خصائص الأعداد الحقيقية - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

1-1 خصائص الأعداد الحقيقية Properties of Real Numbers فيما سبق: لماذا؟ درست الأعداد الحقيقية يبيع محل للأدوات الرياضية 3 أنواع من الكرات بالسعر نفسه. إن شراء عدة أنواع لكل منها السعر نفسه يسهل عليك إيجاد المبلغ الإجمالي للشراء، وذلك باستعمال خاصية توزيع الضرب والعمليات عليها. (مهارة سابقة) والان - أصنف الأعداد الحقيقية. - أستعمل خصائص الأعداد على الجمع. أنواع الكرات رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 30 ريالًا 30 ريالا 30 ريالا العبارات الجبرية. الحقيقية لتبسيط قيم الأعداد الحقيقية: تتضمن الأعداد الحقيقية مجموعات مختلفة من الأعداد منها: . الأعداد النسبية هي الأعداد التي يمكن كتابتها على الصورة ، حيث a و b عددان صحيحان، والعدد 6 لا يساوي صفرًا. وتكون الصورة العشرية للعدد النسبي إما عددًا عشريًّا منتهيًا أو دوريًا. • الأعداد غير النسبية وتكون الصورة العشرية للعدد غير النسبي ليست منتهية وليست دورية. لذا فإنّ الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة هي أعداد غير نسبية. المفردات الأعداد الحقيقية real numbers الأعداد النسبية rational numbers الأعداد غير النسبية irrational numbers الأعداد الصحيحة integers الأعداد الكلية whole numbers الأعداد الطبيعية natural numbers −3, −2, −1, 0, مجموعة الأعداد الصحيحة هي : ...,3,2,1,1,2,3,...)، ومجموعة الأعداد الكلية هي: { ...,,,,, ومجموعة الأعداد الطبيعية هي : { ...,15، وكل منها مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد النسبية؛ وذلك لأن كل عدد صحيح " يمكن كتابته على الصورة . n الأعداد الحقيقية (R) مفهوم أساسي الأعداد الحقيقية R الرمز المجموعة Q Z I W I N Z W N Q الأعداد النسبية الأعداد غير النسبية الأعداد الصحيحة الأعداد الكلية الأعداد الطبيعية n أمثلة أضف إلى مطويتك ³ 0.125,- 7 } = 0.66... 2 = T = 3.14159... √√3 = 1.73205... -5, 17,-23, 8 2, 96, 0, √√36 3, 17, 6, 86 مثال 1 تصنيف الأعداد إرشادات للدراسة حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي: ( 23 مجموعة الأعداد الصحيحة (Z) ، مجموعة الأعداد النسبية (Q) ، مجموعة الأعداد الحقيقية (R) تصنيف الأعداد يمكن أن ينتمي العدد إلى أكثر من مجموعة أعداد، فمثلا يُعد أي عدد طبيعي عددًا كليا وصحيحًا، ونسبيًّا، وحقيقيا. (b (C 9 50 مجموعة الأعداد غير النسبية (I) ، مجموعة الأعداد الحقيقية (R) - مجموعة الأعداد النسبية (Q)، مجموعة الأعداد الحقيقية (R) تحقق من فهمك -185 (1A 6 (1D 7 √95 (1C -√49 (1B 12 الفصل 1 الدوال والمتباينات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

خصائص الأعداد الحقيقية يلخص الجدول الآتي بعض خصائص الأعداد الحقيقية: ملخص المفهوم : خصائص الأعداد الحقيقية لأي أعداد حقيقية فإن : الجمع الضرب الخاصية التبديلية التجميعية العنصر المحايد النظير الانغلاق التوزيع a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a = 0 + a a + (-a) = 0 = (−a) + a ab عدد حقيقي أضف إلى مطويتك a.b = b.a (a•b)• c = a. (b. c) а . 1 = a = 1.a 1 а . а 1 • ½ ½ = 1 = ½ ½ · a, a ± 0 1 a ab عدد حقيقي ab + c = ab + ac, (b + a = ba + ca مثال 2 تمييز خصائص الأعداد الحقيقية ما الخاصية الموضّحة في 13 . 4 . 5) = (13 . 4) . 5 ؟ الخاصية التجميعية في عملية الضرب. وتنص الخاصية التجميعية لعملية الضرب على أن ناتج الضرب لا يتأثر بالطريقة التي يتم بها تجميع العوامل. تحقق من فهمك 2(x+3)=2x+6 (2 إرشادات للدراسة النظير الجمعي والنظير الضربي إشارة النظير الجمعي لعدد هي عكس إشارة يمكنك إيجاد النظير الجمعي لأي عدد، والنظير الضربي لأي عدد حقيقي لا يساوي الصفر. مثال 3 النظير الجمعي و النظير الضربي أوجد النظير الجمعي والنظير الضربي للعدد 5 8 5 8 - بما أن 0 = + - ، فإن النظير الجمعي للعدد ة - هو ذلك العدد، أما إشارة النظير الضربي لعدد فهي ذاتها إشارة ذلك وبما أن 1 = - - ) ، فإن النظير الضربي للعدد . 5 للعدد – هو - 8 5 العدد. تحقق من فهمك 1.25 (3A 2 (38) وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1-1-213

