تمثيل المعادلات الخطية بيانيا - الرياضيات 1 - ثالث متوسط

٢- ٣ تمثيل المعادلات الخطية بيانيًا لماذا؟ فيما سبق تشير دراسة إلى أن إعادة تدوير طن واحد من نفايات الأوراق توفر حوالي ۱۷ شجرة، وَ ۷۰۰۰ جالون ماء، و٣ براميل بترول. درست تمثيل العلاقة بين الكميات بالمعادلات والآن ويمكن التعبير عن العلاقة بين كمية الورق المعاد تدويره وعدد الأشجار الموفرة بالمعادلة : ص = ۱۷س؛ حيث تمثل ص عدد الأشجار، وس كتلة الورق بالطن. أميز المعادلة الخطية وأحدد مقطعيها السيني والصادي. المعادلة الخطية هي رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa أمثل المعادلات الخطية بيانيا. المفردات المعادلة الخطية الصورة القياسية الحد الثابت المقطع السيني المقطع الصادي المعادلة التي تمثل بيانيًا بخط مستقيم، وتكتب على الصورة: أس + ب ص = جـ وتسمى الصورة القياسية للمعادلة الخطية. ويسمى جـ الحد الثابت، وتمثل أس ، ب ص الحدود الجبرية. مفهوم أساسي الصورة القياسية للمعادلة الخطية أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي الصورة القياسية للمعادلة الخطية هي: أ س + ب ص = جـ ، أ ك . ولا تكون قيمتا أوب معًا صفرًا . أ ، ب ، جـ أعداد صحيحة والعامل المشترك الأكبر لها ١. 6 الأمثلة : في المعادلة ٣ س + ٢ ص = ٥ ، أ=٣، ب=٢،ج=ه المعادلة: =-۷، أ=۱، ب = صفر ، جـ = ۷ وفي س 6 مثال ۱ تمييز المعادلات الخطية حدد ما إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم لا، وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: أ) ص = ٤ - ٣س أعد كتابة المعادلة بالصورة القياسية. ص = ٤ - ٣س المعادلة الأصلية ص + ٣س= ٤ - ٣س + ۳س أضف ٣ س إلى الطرفين س + ص= ٤ بسط هذه المعادلة بالصورة القياسية، أ = ٣ ، ب = ١، جـ = ٤، وهي أ= ب) ٦ س - س ص = ٤ معادلة خطية. بما أن الحد س ص فيه متغيران، فلا يمكن كتابة المعادلة على الصورة أس + ب لذا فالمعادلة ليست خطية. تحقق من فهمك (١١) لإ ص = -1 ۱۰ اب) ص = س ٢ - ٤ الدرس ٢-٣ تمثيل المعادلات الخطية بيانيا وزا٣ التعليم Ministry of Education 2024-1446

قراءة الرياضيات المقطعان السيني والصادي المقطع السيني ٣ يقع على النقطة (۳، صفر). والمقطع يمكن تمثيل المعادلة الخطية في المستوى الإحداثي، ويُسمى الإحداثي السيني للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات المقطع السيني، ويُسمى الإحداثي الصادي للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور المقطع الصادي. الصادات والتمثيل البياني للمعادلة الخطية له على الأكثر مقطع سيني واحد، ومقطع = صادي واحد، ما لم تكن المعادلة على النحوس ، ، أو ص = وفي تلك الحالة كل عدد حقيقي هو مقطع صادي أو مقطع سيني على الترتيب. مثال ۲ من الاختبار أوجد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل جانبًا. أ المقطع السيني صفر، والمقطع