)2 (y+1)² + 36 =1 (a 9 المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية، حيث . h = 3, k = -1, a = V36 = 6, b = V9 = 3, c = V36 - 9 = 27 = 33 استعمل هذه القيم؛ لتحديد خصائص القطع الناقص. أفقي 2 - x مقسوما على 42 12x 4) (3,2) 10 (1 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (h, k) (3,-1) (h t c k (3±3√3,-1) (h ta, k (9,-1), (-3, -1) (h k + b) الاتجاه: المركز : البؤرتان: الرأسان: الرأسان المرافقان (34) و (32) المحور الأكبر: 1- = y، وطوله 12 = y ، طول المحور الأكبر 24 المحور الأصغر: 3 = x، وطوله 6 = x طول المحور الأصغر 20 عين المركز والرؤوس والبؤرتين والمحورين، ثم ارسم منحنى يمر بالرؤوس ويكون متماثلاً حول المحورين الأكبر والأصغر. 4x2 + y2 - 24x + 4y + 24 = 0 (b اكتب المعادلة على الصورة القياسية أولا. 4x2 + y2 - 24x + 4y + 24 = 0 (4x2 24x)+(y²+4y) = -24 4(x²-6x)+(y²+4y) = -24 المعادلة الأصلية جمع الحدود المتشابهة حلل 4 + (9)4 + 24 = 4 + 6x + (9) + (y2 + 4y - 42 كمل المربعين 4(x-3)²+(y+ 2)² = 16 (x-3)2 (y + 2)² + = 1 4 16 المعادلة الآن مكتوبة على الصورة القياسية، حيث: حلل وبسط اقسم الطرفين على 16 . h = 3,k = - 2,a = V16 = 4,b = V4 = 2,c = V16 - 4 = 12 = 23 استعمل هذه القيم لتحديد خصائص القطع الناقص. 2 - y) مقسوما على 42 رأسي (h, k) (3,-2) (h, k± c) (3,-2±2√3) (h, k ta (3,2), (3, -6) الاتجاه: المركز : البؤرتان الرأسان: الرأسان :المرافقان (2- (5) و (12) b المحور الأكبر: 3 = x ، وطوله 8 = x طول المحور الأكبر 20 المحور الأصغر: 2 ، وطوله 4 y = k ، طول المحور الأصغر 20 عيّن المركز والرؤوس والبؤرتين والمحورين، واستعن ببعض النقاط الأخرى التي تحقق معادلة القطع الناقص ، ثم ارسم منحنى يمر بالرؤوس ويكون متماثلا حول المحورين الأكبر والأصغر. تحقق من فهمك x6 + 4y2 + 4x - 40y + 103 = 0 (18 (x-6)² (y+3)2 + = 1 (1A 9 16 الفصل 4 القطوع المخروطية 56

إرشادات للدراسة . الاتجاه إذا كان لرأسي القطع الناقص الإحداثي لا نفسه فإن المحور الأكبر يكون أفقيا، وإذا كان لهما الإحداثي نفسه، فإن المحور الأكبر يكون رأسيًا. لكتابة معادلة القطع الناقص على الصورة القياسية، إذا علمت بعض خصائصه، فإنك تحتاج إلى استعمال بعض الصيغ الرياضية مثل صيغة نقطة المنتصف. مثال 2 كتابة معادلة القطع الناقص إذا عُلمت بعض خصائصه اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: a الرأسان - 6 (62) ، والرأسان المرافقان (3) (33) استعمل المحور الأكبر والمحور الأصغر لتحديد ab نصف طول المحور الأكبر نصف طول المحور الأصغر (-6,2) Ox (-9,-3). 3) مركز القطع الناقص هو منتصف المحور الأكبر . b = √√(-3+9)² + (-3+3)² = 3 1/2a = √√(-6+6)² + (2+8)² = 5 (-6+(-6)2+(-8)) = (-6,-3) ((8) +2 (6) + 6 = صيغة نقطة المنتصف بسط وبما أن الإحداثيين x لنهايتي المحور الأكبر متساويان، فإن المحور الأكبر رأسي، ومعادلة القطع الناقص هي: (y+3)2(x+6)2 + = 1 25 9 (-4, 4), (6, 4) (b . والتمثيل البياني لمنحناه كما في الشكل 4.2.1 . (-2, 4), (4, 4) طول المحور الأكبر 20 ، وهي المسافة بين الرأسين. 