إثبات صحة المتطابقات المثلثية - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

3-2 إثبات صحة المتطابقات المثلثية رابط الدرس الرقمي Verifying Trigonometric Identities فيما سبق: درست كيفية استعمال المتطابقات لإيجاد قيم لماذا؟ عندما ركض عبدالله في مسار دائري نصف قطره R، لاحظ أن جسمه لا يكون العبارات المثلثية وتبسيطها. عموديا على الأرض، بل يميل عن الخط العمودي بزاوية حادة غير سالبة هي 0 ( الدرس 1 - 3) والان أثبت صحة المتطابقة المثلثية بتحويل أحد طرفيها إلى الآخر. أثبت صحة المتطابقة المثلثية بتحويل كلا طرفيها إلى العبارة نفسها. 02 gR تسمى زاوية الميل، ويمكن وصفها بالمعادلة : - = 6 tan ، حيث و تسارع الجاذبية الأرضية، و 7 سرعة العداء. كما توجد معادلات أخرى يمكن أن تصف زاوية الميل بدلالة دوال مثلثية 02 أخرى، كالمعادلة: 0 sin 0 = cos ، حيث °90 > 0 > °0 . هل تختلف هاتان المعادلتان كليًّا عن بعضهما بعضًا، أم أنهما صيغتان للعلاقة نفسها؟ إرشادات للدراسة . إثبات صحة متطابقة توجد حلول أخرى لإثبات أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن في المثال رقم (1). www.ien.edu.sa تحويل أحد طرفي المتطابقة : يمكن استعمال المتطابقات المثلثية الأساسية بالإضافة إلى تعريف الدوال المثلثية لإثبات صحة المتطابقات. وجدير بالذكر أن إثبات صحة المتطابقة المثلثية، يعني إثبات صحتها لقيم 6 جميعها. مفهوم أساسي إثبات صحة متطابقة من خلال تحويل أحد طرفيها بسط أحد طرفي المتطابقة حتى يصبح الطرفان متساويين. وفي العادة يكون من الأسهل البدء بالطرف الأكثر تعقيدا. مثال 1 إثبات صحة المتطابقة من خلال تحويل أحد طرفيها أثبت صحة المتطابقة 0 cos + 1 = sin20 1 - cos 0 الطرف الأيسر اضرب كلا من البسط والمقام في 6 cos + 1 sin2 1 - cos 0 sin 20 1 + cos 0 = 1 cos 1 + cos 0 (1+ cos 0) (1 cos 0) = 1- cos² 0 sin20(1 + cos (6) = 1- cos² 0 sin2 0 = 1 - cos 20 sin2 0 (1 + cos (0) = sin20 اقسم كلا من البسط والمقام على sin20 الطرف الأيمن = = 1 + cos 0 تحقق من فهمك . cot 2 0 - cos2 0 = cot 2 0 cos 2 0 1 وزارة التعليم الدرس 2- إثبات صحة المتطابقات المثلثية 15 2024-1446

عند حل أسئلة الاختيار من متعدد في المتطابقات لا بد من تحويل العبارة المعطاة حتى تطابق أحد البدائل. مثال 2 على اختبار أي مما يأتي يكافئ العبارة . 0 cos 0 csc ؟ tan 0 cot² C csc² D cot A CSC 0 B إرشادات للاختبار التأكد من الإجابات كي تتحقق من صحة حلك اختر قيمة لـ 0 . وعوض بها في البديل المختار، ثم قارنها بإجابتك عند تعويض قيمة 6 في العبارة الأصلية اقرأ فقرة الاختبار المطلوب إيجاد عبارة مكافئة للعبارة الأصلية. لاحظ أن جميع البدائل المعطاة تتضمن إما 0 cot أو 0 csc. لذا اعمل على أن تستبدل بالدوال دوال مثلثية أخرى. حل فقرة الاختبار حول العبارة المعطاة حتى تطابق إحدى البدائل csc 0 = 1 sin 0 . tan 0 = sin 0 cos 0 cos cos csc tan sin sin 0 cos cos e sin 9 sin cos اضرب وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 اقلب المقام واضربه بالبسط cos cos sin 6 sin cot 0 = Cos 0 sin 0 = cot 0⚫cot 0 اضرب = cot 20 الجواب هو C. تحقق من فهمك (2) أي مما يأتي يكافئ العبارة (tan 2 0 (cot2 0 - cos20 ؟ Cos² C sin² D cot² A tan² 0 B الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 16 16