antivirus NOD32 الربط مع الحياة زادت ملحقات أجهزة الحاسوب على نحو مطرد في السنوات الأخيرة، حتى أصبح الحاسوب يقوم مقام الكثير من الأجهزة الإلكترونية كآلات التصوير والتسجيل وغيرها. 14 تتطلب الكثير من التطبيقات الحياتية التعامل مع الأعداد الحقيقية. مثال 4 من واقع الحياة خاصية التوزيع مبيعات يبين الجدول المجاور أسعار جهاز حاسوب وملحقاته في أحد العروض. فإذا زاد السعر الأصلي للجهاز وملحقاته، بنسبة %6 فأوجد قيمة هذه الزيادة. يمكن إيجاد قيمة هذه الزيادة بطريقتين هما: الجهاز أو الملحق السعر (بالريال) حاسوب شاشة آله طابعة كاميرا رقمية برمجيات ملحقة 1000 600 500 150 300 الطريقة 1: اضرب ثم أجمع . اضرب كل قيمة في %6، أو 0.06، ثم اجمع. T= 0.06(1000) + 0.06(600) + 0.06(500) + 0.06(150) + 0.06(300) = 60 +36 + 30+9+18 الطريقة 2 : اجمع ثم اضرب. = 153 أوجد السعر الكلي لجهاز الحاسوب وملحقاته قبل الزيادة ، ثم اضربه في العدد 0.06 T = 0.06(1000 + 600 +500 + 150 + 300) = 0.06(2550) = 153 فتكون قيمة الزيادة 153 ريالًا . لاحظ أن النتيجة متساوية في الطريقتين. تحقق من فهمك (4) أعمال يتقاضى أحمد 20 ريالًا عن كل ساعة عمل في محل تجاري. أحد الأسابيع هي فإذا كانت ساعات عمله في المبلغ الذي حصل عليه أحمد في ذلك الأسبوع؟ 6 La 4, 3, 2.5, 3, 4 يمكنك استعمال خصائص الأعداد الحقيقية لتبسيط العبارات الجبرية. الفصل 1 الدوال والمتباينات مثال 5 تبسيط العبارات الجبرية بسط العبارة: (71 - 2q + r) + 5(4q)3 - 3(2q + r) + 5(4q − 7r) = 3(2q) + 3(r) + 5(49) − 5(7r) = 6q+3r+20q - 35r = 6q + 209 + 3r - 35r = (6+20)q+(3 - 35)r = 269-32r تحقق من فهمك .3(4x-2y)-2(3x + y) (5 اليوم ساعات العمل الأحد الإثنين الثلاثاء الأربعاء الخميس 4 3 2,5 3 4 خاصية التوزيع اضرب الخاصية التبديلية للجمع خاصية التوزيع بسط وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

√√11 (3 -12 (4 مثال 1 حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي: 62 (1 57 (21 مثال 2 ما الخاصية الموضحة في كل مما يأتي؟ 7(95) 7.9-7.5 (6 (125)6 12.6+5.6 (8 √√5 (12 الصنف السعر (بالريال) قميص بنطال ثوب معطف 40 60 100 200 3.8 (11 (6.8) 5 6 (8.5) (5 • = 8416 16+84 (7 = مثال 3 أوجد النظير الجمعي والنظير الضربي لكل عدد مما يأتي: (10) و -7 (9 مثال 4 13 تخفيضات يبين الجدول المجاور أسعار أربعة أصناف من الملابس أحد العروض. فإذا زاد السعر الأصلي لكل منها بنسبة %8 فأوجد قيمة 6(6a5b)3(4a+7b) (15 هذه الزيادة. مثال 5 بسط كل عبارة مما يأتي: 5(3x+6y)+4(2x-9y) (14 -5(8x - 2y) — 4(-6x — 3y)(17 - -4(6c3d)-5(-2c-4d) (16 مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد مما يأتي: 0.61 (21 √25 (20 -8.13 (19 √17 (25 7 21 (24 -√144 (23 8√√/11 + 5√√11 = (8+5)√√11 (27 22' (77})() = = 1 (29 22 -0.25 (32 √15 (35 تأكد تدرب وحل المسائل مثال 1 حدد 4303 1 128) (22 مثال 2 ما الخاصية الموضحة في كل مما يأتي ؟ -7y + 7y = 0 (26) (167) +23 16+ (7+23) (28 = مثال 3 أوجد النظير الجمعي والنظير الضربي لكل عدد مما يأتي: 12.1 (31 → 333 (34 −8 (30 6 (33 13 مثال 4 (36 ترشيد : يبين الجدول المجاور أوجه إنفاق إحدى الأسر خلال شهر. وجه الإنفاق المبلغ (بالريال) إذا قررت الأسرة ترشيد إنفاقها بنسبة 15% من كل وجه لشراء سيارة الطعام والشراب جديدة، فما مقدار ما توفره في الشهر؟ المواصلات 3000 1000 • الفواتير 500 أخرى وزارة الت750لية Ministry of Education الدرس 1-11 - 215

