النسب المثلثية - الرياضيات 3 - ثالث متوسط

V-9 فيما سبق درست استعمال نظرية فيثاغورس واللات . أجد النسب المثلثية للزوايا. النسب المثلثية ا لماذا ؟ يعني . معدّل انحدار طريق بنسبة %٢٥ أن الطريق ترتفع أو تنحدر ٢٥ قدما لكل ۱۰۰ قدم أفقيًا. ويمكن استعمال النسب المثلثية لإيجاد قياس زاوية ارتفاع الطريق أو انحدارها. النسب المثلثية حساب المثلثات هو دراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه والنسبة المثلثية هي النسبة التي تقارن بين طولي ضلعين من أضلاع المثلث القائم. والنسب المثلثية الثلاث الأكثر شيوعا هي الجيب، وجيب التمام والظل ، وهي موضحة في الجدول أدناه: . أستعمل النسب المثلثية لحل المثلث رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa سعد 25 مفهوم أساسي اللمقير عادت النسب المثلثية حساب المثلثات النسب المثلثية التعبير اللفظي الرموز النموذج جيب الزاوية أ= - الضلع المقابل للزاوية أ الوتر جاا الظل التمام حل المثلث معكوس الجيب معكوس جيب التمام جيب تمام الزاوية .... الضلع المجاور للزاوية أ الوتر جنا ا معكوس الظل فل الزاوية 1 - الضلع المقابل للزاوية أ الضلع المجاور للزاوية أ مثال إيجاد نسب الجيب وجيب التمام، والظل أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية أ. الخطوة ١. استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد أج . أَ + ب ٢ = جـ ٢ نظرية فيثاغورس ۲۹ + ب ٢ = ٢١٥ أ = ٩ ، جـ = ١٥ ٢٢٥ = ۲ + ۸۱ ١٤٤ ب = ۱۲ ربع اطرح ٨١ من كلا الطرفين أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين الخطوة ٢ استعمل أطوال الأضلاع لكتابة النسب المثلثية. جا أ - المقابل _ ۹ الوتر جنا ا ا المجاور ١٢ الوتر ظاأ - المقابل المجاور تحقق من فهمك ١) أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية ب. 10 أضف إلى طويتك ۹ - ۱۲ الدرس : النسب المثلثية الت۷۹ Ministry of Education 2024-1446

تنبيه ! وضع الآلة الحاسبة (mode) كن متأكدا من وضع الآلة الحاسبة (mode) للعمل بالدرجات. مثال ۲ استعمال الحاسبة لإيجاد قيم العبارات استعمل الحاسبة لإيجاد جتا ٤٢ إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. اضغط على المفاتيح on 1 New Document 1:Add Calculator trig COS 42 enter قرب إلى أقرب جزء من ألف. جتا ٠٠,٧٤٣١٤٢ تحقق من فهمك 199 1.1 cos(42) ahawad 0.743145 ١٢) جا ٣١. ب ظا٧٦ جـ) جتا ٥٥ استعمل النسب المثلثية عندما تجد القياسات المجهولة لأضلاع المثلث القائم وزواياه، فإنك تكون بذلك قد قمت بحل المثلث، ويمكنك إيجاد القياسات المجهولة إذا علمت طولي ضلعين في المثلث، أو طول ضلع وقياس إحدى الزاويتين الحادثين. إرشادات للدراسة تذكر رموز أطوال أضلاع المثلث يُرمز إلى طول الضلع المقابل للرأس أ في المثلث أب