التبرير الاستقرائي والتخمين - الرياضيات 1-1 - أول ثانوي

1-1 التبرير الاستقرائي والتخمين Inductive Reasoning and Conjecture رابط الدرس www.ien.edu.sa فيما سبق درست استعمال البيانات لماذا؟ أبحاث التسويق، يتم تحليل إجابات مجموعة من الأشخاص عن أسئلة أين سمعت عن منتجنا ؟ لإيجاد أنماط والتوصل إلى محددة حول المنتج، ثم يتم البحث عن نمطية معينة في الإجابات حتى الوصول إلى نتيجة. وتسمى هذه العملية التبرير الاستقرائي. توقعات. (مهارة سابقة ) والآن : أكتب تخمينات مبنية التخمين: التبرير الاستقرائي هو تبرير تُستعمل فيه أمثلة محددة للوصول إلى نتيجة . وعندما تفترض استمرار نمط على نفس الوتيرة، فإنك تستعمل على التبرير الاستقرائي التبرير الاستقرائي، وتُسمّى العبارة النهائية التي توصلت إليها باستعمال التبرير الاستقرائي تخمينا أجد أمثلة مضادة. المفردات: التبرير الاستقرائي مثال 1 الأنماط والتخمين كيف تقيم تجربتك مع المنتج؟ تنوع النكهات جودة الطعم شكل العلبة توافر المنتج السعر مقابل الجودة التجربة بشكل عام هل توصي صديقك بشراء المنتج؟ لماذا ؟ ملاحظات ملاحظاتكم تهمنا OOOOOO 1 2 3 4 5 ப ☐ OOOO MOOOOOO NOOOOOO HOOOOOO inductive reasoning التخمين conjecture المثال المضاد counterexample اكتب تخمينا يصف النمط في كلُّ من المتتابعات الآتية، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي في كلّ منها. a مواعيد وصول الحافلات إلى محطة الركوب هي : 8:30 صباحًا، 9:10 صباحًا، 9:50 صباحًا، 10:30 صباحًا، الخطوة 1: ابحث عن نمط. 8:30 صباحًا، 9:10 صباحًا ، 9:50 صباحًا، 10:30 صباحًا مراجعة المفردات المتتابعة هي مجموعة من الأعداد أو الأشياء المنظمة بترتيب معين. (b 40 دقيقة 40 دقيقة 40 دقيقة الخطوة 2 : ضع تخمينا يزيد موعد وصول الحافلة 40 دقيقة عن موعد وصول الحافلة التي سبقتها. الخطوة 3: جد الحدّ التالي: موعد وصول الحافلة التالية سوف يكون 10:30 صباحًا + 40 دقيقة = 11:10 صباحًا. الحد التالي هو : 11:10 صباحًا. 40 40 الخطوة 1 : ابحث عن نمط 4 10 18 28 4 10 18 28 40 +6 +8 +10 +12 تزداد أعداد القطع المستقيمة بمقدار ...... ,12 ,10 ,8 ,6 تاريخ الرياضيات 12 أبو علي الحسن بن الهيثم → 354-430 عالم موسوعي من أعظم علماء الرياضيات والفيزياء، اعتمد في بحوثه على منهجين هما: الاستقراء، والاستنباط وفي الحالتين كان يعتمد على التجربة والملاحظة. الفصل 1 التبرير والبرهان الخطوة 2 ضع تخمينا يزيد عدد القطع المستقيمة في كل شكل عن الشكل الذي يسبقه بمقدار الزيادة : السابقة مضافًا لها 2. الخطوة 3 جد الحدّ التالي : يزيد عدد القطع المستقيمة في الشكل التالي على سابقه بمقدار 12 + 2 أي 14 قطعة مستقيمة. الحد التالي هو شكل يحتوي على 54 قطعة مستقيمة، وهو: تحقق : ارسم الشكل التالي؛ لكي تتحقق من صحة تخمينك. ✓ 54 ممتاز وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة تحقق من فهمك اختبر جميع العمليات اكتب تخمينا يصف النمط في كلُّ من المتتابعات الآتية، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي في كلّ منها. الحسابية الأساسية بما فيها الجذور والقوى عند