الصادي ٣٠. ب المقطع السيني ۲۰، والمقطع الصادي ٣٠. جـ) المقطع السيني ،۲۰ ، والمقطع الصادي صفر. د المقطع السيني ٣٠، والمقطع الصادي ٢٠. ۱۰ ١٥ المقطع الصادي ٢ والإحداثي السيني صفر (4.2-) المقطع السيني - ٤ والإحداثي الصادي صفر ٢٥ ۲۰ ١٥ 1. الصادي ٦ يقع على النقطة اقرأ الفقرة : (صفر ، ٦). ٦٤ نريد أن نحدد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل بيانيا. حل الفقرة الخطوة 1 : لإيجاد المقطع السيني، ابحث عن النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات. بما أن المستقيم يقطع محور السينات في النقطة (۲۰) ، (۰) ، إذن فالمقطع السيني هو ٢٠. الخطوة ٢ : لإيجاد المقطع الصادي، ابحث عن النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات. بما أن المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة (۰) ، (۳۰) ؛ إذن فالمقطع الصادي هو ٣٠. )؛ وعليه فالجواب الصحيح هو ب. تحقق من فهمك عدد شعب الصف الثالث المتوسط في مدرسة (۲ (٢) أوجد المقطعين السيني والصادي للمستقيم الممثل جانبا : أ) المقطع السيني صفر، والمقطع الصادي ٣. ب المقطع السيني ،۳ ، والمقطع الصادي صفر. جـ) المقطع السيني ٣ ، والمقطع الصادي غير موجود. د) لا يوجد مقطع سيني، والمقطع الصادي ٣. ۱ ۲ ۳ السنوات منذ عام ١٤٢٠هـ يكون للمقطعين السيني والصادي معنى عندما تمثل المعادلات مواقف من واقع الحياة. الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية عدد الشعب وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة تمييز المتغيرات الزمن في المثال ٣ هو المتغير المستقل، وكمية الماء هو المتغير التابع. مثال ٣ من واقع الحياة إيجاد المقطعين السيني والصادي بركة سباحة : فرغت بركة سباحة بمعدل ٧٢٠ لترًا في الساعة. ويبين الجدول المجاور الدالة التي تربط كمية الماء في البركة، والزمن اللازم لتفريغها . (أ) أوجد المقطعين السيني والصادي للتمثيل البياني للدالة. المقطع السيني = ١٤ المقطع الصادي = ١٤ ۱۰۰۸۰ ۱۰۰۸۰ هي قيمة س عندما تكون ص - = هي قيمة ص عندما تكون س = = تفريغ البركة الزمن (ساعة) | كمية الماء (لتر) (س) (ص) ۱۰۰۸۰ ٨٦٤٠ ٥٧٦٠ ۲۸۸۰ ١٤٤٠ ۱۲ ١٤ ب صف مدلول كل من المقطعين في هذه الحالة. يعني المقطع السيني ١٤ أن كمية الماء في البركة بعد ١٤ ساعة سيكون صفرًا، أو أن البركة قد فرغت بشكل كامل. ويعني المقطع الصادي ۱۰۰٨٠ أن البركة تحتوي على ۱۰۰۸۰ لترًا من الماء في الزمن صفر؛ أي قبل بداية عملية التفريغ. وهذا ما يظهره التمثيل البياني. تحقق من فهمك ۱۲ 12 17 تفريغ البركة ۱۰ الزمن (ساعة) ۱۲۰ ۸۰۰۰ ۲۰۰۰ كمية الماء (لتر) الزمن (ساعة) | المسافة المتبقية (كلم) (س) (ص) قيادة السيارة تريد عائلة أحمد الذهاب إلى مزرعتهم، والجدول المجاور يبين المسافة المتبقية للوصول إلى المزرعة بوصفها دالة للزمن أوجد المقطعين السيني والصادي، وصف معنى كل