المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

Double-Angle and Half-Angle Identities 3-4 فيما سبق: المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها لماذا؟ درست إيجاد قيم الجيب وجيب تستعمل النوافير مضخات تضخ الماء بزوايا محددة فتصنع أقواسًا. ويعتمد التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين مسار الماء على سرعة الضخ وزاويته. فعندما يتم ضخ الماء في الهواء بسرعة 7 ، والفرق بينهما. (الدرس 3 - 3) وزاوية مع الخط الأفقي مقدارها ، فإن المعادلتين الآتيتين تحددان المسافة الأفقية D ، وأقصى ارتفاع H : والآن أجد قيم الجيب، وجيب 02 sin 20, H = a sin2 0 g 02 2g = D، حيث تمثل و تسارع الجاذبية الأرضية. التمام باستعمال المتطابقات إذا علمت أن نسبة H إلى D تساعد في تحديد ارتفاع النافورة، وعرضها. فعبر المثلثية لضعف الزاوية. . أجد قيم الجيب وجيب عن التمام باستعمال المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية إرشادات للدراسة اشتقاق الصيغ يمكنك استعمال متطابقة (sin A + B في إيجاد جيب ضعف الزاوية 0، أو 20 sin كما يمكنك استعمال متطابقة (cos (AB في إيجاد جيب تمام ضعف الزاوية 0 أو 20 cos. النسبة كدالة في ). رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية من المفيد أحيانًا أن يكون لديك متطابقات تساعدك على إيجاد قيمة دالة مثلثية لضعف الزاوية. مفهوم أساسي المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية المتطابقات الآتية صحيحة لقيم 0 جميعها : cos 20 cos² - sin² 0 sin 26 = 2 sin cos cos 2 = 2 cos20 - 1 tan 20 = cos 20 1-2 sin² 0 2 tan 0 1 - tan20 مثال 1 ستبرهن هذه الصيغ في السؤال 30 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية أوجد القيمة الدقيقة لـ 20 sin إذا كان - . 0° < 0 < 90° sin 0 = حيث إن 60 sin 2 0 =2sin cos، فإننا نجد 0 cos أولًا. الخطوة 1: استعمل المتطابقة 1 = sin2 0 + cos20؛ لإيجاد 6 cos. cos2 0 = 1 - sin2 0 cos2 0 = 1 - Cos² = 5 √5 cos 0 = + cos2 0 + sin2 0 = 1 عوض 3 = 2 sin 0 = ربع ثم اطرح خذ الجذر التربيعي للطرفين وبما أن 6 تقع في الربع الأول، فإن 0 cos موجب أي √5 .cos 0 = الخطوة 2 : أوجد 26 sin متطابقة ضعف الزاوية sin 20 = 2 sin 0 cos 0 √5 sin 0 = cos 0= =2()() 4√5 اضرب تحقق من فهمك 9 1) أوجد القيمة الدقيقة لـ 20 sin، إذا كان - .90° << 180°.cos = وزارة التعليم الدرس 4-3 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها 25 2024-1446

مثال 2 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي علمًا بأن 900 > 0 > °0 ; = 0 sin : cos 20 (a بما أن قيمة كل من 0 cos sin معلومة من المثال ،1 فإننا نستطيع أن نستعمل متطابقات جيب تمام ضعف الزاوية. وسوف نستعمل المتطابقة 0 cos20 = 1 - 2 sin2 . متطابقة ضعف الزاوية sin 0 = 1 تعريف دالة الظل √5 sin 0 = 3, cos 0 = بالقسمة وإنطاق المقام cos 20 = 1 - 2 sin2 0 = 1- 1 - 2 (3/3)² = 1/1/1 tan 20 (b الخطوة 1 : أوجد 0 tan ؛ كي تستعمل متطابقة 20 tan . tan 9 = sin 0 cos 0 √5 2√5 =*=2/5 الخطوة 2 أوجد 20 tan . متطابقة ضعف الزاوية tan 20 = 2 tan 0 1 - tan20 2√√5 2(2/5) tan 0 = = 1 : cos 0 = ربع المقام بسط d 4√√5 4√5.5= 4√5 تحقق من فهمك أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي علمًا بأن 180 > 0 > °90 : 1 - : tan 20 (2B cos 20 (2A إرشادات للدراسة اشتقاق الصيغ يمكن استعمال المتطابقة cos20 1-2 sin² 0 في إيجاد جيب نصف الزاوية أو - sin ، كما يمكن ラ cos20 2 cos2 0-1 استعمال المتطابقة المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية : من المفيد في بعض الأحيان أن يكون لديك متطابقة ؛ لإيجاد قيمة دالة مثلثية لنصف الزاوية. مفهوم أساسي المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية المتطابقات الآتية صحيحة لقيم 0 جميعها : sin. 1- cos 0 cos 2 = + 2 1+ cos 0 2 cos 0-1 tan 2 = 1 1 1 + cos 0 cos 0 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 ستبرهن هذه الصيغ في السؤال 31 في إيجاد جيب تمام نصف الزاوية 6 أو 7 cos . الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 26