جـ بالرمز أ، مثال ۳ حل المثلث حل المثلث القائم الزاوية مقتربا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة 1 أوجد قياس د أ . ۱۸۰ - (90 + ٤١) = 49 قياس د أ = ٤٩ i الخطوة ٢ أوجد أ. بما أن قياس الضلع المقابل للزاوية ب معطى وتريد وإلى طول الضلع المقابل للرأس ب بالرمزب وإلى طول الضلع المقابل للرأس جـ بالرمز جـ . إيجاد قياس الضلع المجاور للزاوية ب، فاستعمل نسبة الظل. 7-214 1-19 اس ظا ٤١ تعريف الظل الحرب كلا الطرفين في أ . = ٦,٩ تقريبا اقسم الطرفين على ظا ٤١ ، استعمل الحاسبة لذا يكون أ = ب جـ = ٦,٩ تقريبا. الخطوة 3: أوجد جـ . بما أن قياس الضلع المقابل للزاوية ب معطى وتريد إيجاد قياس الوتر، فاستعمل نسبة الجيب. ۸۰ جا ٤١ = 1 تعريف الجيب ج جا ٤١ = ٦ اضرب كلا الطرفين في ج 7 => جدی ۹,۱۰ تقريبا جا ٤١ اقسم الطرفين على جا ٤١ ، استعمل الحاسبة = ولذا فان ج - آب ۹,۱۰ تقريبا. تحقق من فهمك = (ir الفصل : المعادلات الجذرية والمثلثات ب) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال : من واقع الحياة إيجاد طول الضلع المجهول تمرين يضع المدرب جهاز التمرين الرياضي مائلاً بمقدار ۱۰ ، فإذا كان طول سطح السير على الجهاز ۲ م ، فكم يجب رفع نهايته عن الأرض بالسنتمترات تقريباً؟ ۲م -11.4 تعريف الجيب ۲ × جا ۱۰ = هـ اضرب كلا الطرفين في ٢ الربط مع الحياة استعمل الحاسبة فتكون قيمة هـ بالأمتار تساوي ٣٥, ٠ ، اضرب ٠,٣٥ في ١٠٠ لتحويل الأمتار إلى سنتمترات. يرفع المدرب الجهاز ٣٥ سم تقريبًا. تحقق من فهمك للتمتع بصحة مثالية يجب على ٤ ) لوح التزلج ما طول لوح تزلج يصنع مع سطح الأرض زاوية قياسها ٢٥"، ويرتفع طرفه ٢ م؟ جميع الأشخاص من العمر ١٦ -٦٥ ، التدرب لمدة ٣٠ دقيقة على الأقل على نشاط متوسط يُعبر عن قاعدة الدالة المثلثية إذا علمت الجيب أو جيب التمام أو الظل لزاوية حادة، فيمكنك إيجاد قياسها الشدة لمدة خمسة أيام في الأسبوع. باستعمال معكوس النسب المثلثية. مفهوم أساسي معكوس الدوال المثلثية أضف إلى مطويتك إذا كانت د أ زاوية حادة، وكان التعبير اللفظي جا أ = س فإن معكوس جيب س ورمزه جا ا س يساوي قياس دأ. الرموز إذا كان جا أم، فإن جا م ق دا. التعبير اللفظي جنا أيساوي س، قران معکوس جیب تمام من ورمزه جناس يساوي قياس دأ. إذا كان جنا أس، فإن جنا س ق دا. الرموز التعبير اللفظي ظا أيساوي م، فإن معكوس ظلم ورمزه ظا من يساوي قياس دأ. الرموز إذا كان ظا أ = س، فإن ظا ا س = ق دأ. مثال إيجاد قياس الزاوية المجهولة أوجد ق ا ص إلى أقرب درجة. تعلم طول الضلع المجاور للزاوية ص وقياس الوتر. استعمل نسبة جيب التمام. جناص تعريف جيب التمام استعمل الحاسبة البيانية ودالة جتا [ - cos] لإيجاد قياس الزاوية. اضغط على المفاتيح 65.098937 تحقق من فهمك enter Cos 8 19 (0) أوجد في دس مقربا إلى أقرب درجة إذا كان من ص ١٤٣، ص ع ٥٣ . 19 لذا فإن ق ل ص = ٩٦٥. الدرس : النسب المثلثية الت۸۱ Ministry of Education 2024-1446