منهما. ٢٤٨ ١٨٦ ١٢٤ ٦٢ إرشادات للدراسة المعادلات المتكافئة إعادة كتابة المعادلة بدلالة ص يسهل عملية إيجاد قيم ص. فمثلًا إذا كان: ٤س + ص ۳- = فإن ص = - س -٣ - تمثيل المعادلة الخطية بيانيا : أوجد المقطعين السيني والصادي. فتتكون لديك نقطتان يمر بهما التمثيل البياني للدالة، ثم استعملهما لتمثيل المستقيم؛ لأنك بحاجة إلى نقطتين فقط لتمثيله. مثال ٤ تمثيل المعادلة بيانيًا باستعمال المقطعين السيني والصادي مثل المعادلة ٢س + ٤ ص = ١٦ بيانيًا باستعمال المقطعين السيني والصادي. لإيجاد المقطع السيني ضع ص = ٢ س + ٤ص = ١٦ المعادلة الأصلية ٤)٠( = ١٦ + ۲س ۲ س = ١٦ بسط ^ = استبدل ص بصفر اقسم على ٢ فيكون المقطع السيني ؛ أي أنّ المستقيم يقطع محور السينات في النقطة (۸ ، ٠ ). الدرس ٢-٣ تمثيل المعادلات الخطية بيانيا وزاة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة المقطعان السيني والصادي المقطع السيني هو موقع تقاطع الخط المستقيم مع محور السينات، وقيمة ص ولإيجاد المقطع الصادي ضع = ٢س + ٤ ص = ١٦ المعادلة الأصلية ٢(٠) ٤ ص = ١٦ 17= عوض عن س بصفر ٤ص = ١٦ سط ٤ = ص اقسم على ٤ فيه صفر دائمًا. والمقطع الصادي هو موقع تقاطع فيكون المقطع الصادي ؛ أي أنّ المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة ( ٠ ، ٤). الخط المستقيم مع محور عين هاتين النقطتين في المستوى الإحداثي، ثم صل بينهما بخط مستقيم. الصادات، وقيمة س فيه صفر دائما. تحقق من فهمك مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا باستعمال المقطعين السيني والصادي: ٤ أ ) - س + ٢ ص = ٣ ٤ ب ص = ـ س ـ ٥ ب) لاحظ أن المعادلة في المثال ٤ لها مقطع سيني ومقطع صادي. إلا أن بعض المستقيمات قد يكون لها مقطع سيني ولا يوجد لها مقطع صادي أو بالعكس. فمثلا التمثيل البياني لـ ص = ب هو مستقيم أفقي له مقطع صادي فقط ( ما لم تكن ب = صفر)، ويكون موقع المقطع على النقطة ( ٠ ، ب) . والتمثيل البياني لـ س = أ هو مستقيم رأسي له فقط مقطع سيني ما لم تكن أ = ٠) ، ويكون موقع المقطع على النقطة (أ ، . ). وكل زوج مرتب يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة على المستقيم، لذا فالتمثيل البياني للمعادلة يمثل جميع حلولها. وأي زوج مرتب لا يجعل المعادلة صحيحة يمثل نقطة لا تقع على المستقيم. مثال ٥ التمثيل البياني بتكوين جدول مثل المعادلة ص = = س + ٢ بيانيًا. المجال جميع س J i = ( أ ) ( ، ب) م الأعداد الحقيقية. اختر قيمًا للمجال وكوّن جدولاً. ويفضل عندما يكون معامل س كسرا أن تختار أعدادًا من المجال تكون من مضاعفات المقام، ثم تكوّن أزواجًا مرتبة وتمثلها بيانيا. س سی +۲ (س، ص) + - (۱۳) ++ ( − ) === (۲۰) + (0 (۳ ،۳) ۲ + (۳) (٦، ٤) ۲ +(1) + تحقق من فهمك مثل بيانيًا كل معادلة فيما يأتي بتكوين جدول: ٥ أ) ٢س – ص الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية ۲ = ه ب) س ٣ = = ه جـ) ص ۲- : وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد مثال ۱ حدد ما إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم لا، وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: ۲ - ۲ س - ۳ = ص ٣ -٤ ص + ٦ = ٢ ۱) س = ص ٤) س - - ص = ٢ المثالان ۲ ، ۳ أوجد المقطعين السيني والصادي لكل دالة خطية فيما يأتي، ثم صف معنى كل منهما : °) زيادة درجات الحرارة (7 موقع غطاس الزمن (ثانية) | العمق (متر) ۲۵۳۰ ۳۵ الوقت (دقيقة) ٤ درجة الحرارة (ف) (س) (ص) ٢٤- ۱۸- ۱۲- 7- ۱۲ مثال ٤ (۷) مثل المعادلة : ٢ س - ٥ ص = ١ بيانيا باستعمال المقطعين السيني والصادي. مثال ٥ (۸) مثل المعادلة : س + ۲ ص = ٤ بيانيًا بإنشاء جدول. تدرب وحل المسائل مثال ۱ حدد ما إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم لا، وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: ٩) ٥س + ص ٢ = ٢٥ ۱) ۸ + ص = ٤ س (۱۱) ۹ س ص - ٦ س = ٧ (۱۳) ۱۲ س = ۷ ص – ۱۰ ص ١٤) ص = ٤ س + س ۱۲) ٤ص + ٩ = -٤ المثالان ۲ ، ۳ أوجد المقطعين السيني والصادي لكل دالة خطية فيما يأتي: (10 ٤ س + ٣ص = ١٢ م (17 3 ± 1 1- ۲ الدرس ٢-٣ تمثيل المعادلات الخطية بيانيا وزا٦٧لتعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال ٤ مثل كلا من المعادلتين الآتيتين بيانيًا باستعمال المقطعين السيني والصادي: ۱۷ ص = ٤ + ٢س ۱۷) مثال ٥ مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا بإنشاء جدول: ۱۹) س = ٢٠)ص = - ٤ (۱۸) ۵ - ص = - س - ۲۱) ۳س = ص حدد ما إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم لا، وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية: (۲۲) ۷ن - ٨م = ٤ - ٢م ۲۳) ۱۳ + ب - ۲ = ب ٢٤) ٢ س - س ص + ٥ ص = ١ 01) 1-4-0 ۲ن (٢٦) مبيعات راتب أيمن الشهري ٦٠٠٠ ريال، ويتقاضى عمولة قدرها ٥۰۰ ريال عن كل سيارة يبيعها. (أ) اكتب المعادلة التي تمثل الدخل الشهري لأيمن إذا باع س سيّارة. ب تقنية: كوّن جدولًا لتمثيل المعادلة بيانيًا باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية، ثم حدد مقطعها السيني والصادي. جـ) استعمل التمثيل البياني لتقدير عدد السيارات التي ينبغي عليه بيعها ليكون دخله الشهري ألف ريال. مثَّل كلًا من المعادلتين الآتيتين بيانيا: (۲۷) ص + پ س = ۳ (۲۸ ص - ٧ = ٤ س + ١ أوجد المقطعين السيني والصادي لكل من المعادلتين الآتيتين: ٢٩) ٥ س + ٣ ص = ١٥ مسائل مهارات التفكير العليا ۳۰) ص = - س + ۱ ۳۱) تحد: أكمل كل جدول مما يأتي، ثم حدد أي الجداول استعملت فيه معادلة خطية: محيط المربع طول الضلع مساحة المربع حجم المكعب المحيط طول الضلع المساحة طول الضلع الحجم (۳۲) تبرير بين نقاط الاختلاف في التمثيل البياني للمعادلة ص = ۲ س + ١ التي مجالها {١، ٢، ٣، ٤} والمعادلة ں = ۲س+١ التي