البحث عن قاعدة تحدد النمط، وقد تتضمن القاعدة، استعمال عمليتين حسابيتين. IA متتابعة أشهر صفر ، رجب، ذو الحجة، جمادى الأولى، 10, 4, -2, -8, ...... (1B (1C 9 1 3 إرشادات للدراسة الأمثلة المؤيدة والبراهين الأمثلة المؤيدة للتخمين ليست كافية لإثبات صحته، ولإثبات صحة تخمين جبري أو هندسي يجب تقديم مبررات صحيحة في صورة تعريفات أو نظريات أو لوضع تخمينات جبرية أو هندسية يجب أن تقدم أمثلة. مثال 2 التخمينات الجبرية والهندسية ضع تخمينًا لكل قيمة أو علاقة هندسية لكل مما يأتي، وأعط أمثلة عددية أو ارسم أشكالًا تساعد على الوصول لهذا التخمين. ناتج جمع عددين فرديين. الخطوة 1 اكتب أمثلة. 1 + 3 = 4, 1 +5=6,3+5=8, 7+9 = 16 الخطوة 2 ابحث عن نمط . لاحظ أن الأعداد 46 جميعها زوجية. الخطوة 3: ضع تخمينا. ناتج جمع عددين فرديين هو عدد زوجي. القطعتان المستقيمتان الواصلتان بين كل رأسين متقابلين في المستطيل. مسلمات تسمى برهانًا. الخطوة 1: وسوف تتعلم المزيد عن البرهان في الدرس 5-1. الخطوة 2 لاحظ أن أطوال القطع المستقيمة الواصلة بين كل رأسين متقابلين في كل مستطيل تبدو متساوية. استعمل المسطرة أو الفرجار للتحقق ذلك. من الخطوة 3 : التخمين القطعتان المستقيمتان الواصلتان بين كل رأسين متقابلين في المستطيل متطابقتان. تحقق من فهمك 2 ناتج جمع عددين زوجيين. (2) العلاقة بين AB و EF ، إذا كانت AB = CD و CD = EF 2 مجموع مربعي عددين كليين متتاليين. الدرس 1-1 - التبرير الاستقرائي والتخمين الت 13م Ministry of Education 2024-1446

تعتمد التخمينات في المواقف الحياتية على بيانات يتم جمعها حول موضوع التخمين. مثال 3 من واقع الحياة وضع تخمين من مجموعة بيانات حلاقة قام صاحب صالون حلاقة بجمع معلومات حول عدد الزبائن الذين يرتادون الصالون أيام الخميس والجمعة والسبت مدة ستة أشهر؛ كي يقرر ما إذا كان يجب زيادة عدد الحلاقين العاملين لديه في الأيام الثلاثة الربط مع الحياة يتطلب العمل في صالونات الحلاقة مراعاة شروط صحية تضمن عدم انتقال الأمراض، ومنها غسل اليدين وتعقيم الأدوات المستخدمة الأخيرة من كل أسبوع. عدد الزبائن في الأيام الثلاثة الأخيرة من كل أسبوع اليوم الشهر 1 الشهر 2 الشهر 3 الشهر 4 الشهر 5 الشهر 6 الخميس الجمعة بعد كل عملية حلاقة، وعدم السبت المجموع 450 540 406 321 255 225 705 685 692 642 635 552 832 746 712 652 658 603 1987 1971 1810 1615 1548 1380 الاستعمال الخاطئ للأدوات والمستحضرات. a أنشئ التمثيل البياني الأنسب لعرض هذه البيانات. عدد الزبائن في الأيام الثلاثة الأخيرة من كل أسبوع بما أنك تبحث عن نمط له علاقة بالزمن، إذن استعمل شكل الانتشار لعرض هذه البيانات بجعل المحور الأفقي يمثل الأشهر والمحور الرأسي يمثل عدد الزبائن. ارسم كل مجموعة من البيانات باستعمال لون مختلف، وضع مفتاحًا للتمثيل البياني. ( ضع تخمينا يعتمد على هذه البيانات، مفسرًا كيف يؤيد التمثيل البياني هذا التخمين. ابحث عن نمط في هذه البيانات. لاحظ أن عدد الزبائن لكلِّ من الأيام الثلاثة يبدو آخذا في الازدياد الخميس الجمعة السبت المجموع بمرور الأشهر، كما أن المجموع الكلي يزداد كل شهر عن الشهر السابق. 