تحويل طرفي المتطابقة : في بعض الأحيان يكون من الأسهل أن تُحوّل كل طرف في المتطابقة بصورة منفصلة إلى صورة مشتركة. والاقتراحات الآتية ربما تكون مفيدة في إثبات صحة المتطابقات المثلثية: اقتراحات لإثبات صحة المتطابقات مفهوم أساسي • بسط العبارة بالإفادة من المتطابقات المثلثية الأساسية. حلل أو اضرب كلا من البسط والمقام بالعبارة المثلثية نفسها. • اكتب كل طرف بدلالة كل من الجيب ، وجيب التمام فقط. ثم بسط كل طرف قدر المستطاع. • لا تنفذ أي عملية (جمع، طرح، ضرب قسمة على طرفي المعادلة التي يطلب إثبات أنها متطابقة؛ لأن خصائص المساواة لا تنطبق على المتطابقات كما تنطبق على المعادلات. tan2 0 + 1 tan 20 مثال 3 إثبات صحة المتطابقات من خلال تحويل كلا طرفيها أثبت صحة المتطابقة 0 cos 0 cot 0 = csc - sin نبسط الطرف الأيسر cot 0 = Cos sin cos cot = cos . cos sin 0 اضرب = cos 20 sin csc 0= 1 sin @ csc 6 - sin 0 = sin sin 0 اطرح sin2 0 + cos 2 0 = 1 1-sin20 sin = cos² 0 sin 0 نبسط الطرف الأيمن بما أن الطرفين يساويان المقدار نفسه، فالطرفان متساويان. تحقق من فهمك .csc2 0 - cot 2 0 = cot 0 tan 03 cos 6 = sin 9 cot 9 (8 (sin 6 - 1)(tan 6 + sec 6) = - cos 6 (9 cos cos (-0) - sin 0 sin (-0) = 1 (10 11 اختيار من متعدد أي عبارة مما يأتي تكافئ العبارة (مثال (2) cos² C sin² A csc² D tan² B وزارة التعليم الدرس 2- إثبات صحة المتطابقات المثلثية 17 2024-1446 تنبيه تبسيط الطرفين تشبه عملية إثبات صحة المتطابقة، عملية التحقق من حل المعادلة. ومن هنا يمكنك استعمال عملية التحقق في تبسيط أحد الطرفين أو كليهما للحصول على العبارة ذاتها. تدرب وحل المسائل أثبت صحة كلّ من المتطابقات الآتية: (مثال (1) cos2 0 + tan2 0 cos2 0 = 1 (1 cot 0 (cot 0 + tan 0) = csc2 0 (2) 1 + sec2 0 sin2 0 = sec 26 (3 1 - cos sin 0 sec 9 cot 6 = 1 (4 1 + cos 0 = (csc cot 0) 2 (5 1-2 cos² 0 sin cos 0 = tan 6 - cot (6 sec 0 tan 6 = (7 CSC 0

أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال 3) بسط كلا من العبارات الآتية، لتحصل على الناتج 1 أو 1 : cot (-) tan(-) (26 sin csc (-0) (27 sin² (0) + cos² (-0) (28 sec (-) cos (-8) (29 sec² (-9)-tan2 (-8) (30 cot (-9) cot (π_2-0) (31 cos (-0) sec (32 sin (-) csc 0 (33 بسط كلًا مما يأتي إلى قيمة عددية، أو إلى دالة مثلثية أساسية: (7-0)CSC 0 tan (34 CSC² A 1 + tan 0 (35 1 + cot 9 sec2 0 - tan20 (36 cos x + sin x tan cos 6 (37) sec 9 - tan 6 = 1 + tan 0 sin 0 + cos 1 - sin 0 cos (12) . = sec 6 (13 sec 6 csc 6 = tan 6 + cot 6 (14 (sin 0 + cos 62 sin 0 + cos 0 = 2 sin2 0 - 1 sin 0 - cos o (15 2 + sec 6 csc 0 == (16 sec csc 0 1 + sin 0 = (17 1 - sin 0 cos csc 0 - 1 = cot2 0 csc 0 + 1 (18 cos csc2 0 - cot2 0 = sec2 0 - tan20 (19 sin 6 cos 6 tan 0 + cos2 0 = 1 (20 sec 6 -cos 0 = tan 6 sin 6 (21) csc 2 0 = cot2 0 + sin 0 csc 6 (22) sec 6 - csc 0 = sin 0 - cos 0 23 CSC 0 sec (24) ألعاب: يُبيّن الشكل المجاور إحدى الألعاب. فعندما تدور الكرة حول العمود بسرعة زاوية له (الإزاحة الزاوية مقسومة على الزمن المستغرق)، فإنها تكوّن مع الحبل الذي طرفاه ps، والزاوية المحصورة شكلًا مخروطيًّا. إذا علمت أن العلاقة بين طول الحبل L والزاوية المحصورة بين الحبل والعمود 6 تُعطى g sec 0 2 = L ، حيث و تسارع بالصيغة . cot 0 tan 6 (38) sec 0 sin (0) (39 0 الجاذبية الأرضية ويساوي ،9.8m/s2 ، فهل الصيغة : هي أيضًا تُمثل العلاقة بين ؟ وضح إجابتك. (sec2 0 + csc 2 0 - (tan20 + cot 2 0) (40 41) فيزياء عند إطلاق الألعاب النارية من سطح الأرض، فإن ارتفاع الألعاب لا والإزاحة الأفقية x ترتبطان بالعلاقة: -gr² 2002 cos 20 x sin 0 cos L = 9 tan 0 w² sin e 25 جري: مضمار سباق نصف قطره 16.7m. إذا ركض أحد العدائين في هذا المضمار، وكان جيب زاوية ميله 0 يساوي ، فأوجد سرعة العدّاء. إرشاد: أوجد 0 cos أو لا، ثم استعمل صيغة زاوية الميل الواردة في فقرة "لماذا؟" = y ، حيث 20 هي السرعة الابتدائية للمقذوفات، 6 زاوية الإطلاق، وتسارع الجاذبية الأرضية . أعد كتابة هذه العلاقة بحيث لا تظهر فيها نسب مثلثية سوى 6 tan. 18 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