مجالها جميع الأعداد الحقيقية. ص مسألة مفتوحة : أعط مثالا لمعادلة خطية على الصورة أس + ب صـ (۳۳) أ = . (٣٤) ب = ٠ = جـ لكل حالة مما يأتي: (٣٥ (٣٦) اكتب اشرح كيف تجد المقطعين السيني والصادي من معادلة خطية، ولخص طريقة تمثيل معادلة خطية بيانيا. ٦٨ الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدريب على اختبار ۳۷) يقطع مهند ۸ کیلومترات على دراجته الهوائية (۳۸) إذا كان لدى هند ۲۰۰۰۰ ریال مضى عليها عام هجري في ٣٠ دقيقة. ما الوقت الذي سيحتاج إليه لقطع ٣٠ كيلومترًا بهذا المعدل تقريباً؟ أ) ٨ ساعات. ب) ساعتان. كامل، فما مقدار الزكاة المستحقة على هذا المبلغ، علما بأن نسبة الزكاة هي ٢٥٪ ؟ أ) ٢٥ ريالًا. جـ) ٥٠ ريالًا. جـ) ٦ ساعات و ٣٢ دقيقة. د) ساعة واحدة و ٥٣ دقيقة. ب) ٥٠٠ ريال. د) ٥۰۰۰ ريال. مراجعة تراكمية (۳۹) إذا كان : د(س) = -۳س ۲ + ۸س – ۱ فأوجد د(۱). (الدرس ۲-۲) حل كلًّا من المعادلتين الآتيتين، ثم تحقق من صحة الحل: (الدرس ١-٥) (٤٠) | س +٥ | = - | ^- استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة حل كلا من المعادلتين الآتيتين، ثم تحقق من صحة الحل: ٤٢) ١٥ = ٤ أ - ٥ إذا كانت س = ۲، ص = ٥ ، ع = ۷ ، فأوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: ٤٤) ٣س ٢-٤ص (٤٥ ۲ ع ٤١) | ٨ - ٥ س | = ١٢ 1 = +9 (εr +(-2) (1) (27 ٤٧) ع ٢ - ص ٣ - ٥ س ٢ + الدرس ٢-٣ تمثيل المعادلات الخطية بيانيا و٦٩١لتعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل اختبار منتصف الفصل الدروس ٢ - ١ إلى ٢ - ٣ ۱) مثل العلاقة { (۳، ۱)، (۲ ، ٤ )، (١، ٥)، (٦ ، ٥) } بمخطط سهمي. (الدرس ۲-۱) (۲) حدّد كلًّا من مجال العلاقة التالية ومداها. (الدرس ٢-١) ٤) هل تمثل العلاقة الآتية دالة أم لا؟ فسّر ذلك. الدرس ٢-٢) المجال المدى س م (۳) اختيار من متعدد التمثيل البياني أدناه يوضح عدد السكان خلال عدة أعوام في مدينة. ه ) إذا كان هـ (س) = س٢ + ٥س – ١ ، فأوجد هـ (- ۱) + هـ (٢) (الدرس ۲-۲) حدد ما إذا كانت كل معادلة فيما يأتي خطية أم لا، وإذا كانت كذلك فاكتبها بالصورة القياسية (الدرس ٢-٣) (٦) ص = - ٤ س + ٣ ۷) س٢ + ٣ص = ۸ (٨ (۸) لإ س - - ص -۱ = } العام صف التمثيل البياني (الدرس ٢-١) عدد السكان أ) عدد السكان يزداد خلال الأعوام الممثلة. جميع ب) عدد السكان يتناقص خلال جميع الأعوام الممثلة. جـ) عدد السكان ثابت خلال جميع الأعوام. د) عدد السكان يتناقص في بعض الأعوام ويتزايد في أعوام مثْل كلَّا من المعادلتين الآتيتين بيانيًّا باستعمال المقطعين السيني والصادي: (الدرس ٢-٣) ۹) ص = ٣س - ٦ ۱) ۲س + ٥ ص = ١٠ مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيًا بإنشاء جدول (الدرس ٢-٣) (11 ۱۱) ص = - ۲ س ۱۲) س = ۸ – ص ۷۰ أخرى. الفصل ۲ : العلاقات والدوال الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446