مثال 3 المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية a) أوجد القيمة الدقيقة لـ ؟ cos ، علما بأن . = 0 sin ، تقع في الربع الثالث. استعمل متطابقة فيثاغورس sin 0 = -- اطرح خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين √5 .coS 5 متطابقة نصف الزاوية cos 0= بسط cos = cos2 0 = 1 - sin 20 cos2 0 = 1 - cos² = 1-16 co2 0 = cos = 9 بما أن 6 تقع في الربع الثالث ، في د، فإن : cos 2 = 1 1+ cos 0 2 =+ 2 √5 √5 √5 √5 5 بإنطاق المقام بما أن 6 تقع بين 180 و °270 ، فإن تقع بين °90 و °135 . إذن، . 2 دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لـ °67.5 cos Ө = = = cos 67.5° في الربع الأول، فالقيمة موجبة وزارة التعليم 135° 67.5°= cos 67.5° cos 135° 2 1+ cos 0 1 + cos 135° 2 cos 135 = - 1- √2 2 √2 1 = 1/2 2 2-2 اطرح d b C اضرب = √a √б بسط 12-12 = . = V2-V2 √4 √2-√2 2 تحقق من فهمك 3) أوجد القيمة الدقيقة لـ 2 sin ، علما بأن م = 0 sin ، 0 تقع في الربع الثاني. الدرس 4-3 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها 27 2024-1446 إرشادات للدراسة اختيار الإشارة أول خطوة في الحل هي تحديد الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية .. وعندها تستطيع أن تحدد الإشارة.

مثال 3 المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية a) أوجد القيمة الدقيقة لـ ؟ cos ، علما بأن . = 0 sin ، تقع في الربع الثالث. استعمل متطابقة فيثاغورس sin 0 = -- اطرح خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين √5 .coS 5 متطابقة نصف الزاوية cos 0= بسط cos = cos2 0 = 1 - sin 20 cos2 0 = 1 - cos² = 1-16 co2 0 = cos = 9 بما أن 6 تقع في الربع الثالث ، في د، فإن : cos 2 = 1 1+ cos 0 2 =+ 2 √5 √5 √5 √5 5 بإنطاق المقام بما أن 6 تقع بين 180 و °270 ، فإن تقع بين °90 و °135 . إذن، . 2 دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لـ °67.5 cos Ө = = = cos 67.5° في الربع الأول، فالقيمة موجبة وزارة التعليم 135° 67.5°= cos 67.5° cos 135° 2 1+ cos 0 1 + cos 135° 2 cos 135 = - 1- √2 2 √2 1 = 1/2 2 2-2 اطرح d b C اضرب = √a √б بسط 12-12 = . = V2-V2 √4 √2-√2 2 تحقق من فهمك 3) أوجد القيمة الدقيقة لـ 2 sin ، علما بأن م = 0 sin ، 0 تقع في الربع الثاني. الدرس 4-3 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها 27 2024-1446 إرشادات للدراسة اختيار الإشارة أول خطوة في الحل هي تحديد الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية .. وعندها تستطيع أن تحدد الإشارة.