مثال 5 بسط كل عبارة مما يأتي: -2a9d5a6d (38 6(9a 3b) -8(2a + 4b) (40 - -5(10x+8z) — 6(4x — 7z) (42 - 8b3c4b9c (37 4(4x — 9y) + 8(3x+2y) (39 - −2(−5g + 6k) — 9(−2g+4k) (41 (43) كرة قدم : وضّح خاصية التوزيع من خلال كتابة عبارتين تمثلان مساحة الملعب في الشكل أدناه. ثم 55m 55m 49m أوجد مساحته. نوع السلعة (44) تخفيضات يبين الجدول المجاور أسعار بعض الأجهزة الكهربائية في محل . فإذا انخفض سعر كلِّ منها بنسبة %30، وأراد جهاز تسجيل أحمد أن يشتري من ذلك المحل جهاز تسجيل ومكنسة ومروحة. وضح خاصية التوزيع من خلال كتابة عبارتين تمثل كل منهما المبلغ الذي سيدفعه أحمد. مكنسة مروحة السعر (بالريال) 170 350 110 احسب المبلغ الذي سيدفعه أحمد بطريقتين مختلفتين مستعملاً خصائص العمليات على الأعداد. بسط كل عبارة مما يأتي: - (6c − 8d) + 2 (4c-9d) (46 -9(3x+8y)-3(5x+10z) (48 (5x+8y) + (6x-2y) (45 -6(3a5b)-3(6a-8c) (47 (49) ديكور يريد محمد شراء 5 ستائر لنوافذ منزله نافذتان كبيرتان، و 3 نوافذ صغيرة . فإذا كانت النافذة الكبيرة تحتاج إلى ستارة طولها 3m من القماش، في حين تحتاج النافذة الصغيرة إلى ستارة طولها 2m من القماش. كم مترًا من القماش يحتاج إليه محمد ؟ 4 استعمل خصائص الأعداد الحقيقية لتبين كيف يمكن لمحمد حساب كمية القماش التي يحتاج إليها ذهنيا. (50) أجب عما يأتي: -15 تمثيلات متعددة : مستعملا الأعداد: 1,036 ,12 ,3 ,76 - . -V6, 3 (۵ جدوليًا : نظم هذه الأعداد في جدول وفقًا لمجموعة الأعداد التي تنتمي إليها. ( جبريًا: اكتب كل عدد من الأعداد أعلاه على الصورة العشرية، ثم رتبها تصاعديا. بيانيًا مثل هذه الأعداد على خط الأعداد. : d لفظيًّا : اكتب تخمينا حول ترتيب الأعداد الحقيقية باستعمال الصورة العشرية لها. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 1 الدوال والمتباينات 16

√81 √67 مسائل مهارات التفكير العليا (51) ما العدد المختلف عن باقي الأعداد؟ وضح إجابتك. √35 V21 (52) تحد أوجد قيمة العبارة 3 + 4830 بدلالة 20 ، 48306 6 علما بأن ( 125 = 2 . .W (53) اكتشف الخطأ: بسطت كل من فاطمة وخديجة العبارة : 64 - 10 – 14a)4. فهل أي منهما تبسيطها صحيح ؟ وضح إجابتك. فاطمة خديجة 4(14a - 10b) – 6(b + 4a) = 56a-40b-6a-246 = 50a-64b 4(14a - 10b) – 6(b + 4a) = 56a-406 - 6b + 24a = 80a-466 (54 تبرير هل العبارة الآتية صحيحة أحيانًا ، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا. وضّح إجابتك. " العدد غير النسبي يتضمن رمز الجذر". (55) مسألة مفتوحة: حدد إذا كانت خاصية الانغلاق للضرب تنطبق على الأعداد غير النسبية. وإذا لم تكن كذلك، فأعط مثالا مضادا. 56) اكتب اشرح وأعط أمثلة توضّح أن عمليتي الطرح والقسمة لا تحققان الخاصية التبديلية. 58) ما أبسط صورة للعبارة: y - 3y - 2x - )2 - 4 C -4x-5y D وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1-11-217 - 5x 8y A 8x - 5 B § تدريب على اختبار (57 ما الحد العاشر في المتتابعة ... 247,111 56 C 72 D 46 A 67 B مراجعة تراكمية (59) أوجد قيمة 23 - 84 (مهارة سابقة) أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) (x+2)(x-3) (60 - أوجد قيمة كلّ مما يأتي؛ علما بأن 1.7 = = a = 3, b (مهارة سابقة) (b-7)(b 3) (61 ― a. .b (63 C } b + 1 (62