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0123456 الشهر بيانات هذا المسح تؤيد تخمين صاحب صالون الحلاقة بأن العمل في الأيام الثلاثة الأخيرة من كل أسبوع يزداد؛ مما يتطلب زيادة عدد الحلاقين العاملين لديه في هذه الأيام. د الزبائن 14 الفصل 1 التبرير والبرهان تحقق من فهمك (3) أسعار يبين الجدول المجاور سعر منتج خلال السنوات من 1414هـ إلى 1439هـ . . أنشئ التمثيل البياني الأنسب لعرض هذه البيانات. ضع تخمينا لسعر المنتج عام 1444هـ. ( هل من المنطقي القول بأن هذا النمط سيستمر بمرور الزمن؟ وإذا لم يكن كذلك، فكيف سيتغير؟ فسر إجابتك. السنة السعر (ريال) 20 1414 22 1419 29 1424 32 1429 37 1434 41 1439 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

ربط المفردات المثال المضاد المعنى اللغوي المضاد هو المخالف. المعنى الرياضي المثال المضاد هو مثال معاكس لمثال مُعطى. إيجاد أمثلة مضادة: إثبات صحة تخمين معين لكل الحالات، يتطلب تقديم برهان لذلك التخمين. بينما لإثبات عدم صحة التخمين يكفي تقديم مثال واحد معاكس للتخمين ، وقد يكون عددًا أو رسمًا أو عبارة، وهذا المثال المعاكس يُسمى المثال المضاد. مثال 4 إيجاد أمثلة مضادة أعط مثالا مضادا يبيّن أن كلًّا من التخمينات الآتية خاطئة. a إذا كان n عددًا حقيقيا، فإن n2 > n. إذا كان n يساوي ، 1 ، فإن التخمين خاطئ؛ لأن 1 7 12 قراءة الرياضيات يرمز للنقطة بحرف كبير مثل: ...,A, B, C ويرمز للقطعة المستقيمة التي طرفاها A, B , بالرمز BA أو AB، ويرمز للمسافة بين النقطتين A, B بالرمز AB إذا كان JK = KL ، فإن K منتصف JL . عندما لا تقع على استقامة واحدة، يكون التخمين خاطئًا. ففي الشكل المجاور JK = KL ، ولكن K ليست نقطة منتصف JL. تحقق من فهمك (4) إذا كان n عددًا حقيقيا، فإن n يكون سالبًا. L # (48) إذا كان ABE = DBC ، فإن LABE و DBC متقابلتان بالرأس. 6 K تأكد المثال 1 اكتب تخمينا يصف النمط في كل متتابعة مما يأتي، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي (1) التكلفة : 4.50 ريالات، 6.75 ريالات، 9.00 ريالات، (2) مواعيد انطلاق الحافلات 10:15 صباحًا، 11:00 صباحًا، 11:45 صباحًا، (3 (4 3, 3, 6, 9, 15, ...... (5 2, 6, 14, 30, 62, ...... (6 كلّ منها : المثال 2 ضع تخمينًا لكل قيمة أو علاقة هندسية مما يأتي: (7) ناتج ضرب عددين زوجيين. 8 العلاقة بين العددين a و b إذا كان 0 = a + b. (9) العلاقة بين مجموعة النقاط في المستوى التي تبعد المسافة نفسها عن النقطة A . 10) العلاقة بين AP و PB إذا كانت M نقطة منتصف AB والنقطة P نقطة منتصف AM . الدرس 1-1 التبرير الاستقرائي والتخمين الت15م Ministry of Education 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 عدد القطع المنتجة لمصنع السنة عدد القطع (بالملايين) 5 7.2 2012 2013 9.2 2014 14.1 2015 19.7 2016 28.4 2017 : المثال 3 (11) إنتاج مصنع استعمل الجدول المجاور الذي يبين القطع المنتجة في مصنع لبعض السنوات. ( أنشئ التمثيل البياني الأنسب لعرض هذه البيانات. ( ضع تخمينا لعدد القطع في سنة 2022م . المثال 4 أعط مثالا مضادا