تدرب وحل المسائل دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل من sin 2, cos 2, sin , cos ، إذا كان الأمثلة 3-1) 18 عدد ماخ ترتبط زاوية رأس المخروط الذي تشكله الأمواج الصوتية الناتجة عن اختراق الطائرة لحاجز الصوت بعدد ماخ M (نسبة إلى عالم الفيزياء النمساوي ماخ) وفق العلاقة ا = 2 sin . sin 0 = 1 ; 0° < 0 < 90° (1 sin 0 = 4 ; 90° <<180° (2 cos 6 = 3 ; 270° < 0 < 360° (3 tan 0 = 8 - 90° < 0 < 180° (4 sin 0 = sin 0 = - ; 90° << 180° (5) 15 0<37 (6 T<< tan 0 = - 2; < 0 < (7 أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: sin (8 cos 15° (9) sin 75° (10 tan 165° (11 عبر عن قيمة العدد M بدلالة دالة جيب التمام. إذا كان 17 = 0 cos ، فاستعمل العبارة التي أوجدتها في a لحساب قيمة عدد ماخ. 19) إلكترونيات: يمر تيار متردد في دائرة كهربائية. إذا كانت شدة التيار الكهربائي 1 بالأمبير عند الزمن ثانية هي To sin t60 ، فإن القدرة P المرتبطة بالمقاومة R تُعطى بالصيغة : P = I R sin20 . عبر عن القدرة بدلالة 20 cos . 20 كرة قدم ركل حسن كرة قدم عدة مرات بسرعة متجهة ابتدائية مقدارها 95ft/s . برهن أن المسافة الأفقية التي قطعتها الكرة متساوية لكل من الزاويتين 4 - 45 = A + 45° = 0 . استعمل الصيغة المعطاة في التمرين 13 . أوجد القيم الدقيقة لكل من 20 sin 20, cos 120, tan ، إذا كان: tan 5/17 (12 12 13 كرة قدم ركل لاعب كرة قدم كرة بزاوية قياسها 37 مع سطح الأرض، وبسرعة ابتدائية متجهة مقدارها 52ft/s. إذا كانت المسافة الأفقية d التي تقطعها d = 22 sin 6 cos . حيث و تسارع g الكرة تُعطى بالصيغة . الجاذبية الأرضية ويساوي 32ft/s2 ، وَ تُمثل السرعة الابتدائية المتجهة . (مثال (4) cos 0 = =0° < 0 < 90° (21 sin 0 = 3; 0 < 0 < } (22) tan 0 = 3; 90° < 0 < 180° (23) - 1 : 90° < 4 < 180° (24 sec 6 = - cot 8 = ; 180° < 4 < 270° (25 (26) تمثيلات متعددة ستستكشف في هذه المسألة كيفية إيجاد متطابقة مثلثية اعتمادًا على التمثيل البياني للدوال المثلثية. a بيانيا : استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة بسط الصيغة مستعملا المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية. ( f(0) = 4 (sin 0 cos 1 - cos 0 sin بيانيا في الفترة ما المسافة الأفقية d التي تقطعها الكرة باستعمال الصيغة المسطة؟ أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية : ( مثال (5) tan 0 = 1 - cos 20 sin 20 (14 sin tan = (15 2 1 + cos 0 2 tan 20 = (16 cot 6 - tan 0 sin sin COS (17 2 -2π≤0≤2π تحليليا : اعتمد على التمثيل البياني في (a) لتخمين دالة بدلالة الجيب تطابق (0). ثم أثبت صحتها جبريًا. بيانيا : استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة - cos2 (8 - 3) - sin20 = (6) بيانيا في الفترة -27 021 d تحليليا : اعتمد على التمثيل البياني في (٢) لتخمين دالة بدلالة جيب التمام تطابق (0) . ثم أثبت صحتها جبريًا. وزارة التعليم الدرس 4-3 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها عام 29 2024-1446

مراجعة تراكمية مسائل مهارات التفكير العليا (27) اكتشف الخطأ يحاول سعيد وسلمان حساب القيمة الدقيقة لـ : 15° sin . هل إجابة أي منهما صحيحة ؟ برر إجابتك. سعيد أثبت صحة كلّ من المتطابقات الآتية: (الدرس 2-3 ) .cos 0 = ;0 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 cot 6 + sec 9 = cos2 0 + sin 0 (33 sin cos 0 sin (A B) sin A cos B-cos A sin B sin2 0 + tan2 0 = (1 - cos20) + sec 20 csc² 0 sin (45-30)=sin 45 cos 30 - cos 45 sin 30 (34 (sin cos 0)² = 1 - 2 sin cos 0 (35 أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس (3-3) sin 135° (36 √2 √3 √2 1 22 √4 쓸이를 سلمان cos 105° (37 sin 2 = 1-cos A 2 sin 285° (38 cos 210° (39 sin 30 = 0.5 sin (-240°) (40 cos (-120°) (41 .cos 78° cos 18° + sin 78° sin 18° (42 تدريب على اختبار 43) أوجد القيمة الدقيقة لـ 2 tan إذا كان 900 > 0 > 0 √3 C 3 √3 D 7- 43 √3-2 B (28) تحد؛ استعمل دائرة الوحدة أدناه، والشكل المرسوم داخلها. B لتبرهن أن: . tan 글= sin 1+ cos 0 AL P D (29) اكتب اكتب فقرة مختصرة تبين الشروط اللازم توافرها؛ كي تستعمل كلا من المتطابقات الثلاث لـ 20 cos . (30) برهان: استعمل الصيغة sin A + B لاشتقاق صيغة لـ 20 sin ، واستعمل الصيغة ) + ( cos لاشتقاق صيغة لـ 20 cos . 31 تبرير اشتق المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية من المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية. (32) مسألة مفتوحة ضرب لاعب جولف كرة عدة مرات بسرعة ابتدائية مقدارها 115 ، ولنفترض أن المسافة d التي قطعتها (44) معادلة الدالة الممثلة بيانيا في الشكل أدناه هي : AẤ y= 3 cos $ 10 C y=3 cos 20 A y =COS D y= y = 3 cos 20 B = d . فسر لماذا 202 sin 0 cos 0. g الكرة في كل مرة تُعطى بالصيغة . تكون المسافة العظمى عندما °45 = 0 . (g = 32 ft/s2) الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 30