42 (4) + 62 - (4) V = 2 صيغة المسافة a = 5 بسط المسافة بين البؤرتين هي 20 442) + 42 - (2) = 20 صيغة المسافة أوجد قيمة b . c²=a2 b2 32-52-b2 b = 4 c = 3 بسط العلاقة بين abc a=5,c=3 (-6,-8) الشكل 4.2.1 بسط وبما أن الرأسين على بعدين متساويين من المركز، فإن إحداثيي المركز هما: y (4.4) (-4,4) (6,4) 10 الشكل 4.2.2 (h, k) = = (-4+6,4+4) = (1,4) صيغة نقطة المنتصف بسط وبما أن الإحداثيين لا لنهايتي المحور الأكبر متساويان فإن المحور الأكبر أفقي، ومعادلة القطع الناقص هي: (y-4)2 (x-1)2 + = 1 25 16 تحقق من فهمك والتمثيل البياني لمنحناه كما في الشكل 4.2.2 . 2) البؤرتان (7) (19) ، وطول المحور الأكبر 30 وحدة. (28) الرأسان (28)4 ,(2) ، وطول المحور الأصغر 10 وحدة. الاختلاف المركزي للقطع الناقص هو نسبة إلى .. و تقع هذه القيمة دائما بين 0 و 1، وتحدد مدى "دائرية" أو " اتساع " القطع الناقص. مفهوم أساسي لأي قطع ناقص 1 = الاختلاف المركزي + (x-h)² (y-k)² b2 a² أو 1 = الاختلاف المركزي يُعطى بالصيغة = = e . (y - k + 02 2 - x) ، حيث 2 c = a 2 - b ، فإن b2 وزارة اله الدرس 42 القطوع الناقصة والدوائر 57 ם 2024-1446

تمثل القيمة ، المسافة بين إحدى البؤرتين ومركز القطع الناقص. وعندما تقترب البؤرتان كل منهما من الأخرى، فإن كلا من قيمتي c, تقترب من صفر . وعندما تصل قيمة الاختلاف المركزي إلى صفر، يصبح القطع الناقص دائرة، وتكون قيمة كل من a, b مساوية لطول نصف قطر الدائرة. a=b=r c=0 e = 0 e = 0.32 e = 0.94 e = 0.71 مثال 3 تحديد الاختلاف المركزي للقطع الناقص (x-6)² 100 (y + 1)² + 9 حدّد الاختلاف المركزي للقطع الناقص 1 = أولًا: نحدد قيمة ) . c² = a² - b² العلاقة بين abc c² = 100-9 c = √√√91 و = 62 ,100 = a2 بسط نستعمل قيمتي ac لنجد الاختلاف المركزي. e == V91 e= ≈0.95 10 صيغة الاختلاف المركزي a=10,c=√√91 الاختلاف المركزي للقطع الناقص يساوي 0.95 تقريباً، لذا سيظهر منحنى القطع الناقص متسعا كما في الشكل 4.2.3. تحقق من فهمك حدد الاختلاف المركزي للقطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي: (x-4)2 19 + (y+7)2 17 = 1 (3B + 18 (y+8)2 48 -= 1 (3A الشكل 4.2.3 3 مهنة من الحياة فنيو العيون فنيو العيون حاصلون على دبلوم متخصص، ويعملون مساعدين لأطباء العيون في التشخيص وقياس النظر كما يساعدون في فحوصات أمراض العيون مثال 4 من واقع الحياة استعمال الاختلاف المركزي بصريات: يمكن تمثيل شكل عين بقطع ناقص ثلاثي الأبعاد. حيث إن الاختلاف المركزي للقطع الناقص الذي يمثل المقطع العرضي المنصف للعين مارا بالبؤبؤ يساوي 0.28. فإذا كان عمق العين يساوي mm 25 تقريبا، فما الارتفاع التقريبي لها؟ استعمل الاختلاف المركزي لتحديد قيمة ) . e = 10 0.28 = c = 3.5 12.5 تعريف الاختلاف المركزي e = 0.28, a = 12.5 اضرب استعمل قيم a و c لتحديد قيمة b . c²= a²-b2 3.52 12.52b2 العلاقة بين abc c = 3.5, a = 12.5 25 mm بسط b = 12 بما أن قيمة هي 12 فإن ارتفاع العين ،26، ويساوي 24mm تقريباً . تحقق من فهمك 4) الاختلاف المركزي لعين مصابة بقصر النظر هو 0.39 . فإذا كان عمق العين 25mm ، فما ارتفاعها ؟ " وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 4 القطوع المخروطية 58

معادلة الدائرة: يمكن التوصل إلى معادلة الدائرة باستعمال الاختلاف المركزي للقطع الناقص. (x-h)2 (y-k)² + معادلة القطع الناقص مفهوم أساسي = 1 a² 62 (x-h)² (y-k)² + = 1 2 a² a = b عندما 0 = e 2 = 2 + اضرب كلا الطرفين في a2 . 12 = ax - h2 + (y - k2 نصف قطر الدائرة الصورة القياسية لمعادلة الدائرة الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها ) ونصف قطرها r هي: (xh)²+(yk)² = p² يمكنك استعمال الصورة القياسية لمعادلة الدائرة لكتابة معادلة دائرة إذا علمت المركز ونصف القطر. مثال 5 كتابة معادلة دائرة مركزها وقطرها معلومان اكتب معادلة الدائرة التي مركزها (12) وقطرها 8 . الصورة القياسية لمعادلة الدائرة (h, k) =(-1, 2), r=: 8 = 4 (xh)²+(y-k)² = 2 (x-(-1))²+(y-2)² = 42 بسط (x + 1 ) 2 + (y - 22 = 16 تحقق من فهمك المركز (0) ، ونصف القطر 3 (58) المركز (50) ، والقطر 10 مثال 6 كتابة معادلة دائرة طرفا قطر فيها معلومان اكتب معادلة الدائرة إذا كان طرفا قطر فيها (8-1-) (76) . الخطوة 1 أوجد المركز. (x1 + x 2 4 1 + 1 2 2 صيغة نقطة المنتصف (x1,y1)=(7, 6), (x2, y2) = (-1, -8) = (7+(-1) 6+ (-8) 2 = (22, 2²) = (3,-1) 2 الخطوة 2: أوجد طول نصف القطر. √√(x2 − x₁)² + (y 2 − y ₁)² -7)²+(-16)² اجمع بسط = صيغة المسافة بين نقطتين == (-4)² + (-7)2 = √√65 (x1,y1)=(7, 6), (x2, y2) = (3,-1) اطرح بسط إن طول نصف القطر للدائرة هو 65 وحدة، لذا فإن 65 = 2 . عوّض عن 2,, في الصورة القياسية لمعادلة الدائرة لتجد أن معادلة الدائرة هي 65 = 12 + x - 32 + (y). تحقق من فهمك (6) أوجد معادلة دائرة، إذا كان طرفا قطر فيها (1), (33). وزارة التعليم الدرس 2- القطوع الناقصة والدوائر 59 2024-1446

تدرب وحل المسائل حدد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل اكتب معادلة الدائرة المعطى طرفا قطر فيها في كل مما يأتي: (مثال (6) منحناه بيانيا. (مثال (1) (2, 1), (2, 4) (18 (-4, -10), (4, -10) (19 (5,-7), (-2,-9) (20 (-6,4), (4, 8) (21 (x + 2)² 9 + = 1 (1 49 (x+4)2 (y+3)2 + = 1 (2 4 x2 + 92 - 14x + 36y + 49 = 0 (3) 4x2 + y2 - 64x - 12y + 276 = 0 (4 (22) معادلات استنتج الصورة العامة لمعادلة القطع الناقص الذي اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: محوره الأكبر رأسي، ومركزه نقطة الأصل. (مثال (2) (-5,-3), (11,-3)(-7,-3), (13,-3) (5 (6) الرأسان (49) (4) ، وطول المحور الأصغر 8 وحدات. (7) إحداثيات نهايتي المحور الأكبر (131) وإحداثيات نهايتي المحور الأصغر (60) (64) (8) البؤرتان (63) (6) ، وطول المحور الأكبر 20 وحدة. (9) الرأسان المرافقان (37) (13) ، وطول المحور الأكبر 16 وحدة. حدد الاختلاف المركزي للقطع الناقص المعطاة معادلته في كل ما يأتي: (23) بالرجوع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس، أجب عما يأتي: a أوجد طول المحور الأصغر لمدار كوكب عطارد. أوجد الاختلاف المركزي للمدار أوجد المركز والبؤرتين والرأسين لكل قطع ناقص مما يأتي: (x+5)2 16 12 7 1 (24 43.4 28.5 الشمس 9y2 - 18y + 25x2 + 100x - 116 = 0 25 65x216y+130x - 975 = 0 (26 27 شاحنات تستعمل في شاحنات نقل السوائل خزانات مقطعها العرضي على شكل قطع ناقص ؛ لأنها أكثر ثباتا من الخزانات الأسطوانية، ويكون السائل فيها أقل حركة. 6.8 ft 4.2 ft (مثال (3) (x+5)2 (y-3)2 + = 1 (10 72 54 (x+6)2 (y-2)2 + 40 = 1 (11 12 (x-8)2 (y+3)2 + = 1 (12 14 57 (x+8)2 (y-7)² + 27 33 = 1 (13 14) سباق: يوضح الشكل المجاور مضمار سباق على شکل قطع ناقص اختلافه المركزي 0.75 . (مثال (4) 1000 ft a ما أقصى عرض 20 لمضمار السباق ؟ اكتب معادلة القطع الناقص إذا كانت نقطة الأصل هي مركز المضمار. اكتب معادلة الدائرة التي تحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي، ثم مثل منحناها بيانيا. (مثال (5) 15) المركز (30) ، و نصف القطر 2 16) المركز (43) ، والقطر 12 . (17) المركز هو نقطة الأصل، ونصف القطر 7 . ) ارسم المقطع العرضي لخزان الشاحنة أعلاه على مستوى إحداثي. ) اكتب معادلة تمثل شكل المقطع العرضي للخزان. ) أوجد الاختلاف المركزي للقطع الناقص الذي يمثل المقطع العرضي للخزان. اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: 28) الرأسان (100) (100) والاختلاف المركزي (29) الرأسان المرافقان (61) ,(01) ، والاختلاف المركزي . (30) المركز (24) وإحدى البؤرتين 25 + 4 (2) √5 والاختلاف المركزي . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 4 القطوع المخروطية 60

(31) الوتر البؤري للقطع الناقص هو قطعة مستقيمة تمر بإحدى البؤرتين، وتعامد المحور الأكبر، ويقع طرفاها على منحنى القطع. ويساوي 262 طولها 4 وحدة، حيث a نصف طول المحور الأكبر، ط نصف طول المحور الأصغر. الوتر البؤري المحور الأكبر اكتب معادلة قطع ناقص أفقي مركزه (32) ، وطول محوره الأكبر 16 وحدة، وطول وتره البؤري 12 وحدة. (32) هندسة: تتقاطع المستقيمات 27 = x - y = 3, 2x + 3y = 7,4x - 7y لتشكل مثلثا . اكتب معادلة الدائرة التي تمر برؤوس المثلث. (41) مسألة مفتوحة إذا كانت معادلة دائرة هي 2 = 2 - y + 2 ( حيث , ، فأوجد مجال الدائرة مدعما إجابتك بمثال جبري، وآخر بياني (42) اكتب اشرح لماذا يقترب شكل القطع الناقص من شكل الدائرة عندما تقترب قيمة a من قيمة b . مراجعة تراكمية حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي: ( الدرس 1-4 ) y = -2x2 + 5 x - 10 (44 y = 3x2 - 24 x + 50 (43) x = 5y2 - 10y + 9 (45) اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي تمر بالنقاط المعطاة في كل حُلَّ كل معادلة مما يأتي لقيم 0 جميعها، حيث 7 2 ≥ 0 ≥ 0 . مما يأتي: الدرس (35) sin 0 = cos 0 46 sin 0 = 1 + cos 0 47 (1,-11), (-3,-7), (5,-7) (34 (2, 3), (8, 3), (5,6) (33 (7,4), (-1, 12), (-9,4) (36 (0,9), (0,3), (-3,6) (35 2 sin2 x + 3 sin x + 1 = 0 48 مسائل مهارات التفكير العليا (37) اكتشف الخطأ مثل خالد وياسر بيانيا القطع الناقص الذي مركزه (13)، وطول محوره الأكبر 8 وحدات، وطول محوره الأصغر 4 وحدات، كما في الشكلين أدناه. هل إجابة أي منهما صحيحة ؟ خالد +y (-1,3)1 y/ ياسر أوجد الدالة العكسية -1- - إن أمكن لكل دالة مما يأتي، ثم حدد مجالها. (مهارة سابقة) f(x) = x+3 *+ (49 f(x)=√√5 x (50 f(x) = V x2 - 9 (51) -1,3) (52) مثل الدالة 3 + - = (x) بيانيا، وحدد مداها. (مهارة سابقة) تدريب على اختبار 38 تبرير: حدد ما إذا كان للقطعين الناقصين y² + = 1 P x2 x2 / 1 / 11 = + ، حيث 0 < ، البؤرة p+r نفسها. وضح إجابتك. P+r 53) تبعد النقطة K مسافة 10 وحدات عن مركز دائرة M ، نصف قطرها 6 وحدات. فإذا رسم مماس من إلى الدائرة ، فما المسافة من X إلى نقطة التماس؟ 6 A x2 + y2 02 62 تحد : تتعطى المساحة داخل القطع الناقص الذي معادلته 1 = : بالصيغة A = Tab . اكتب معادلة القطع الناقص المعطى خصائصه في كل مما يأتي: A = Tab b+a a b 12, A = 35π (39 5, A = 24π (40 2340 10 C 8B أفقي. (54) يريد حسام أن يصنع لعبة لوحة السهام على شكل قطع ناقص أ أبعاد اللوحة 27 بوصة و 15 بوصة أي المعادلات الآتية يجب أن يستعملها لرسم اللعبة؟ 12 56.25 = 1 C x2 182.25 13.5 +=1 = 1 A 7.5 0 y 7.5زارة التعليم + = 1 D y2 -b x2 13.5 + =1 B 182.25 56.25 الدرس 2-4 القطوع الناقصة والدوائر 61 2024-1446

الفصل اختبار منتصف الفصل 4 الدرسان 2-1-14 اكتب معادلة كل من القطعين المكافئين المعطاة بعض خصائصهما فيما اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي، ثم مثل منحنييهما بيانيا : ( الدرس 1-4) (1) البؤرة (15) الرأس (13) (2) البؤرة (7-5)، الرأس (17) (3) اختيار من متعدد أي القطوع المكافئة الممثلة بيانيًا أدناه فيه بعد البؤرة عن الرأس هو الأكبر ؟ (الدرس 1-4) A (3,0) 3x YA 10 3- C Loty 4 4 0 -8 يأتي: (الدرس 2-4 ) (7,-3), (-1,-3) (9,-3), (-3,-3) J (7 (8) البؤرتان (7) (31) ، وطول المحور الأصغر 8 وحدات. (9) الرأسان (13 (1) (11) ، والرأسان المرافقان .(-2, -7), (4,-7) (10) الرأسان (89) (85) ، وطول المحور الأصغر 6 وحدات. 11) سباحة بركة سباحة على شكل قطع ناقص طوله 30m واختلافه المركزي 0.68 (الدرس (2-4) (4) -81 -8- D B y 1/ 0 12 -5,4)- -4 -8-18- ما أكبر عرض للبركة ؟ ) اكتب معادلة القطع الناقص، إذا كانت نقطة الأصل هي مركز البركة. (4) تصميم اكتب معادلة قطع مكافئ تمثل شكل سلك تثبيت الجسر الموضح في الشكل أدناه افترض أن نقطة الأصل تقع عند أدنى (12) اختيار من متعدد: أي مما يأتي يمثل القيمة الأقرب لطول المحور الأكبر في القطع الناقص الممثل بيانيا أدناه ؟ (الدرس 2-4 ) نقطة على السلك الدرس (1-4) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 10 x A 17 وحدة C 6 وحدات B 9 وحدات 3D وحدات 500 m 200 m مثل منحنى القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي بيانيا : (الدرس (2-4) (x+4)2 (y + 2)² + = 1 (5 81 16 (x-3)2 (y-6)² + = 1 (6 4 36 الفصل 4 القطوع المخروطية 62