يبين أن كلا من التخمينات الآتية خاطئة. (12) إذا كانت A و B متتامتين، فإن لهما ضلعا مشتركًا. عدد (13) إذا قطع نصف مستقيم قطعةً مستقيمةً عند منتصفها، فإنه يعامدها. تدرب وحل المسائل المثال 1 اكتب تخمينًا يصف النمط في كل متتابعة مما يأتي، ثم استعمله لإيجاد الحد التالي في كلُّ منها. 4, 8, 12, 16, 20 (16 1, 1 1 1 1. (19 2' 4' 8 3, 6, 9, 12, 15 (15 1, 4, 9, 16 (18 0, 2, 4, 6, 8 (14 2, 22, 222, 2222 (17 (20) مواعيد الوصول : 10:00 صباحًا، 12:30 مساءً ، 3:00 مساءً، 21 النسبة المئوية للرطوبة . ......, %93,86 ,%100 (22) أيام العمل: الأحد، الثلاثاء، الخميس، (23) اجتماعات النادي المحرّم، ربيع أول، جمادى الأولى . (25 (27 (24 (26 (28) رياضة : بدأ ماجد تمارين الجري السريع قبل خمسة أيام. فركض في اليوم الأول km 0.5 . وفي الأيام 1.2 km 0.75 . إذا استمر تمرينه على هذا النمط ، فما المسافة التي يقطعها في الثلاثة التالية km اليوم السابع؟ المثال 2 ضع تخمينا لكل قيمة أو علاقة هندسية مما يأتي: (29) ناتج ضرب عددين فرديين. (30) ناتج ضرب عدد في اثنين، مضافا إليه واحد. (31) العلاقة بين العددين a و b ، إذا كان 1 = ab. (32) العلاقة بين AB ومجموعة النقاط التي تبعد مسافات متساوية عن A و B . (33) العلاقة بين حجم المنشور وحجم الهرم اللذين لهما القاعدة نفسها والارتفاع نفسه. الفصل 1 التبرير والبرهان 16

منطقة الرياض المثال 3 34 مدارس يبين الجدول المجاور عدد الطلاب في إحدى المدارس الثانوية خلال الفترة من 1435هـ إلى 1438هـ. a أنشئ التمثيل البياني الأنسب لعرض هذه البيانات. ضع تخمينا معتمدًا على بيانات الجدول، واشرح كيف يؤيد تمثيلك البياني هذا التخمين. السنة عدد الطلاب 190 1435 210 1436 240 1437 260 1438 المثال 4 حدد ما إذا كان أي من التخمينات الآتية صحيحًا أو خاطئًا، وإذا كان التخمين خاطئًا، فأعط مثالا مضادًا. حافظة الكاما محافظة الليث محافظة الجموم محافظة رابغ امارة مكن منطقة البحر الأحمر (35) إذا كان n عددًا أوليًا، فإن 1 + n ليس أوليًّا. (36 إذا كان x عددًا صحيحًا، فإن x عدد موجب. = (37) في المثلث ABC إذا كان : AB) AC2) ، فإن AABC قائم الزاوية. (38) إذا كانت مساحة مستطيل تساوي 20m2، فإن طوله يساوي 10m، وعرضه 2m. (39) سكان استعمل الجدول أدناه لتعطي مثالًا مضادا لكل من العبارتين الآتيتين: النسبة المئوية من محافظة الطائف محافظة الخرمة محافظة رنية منطقة الباحة محافظة القنفذة منطقة عسير الربط مع الحياة منطقة مكة المكرمة هي أكثر مناطق المملكة تعدادًا للسكان، وتضم 12 محافظة هي: مكة المكرمة وجدة والطائف والقنفذة والليث ورابغ والجموم وخليص والكامل والخرمة ورنية وتربه المنطقة الإدارية العدد التقريبي للسكان بالمليون عدد سكان المملكة الرياض مكة المكرمة المدينة المنورة الشرقية 8.1 8.5 2.2 5 24.8% 26% 6.7% 15.3% المصدر: مسح الخصائص السكانية 2017م - الهيئة العامة للإحصاء. النسبة المئوية لمجموع عدد سكان المناطق الإدارية الأربع الواردة في الجدول أقل من المملكة العربية السعودية. يزيد عدد سكان أي من المناطق الإدارية الأربع على ثلاثة ملايين نسمة. 25% سكان من المصدر : الهيئة العامة للإحصاء. 