(42) إلكترونيات عند مرور تيار متردّد من خلال مقاومة R ، فإن القدرة P بعد t من الثواني تُعطى بالصيغة : P = IR sin2 27ft ، حيث f التردد ، I أعلى قيمة للتيار. a اكتب صيغة للقدرة بدلالة cos22 ft . اكتب صيغة للقدرة بدلالة csc2 27 ft . (43) تمثيلات متعددة في هذه المسألة، ستكتشف طريقة حل معادلة مثل sin x 12 . جبريًا : أعد كتابة المعادلة السابقة بحيث تكون sinx فقط في أحد الطرفين. بيانيا ، مستعملا الحاسبة البيانية، مثل كلًا من طرفي المعادلة مراجعة تراكمية أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 1-3 ) 50 0 sin ، إذا كان 3 = 0 cos ، 90° > 0 > 0° 51) 6 cos ، إذا كان 3 - 270° < 0 < 360 ، sec 6 = (52) هندسة معمارية : يمثل الشكل أدناه سقف منزل مغطى بالقرميد. أوجد .. (مهارة سابقة ) 18 ft 18 ft 19 ft ה التي أوجدتها في الفرع (a) بيانيا كدالة في المجال 27 > x = 0 بسط العبارتين الآتيتين. الدرس (31) وفي المستوى الإحداثي نفسه، ثم حدد جميع نقاط التقاطع بينهما، وأوجد قيم x بالراديان. بيانيا : مستعملا الحاسبة البيانية، مثل كلا من طرفي sin 0 - cost sin20 - cos 2 0 (54 sin cos (1+ cot² ) (53 المعادلة التي أوجدتها في الفرع (a) بيانيا، كدالة في المجال تدريب على اختبار 27 > x > 27 وفي المستوى الإحداثي نفسه، ثم حدد جميع نقاط التقاطع بينهما ، وأوجد قيم x بالراديان. لفظيا : خمّن الصيغة العامة لحلول المعادلة. وضح إجابتك. (55) اختيار من متعدد : أي مما يأتي لا يكافئ 0 cos ، حيث > 0 > 0؟ cot sin C cos A cos 20+sin20 tan 0 csc 0 D 1-sin20 cose B (56 سؤال ذو إجابة قصيرة أثبت أن المعادلة التالية تمثل متطابقة: sin3 0 cos 0 + cos3 0 sin 0 = sin 0 cos مسائل مهارات التفكير العليا (44) اكتشف المختلف: حدّد المعادلة المختلفة عن المعادلات الثلاث الأخرى. وضح إجابتك. 1 + cot2 0 = csc 20 tan20 + 1 = sec 20 sin2 0 + cos2 0 = 1 sin2 0 - cos2 0 = 2 sin 2 0 (45) تبرير بين لماذا تُعدّ 1 = sin2 0 + cos20 متطابقة، ولكن 0 sin 0 = 1 - cos ليست متطابقة. (46) اكتب سؤالا يجد زميلك صعوبة في برهنة متطابقة مثلثية تتضمن قوى دوال مثلثية. اكتب سؤالا قد يساعده في ذلك. (47) تبرير اكتب موضحًا لماذا يفضل إعادة كتابة المتطابقات المثلثية بدلالة الجيب (0) sin) وجيب التمام (0) cos) في معظم الأحيان. (48) تحد : إذا علمت أن a B زاويتان متتامتان فبرهن أن .cos2 a + cos 2 3 = 1 (49) تبرير برهن صحة متطابقتي فيثاغورس الثانية والثالثة. وزارة التعليم الدرس 2-3 إثبات صحة المتطابقات المثلثية 19 2024-1446