٨٥ vv مثال ۱ أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية أ في كل مما يأتي: ۱۲ ۳۶ ۱۳ (۱ مثال ۲ استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل نسبة مثلثية فيما يأتي، مقربة إلى أقرب جزء من عشرة آلاف في كل مما يأتي: جا ٣٧ ٥) جتا ٢٣ ٦) ظا١٤ مثال ۳ حُلّ كلّ مثلث قائم الزاوية فيما يأتي مقربًا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة: جتا ۸۲ ٢٤ ε (1. (12 ۱۳ فر ١٤ مثال ٤ (١١) تزلج على الجليد في موقع للتزلج على أحد التلال، كان ارتفاع التلة الرأسي ۱۰۰۰م، وزاوية ميلها عن مستوى الأرض ۱۸، قدر طول (ر). مثال ٥ أوجد ق ا س لكل مثلث فيما يأتي مقربًا إلى أقرب درجة : س (۱۳) A ۱۲) ص, تأكد تدرب وحل المسائل مثال 1 أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية ب في كل مما يأتي: (۱۷ ۱۲ (17 ١٥) ب ۱۷ A مثال ۲ استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل نسبة مثلثية فيما يأتي، مقربة إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: ۱۸) ظا ۲ ۱۹) جا ۸۹ ٢٠) جتا ٤٤ ٢١) ظاه٤ ۲۲) جا ۷۳ ۲۳) جتا ۹۰ ٢٤) جا ٣٠ ٢٥) ظا ٦٠ الفصل : المعادلات الجذرية والمثلثات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 ۸۲

ك ۱۷ (۳۲ ال مثال ٣ حُلّ كل مثلث قائم فيما يأتي مقربًا طول كل ضلع إلى أقرب جزء من عشرة: (۲۸ (۲۷ ٢٦ م مثال ٤ ٢٩ سلّم كهربائي: يبلغ طول السلم الكهربائي في أحد الأسواق الكبيرة ٣٥ مترا، وقياس الزاوية التي يكونها مع الأرض ٢٩، أوجد ارتفاع السلم. مثال ه أوجد ق ( جـ لكل مثلث قائم الزاوية فيما يأتي مقربا إلى أقرب درجة: 11 ل (۳۱ ل ك (۳۰ الربط مع الحياة يبلغ طول أطول شجرة معمرة نحو ١١٥ مترا. وهناك نحو ١٣٥ شجرة من هذا النوع يزيد طولها على ۱۰۷ أمتار. (۳۳) وقف الملك عبد العزيز: يصل ارتفاع أبراج وقف الملك عبد العزيز المطلة على المسجد الحرام إلى ٤٠٠ متر. ينظر عمار إلى أعلى الأبراج بزاوية ٥٥. فما بعد عمار عن قاعدة الأبراج؟ (٣٤) غابات يقدر حارس غابة ارتفاع شجرة بنحو ٥٠ مترًا. فإذا كان الحارس يقف على بعد ٣٠ مترًا من قاعدة الشجرة، فما مقياس الزاوية التي يشكلها مع قمة الشجرة؟ في السؤالين ٣٥-٣٦، افترض أن أزاوية حادة في المثلث القائم آب ج ، ثم أوجد: ٣٥) جا أ ، ظا أ إذا كان جتا أ = } . ٣٦) ظا أ ، جتا أ إذا كان جا ا = - . (۳۷) تمثيلات متعددة : سوف تكتشف في هذه المسألة العلاقة بين دوال الجيب ودوال جيب التمام. ۱۳ ۱۲ أ) جدوليًا: انقل الجدول الآتي وأكمله مستعملا المثلثات أعلاه: ز 21 المثلث النسب المثلثية جا جتا جا + جتا ' = جاا جتا أ - جا ج = جتا" أ - جتا جـ = جا ج - جتا جـ = جاه = جتا هـ = جا هـ جتاه ه ك ل جال - جتال - جال - جتا ل - = جاس جتا س - جا س = جتا س س ص ز جاز - جتاز - = جاز جتاز - ب) لفظيا: خمّن علاقة مجموع مربعي دالتي الجيب وجيب التمام لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية. (۳۸) غواصات إذا نزلت غواصة مسافة ٣ أميال قطريا بزاوية مقدارها ۱۰ مع قاع محيط. فكم يصبح بعدها عن سطح الماء ؟ الدرس : النسب المثلثية الت٢٨٣ Ministry of Education 2024-1446

تدريب على اختبار مسائل مهارات التفكير العليا (٣٩) تحد حل المثلث في الشكل المجاور. ٤٠) تبرير استعمل تعريف نسب الجيب وجيب التمام في تعريف نسبة الظل (r-in) °(vir) ج -۲ ٤١) مسألة مفتوحة اكتب مسألة تستعمل فيها نسبة جيب التمام لإيجاد قياس زاوية مجهولة في مثلث قائم الزاوية، ثم حلها. ٤٢) تبرير: إذا كان جيب زاوية وجيب تمامها متساويين، فماذا تستنتج عن المثلث؟ (٤٣) اكتب وضح كيف يمكن استعمال النسب المثلثية لإيجاد أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث علم فيه قياس زاوية حادة وطول أحد الأضلاع ٤٤) أي المتباينات الآتية تعبر عن التمثيل البياني أدناه؟ E- - - 1. T ٣٤٥ ٤٥) إجابة قصيرة: يتقاضى مندوب مبيعات ٦٤٠٠٠ ريال راتبا سنويا، إضافة إلى 5% من قيمة مبيعاته، ما قيمة المبيعات التي عليه بيعها ليزيد دخله السنوي أ) - ج س ج ٤ حتى ۹۰۰۰۰ ريال؟ ج) س = ٤ أو س 2 -٢ ب) -٢ ح س ( ٤ د) س > ٤ أو س < -٢ مراجعة تراكمية في الأسئلة ٤٩-٤٨، إذا كان ۵ آب ج. - ۵ دف هـ ، فأوجد قياسات العناصر المجهولة: (العين (10) ٤٧) دَ = ٩ ، ف = ٦ ، هـ = ٤ ، بَ = ١٨ ٤٨ ) أ = ٣٦ ، ب = ٢١، هـ = ١١ ، ف = ١٤ استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : 1 إذا اخترت عشوائيا كرة من كيس يحوي ٩ كرات حمراء و ٦ کرات زرقاء و ه كرات صفراء، فأوجد كلا من الاحتمالات الآتية: ٤٩ ) ح (زرقاء) ΛΕ الفصل ۹: المعادلات الجذرية والمثلثات (۵۰) ح (حمراء) (01 ٥١) ح (ليست صفراء) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل اختبار الفصل بسط كل عبارة فيما يأتي: (۲ TV-1 (٤ ٢٥٦٣ ٣٦٧٥ (۱ ۳۷۷ + ۳٫۲ ۳ ه هندسة أوجد مساحة المستطيل. ٢٧١٤ (i ب) ۲۷۹۸ جـ) ١٤ د) ۲۷۷ حلّ كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: ١٥) خدمة التوصيل يقدم أحد مطاعم الوجبات السريعة خدمة توصيل مجانية إلى أي موقع ضمن دائرة نصف قطرها ١٠ كلم من المطعم. فقطع الشخص الذي سيوصل الوجبات ۳۲ شارعاً شمالًا، ثم ٤٥ شارعا إلى الشرق لإيصال الطلب علما بأن البعد بين كل شارعين في هذه المدينة هو لا كلم. (أ) هل الموقع خارج نطاق الخدمة المجانية؟ فسّر ذلك. ب) صف موقعين للتوصيل يكون البعد بينهما ١٠ كلم تقريبًا. (١٦) إذا كان 4 أب جـ ~ 4 س صرع ، فأوجد أطوال الأضلاع المجهولة. ٦) ۱۰ س = ۲۰ ٧ ٤٧ س - ٣ = ٦ - س ٤,٥ تغليف: حجم علبة شوكولاتة أسطوانية ١٦٢ سنتمترا مكعبا. وتستعمل المعادلة نق = ، لد اله لإيجاد نصف قطر العلبة، حيث (نق) نصف قطر الأسطوانة، (ع) ارتفاعها، (ح) حجمها. فإذا كان ارتفاع الأسطوانة ٨٢٥ سنتمترات، فأوجد نصف قطرها . ١٧ أوجد قيم النسب المثلثية الثلاث للزاوية أ. أوجد طول الضلع المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الناتج (۱۸) أوجد ق س مقربًا إلى أقرب درجة. إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر: 10 (۹ أوجد المسافة بين كل نقطتين فيما يأتي: ۱۰ (۳-۲) ، ( ٣، ٤-) (۱۲ (۵ ،۳) ،(۳ ، ۲) (۱۱ (1.V-)(7-8-) (1 (۲ ،۳) ،(۱ ،۱) (۱۳ الفصل ۹: اختبار الفصل 2024-1446

الاختبار التراكم اختيار من متعدد اقرأ كل سؤال ممَّا يأتي، ثم اختر رمز الإجابة الصحيحة : ۱) بسط FV+ ٢٧٤ i ١٤ V FV-2 (→ ١٤ V ب) ۲-۲۷ ۲) ما مساحة المثلث أدناه ؟ د) ۲۷۲ ٤) أي الأطوال التالية لا تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية؟ أ) (١٢ ، ١٦ ، ٢٤) ب) (١٠، ٢٤، ٢٦) جـ) (٢٤ ، ٤٥، ٥١) د) (۱۸ ، ٢٤ ، ٣٠) or + The ۵۷۱۰ + ۲۷۳ (۱ ه أي مما يأتي لا يُعدُّ عاملا من عوامل س ٤ - ١٦ ؟ أ) س - ۲ ب) س + ۲ ب) ۱۷ + ٥ ١٠٧ جـ) ۱۲ ۲۷ + ۵۷۸ د) ١٠/٢,٥٨,٥ يحسب طول راسم المخروط (ل) المبين بالشكل أدناه بالعلاقة ل = م ع ۲ + نق " ، حيث نق نصف قطر القاعدة ، ع ارتفاع المخروط، استعمل هذه العلاقة لإيجاد نق في الشكل أدناه. جـ) س ٢ + ٤ د) س + ٤ إرشادات للاختبارات سؤال ۳ عوّض بقيم ل ، ع في العلاقة، ثم أوجد قيمة نق. ل = ١٤ ن ٤,٩ جـ) ۹,۸ ب) ٦,٣ د ۱۰,۲ الفصل : المعادلات الجذرية والمثلثات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إجابة قصيرة أجب عن الأسئلة الآتية: إجابات مطولة أجب عن السؤال الآتي موضحًا خطوات الحل: (۹) ما عدد المرات التي تتقاطع فيها الدالة ص م ٢ - ٤ س ١٠٠ (۱۱) حددت هدى مواقع بعض الأماكن في حينها في المستوى مع محور السينات؟ اس (۷) حلل كثيرة الحدود ۲ ص ۳۲ تحليلا تاما. الإحداثي المبين أدناه، حيث الوحدة = ٢,٥ ميل مدرسة حديقة حيوان ۸) بسط العبارة ۹) استعمل خاصية التوزيع لتحليل س ص ٢ - ٦ س ٢ ص ع + ۳ س صـ ١٠) حلل ثلاثية الحدود: ۲ س ٢ + ٣ س - ۹ مجمع تجاري مسجد أ) أوجد المسافة الحقيقية بين المدرسة والمسجد مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم. ب) إذا وقع منزل هدى في منتصف المسافة بين المدرسة والمجمع التجاري، فأوجد إحداثيات موقع منزل هدى موضحًا خطوات الحل. للمساعدة . إذا لم تجب عن السؤال مهارة فراجع الدرس .. سابقة ٤ ۲ ٩-٣ 2-9 1-9 مهارة سابقة ۲-۸ ۱۱ ۱۰ 9 Λ V مهارة مهارة مهارة مهارة سابقة سابقة سابقة سابقة 0-9 الفصل ۹ الاختبار التراكمي الت٣٨٧ Ministry of Education 2024-1446