40 تخمين جولدباخ ينص تخمين جولد باخ على أنه يمكن كتابة أي عدد زوجي أكبر من 2 على صورة مجموع عددين أوليين فعلى سبيل المثال + + + 3 = 6 ,2 + 2 = 4 5 3 : أثبت أن التخمين صحيح = 3,8 للأعداد الزوجية من 10 إلى 20 ( إذا أعطيت التخمين الآتي: يمكن كتابة أي عدد فردي أكبر من 2 على صورة مجموع عددين أوليين. فهل التخمين صحيح أم خاطئ ؟ إذا كان خاطئًا، فأعط مثالا مضادا. (41) هندسة: النقطتان الواقعتان على مستقيم تشكلان قطعة مستقيمة، مثل AB. إذا أُضيفت نقطة أخرى C على القطعة المستقيمة AB، فإن النقاط الثلاث تشكّل ثلاث قطع مستقيمة. B A A C B ( ما عدد القطع المستقيمة المختلفة التي تتشكل من أربع نقاط على مستقيم ؟ ومن خمس نقاط على مستقيم؟ ضع تخمينا لعدد القطع المستقيمة المختلفة التي تتشكل من n نقطة على مستقيم. اختبر تخمينك بإيجاد عدد القطع المستقيمة المختلفة التي تتشكل من 6 نقاط . مسائل مهارات التفكير العليا (42) اكتشف الخطأ يتناقش أحمد وعلي في موضوع الأعداد الأولية. فيقول أحمد: إن جميع الأعداد الأولية أعداد فردية. في حين يقول علي : ليست جميع الأعداد الأولية فردية. هل قول أي منهما صحيح؟ فسّر إجابتك. الدرس 1-1 التبرير الاستقرائي والتخمين الت17م Ministry of Education 2024-1446

تدريب على اختبار (46) انظر إلى النمط الآتي: (43) مسألة مفتوحة : اكتب متتابعة عددية تتبع حدودها نمطين مختلفين، ووضّح النمطين. (44) تبرير تأمّل التخمين: "إذا كانت نقطتان تبعدان المسافة نفسها عن نقطة ثالثة معلومة، فإن النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة. هل هذا التخمين صحيح أم خاطئ؟ وإذا كان خاطئًا، فأعط مثالا مضادا. (45) اكتب افترض أنك تُجري مسحًا . اختر موضوعًا واكتب ثلاثة أسئلة يتضمنها مسحُك. كيف تستعمل التبرير الاستقرائي مع البيانات التي تحصل عليها من خلال هذا المسح؟ ما الشكل التالي في النمط ؟ A C D B " (47) إذا علمت أن 1 = a = 10 b ، فما قيمة العبارة الآتية؟ 2b + ab : (a + b) 48 في الشكل المجاور، AB محور تناظر DAC. أيُّ الاستنتاجات الآتية ليس صحيحًا بالضرورة؟ ZDABZBAC A DAC B زاوية قائمة. A C و D على استقامة واحدة. 2(mZBAC)=mZDAC_D B D C A مراجعة تراكمية (49) أحواض سمك : اشترى باسم حوض سمك صغير على شكل أسطوانة دائرية قائمة طول قطر قاعدتها cm 25 ، وارتفاعها cm 35، أوجد حجم الماء اللازم لملء الحوض. (مهارة سابقة) أوجد محيط AABC إذا أُعطيت إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) A(1, 6), B(1, 2), C(3,2) (50 A(−3, 2), B(2, −9), C(0, -10) (51 (52) جبر قياس زاويتين متتامتين يساوي 9 - 16) و (43) . أوجد قياس كل منهما. (مهارة سابقة) 5|x z (53) جبر إذا علمت أن: 3 = x و 4 = y و 5 = ، فأوجد قيمة : | - 32 - y + 5 . (مهارة سابقة) استعد للدرس اللاحق ་་ جبر: اكتب كلمة "صح " بجوار العبارة الصحيحة وكلمة "خطأ" بجوار العبارة الخاطئة. (54) كل مربع هو مستطيل 18 الفصل 1 التبرير والبرهان 5 - 2 × 3 = 9 (55) 56) العدد 9 عدد أولي وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446