المعادلات - الرياضيات 1 - ثالث متوسط

رابط الدرس الرقمي فيما سبق درست العبارات الجبرية وتبسيطها. والآن المعادلات لماذا؟ سجل المنتخب السعودي لكرة القدم 3 أهداف في إحدى مبارياته في الشوط الأول، وانتهى اللقاء لصالحه بـ ٤ أهداف مقابل صفر. يمكن أن تمثل التغير في عدد الأهداف بالجملة: ٤- + س = 4 . أحل معادلات ذات متغير ويمثل العدد ١ حلًّا لها؛ أي أن المنتخب سجل هدفًا واحد. أحل معادلات ذات متغيرين. المفردات الجملة المفتوحة المعادلة حل الجملة المفتوحة مجموعة الحل المجموعة العنصر مجموعة التعويض المتطابقة واحدًا في الشوط الثاني. 25 27 www.ien.edu.sa حل المعادلة : الجملة الرياضية التي تحتوي على عبارات جبرية ورموز تسمى جملة مفتوحة، وإذا احتوت على إشارة المساواة )) فإنها تسمّى معادلة. V عبارة جبرية س + ۷ س س + ۷ = ۱۳ معادلة وعملية إيجاد قيم المتغير التي تجعل الجملة صحيحة تُسمى حل الجملة المفتوحة. وتمثل كل قيمة منها أحد الحلول ومجموعة هذه الحلول تُسمى مجموعة الحل. المجموعة هي تجمع أشياء أو أعداد تُكتب غالبًا بين القوسين { }، ويفصل بين كل منها (،) ، ويُسمى كل منها عنصرًا. أما مجموعة التعويض فهي مجموعة الأعداد التي نعوض بها عن قيمة المتغير لتحديد مجموعة الحل. ۱۲ مثال استعمال مجموعة التعويض أوجد مجموعة حل المعادلة ٢ ك + ٥ = ١٣ إذا كانت مجموعة التعويض هي استعمل الجدول المجاور لتجد الحل. ۱۳ عوض عن ك في المعادلة ٢ ك + ٥ = ١٣ بجميع قيم مجموعة التعويض بما أن المعادلة صحيحة عندما ك = ٤ ، فإن حل المعادلة ۲ك + ٥ = ١٣ هو ك = ٤ وتكون مجموعة الحل : {٤}. ك + . ٢، ٣، ٤، ٦،٥ صحيح أم خطأ؟ ۱۳ = خطأ خطأ صحيح خطأ خطأ ۱۳ = 5 + (۲) ۲ ۲ ۱۳ = 5 + (۳) ۲ ١٣ = 5 + (٢)٤ ١٣ = 5 + (٢)٥ ١٣ = 5 + (٢)٦ ه تحقق من فهمك أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض {۰، ۱، ۲، ۳ : i1) ٨م – ۷ ۱۷ = ۷ اب) ٢٨ = ١٤ + د) الفصل ۱: المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

يمكنك أحيانًا استعمال ترتيب العمليات لحل المعادلات. مثال ۲ من اختبار ما حلُّ المعادلة : ٦ + (٢٥ - ٥) : ٢ = ب؟ أ) 3 اقرأ فقرة الاختبار ب) ٦ جـ) ۱۳ د) ١٦ تحتاج إلى تطبيق ترتيب العمليات على العبارة لحل المعادلة وإيجاد قيمة ب. حل فقرة الاختبار ٦ + (٢٥ - ٥) : ٢ = ب المعادلة الأصلية ٦ + ( ٢٥ - ٥) : ٢ = ب حساب القوى ٦ + ۲۰ : ۲ = ب طرح ٥ من ٢٥ 1 = 1 + + 7 C = 17 J. J. قسمة ٢٠ على ٢ اجمع، إذن الحل الصحيح هو د. تحقق من فهمك ٢ ما حل المعادلة : ت = ۲۹ : (٥ - ۲)؟ أ) ٣ ب) ٦ جـ) ١٤٢ د) ۲۷ بعض المعادلات لها حل وحيد، وبعض المعادلات لا حل لها. مثال ٣ حلول المعادلات حل كل معادلة فيما يأتي: قراءة الرياضيات لا يوجد حل الرمز الذي يمثل عدم وجود حل للمعادلة هو 8 ويقرأ «فاي». أ) ٧ - (٢٤ - ١٠) + ن= ١٠ V ( - (٢٤ - ١٠) + ن = ١٠ ۱) 1. ٧ - ( ١٦ - ١٠) + ن = ۱۰ 3+ (11-17) - - ٦ + ن = ١٠ = j +1 المعادلة الأصلية حساب القوى طرح ١٠ من ١٦ طرح ٦ من القيمة الوحيدة لـ ن التي تجعل المعادلة صحيحة هي ۹ . لذا يكون لهذه المعادلة حل وحيد هو (۳ ب ن (۳) + (٢ ٦ = ٥ن + (١٠ - ٣) ن (۳) + ٢) + ٦ = ه ن + (١٠ - ٣) المعادلة الأصلية ن (٥) + ٦ = ٥ن + ٧ 7+(0)j ه ن + ٦ = ٥ن + ٧ اجمع ۲۳ ، اطرح ٣ من . خاصية الإبدال في الضرب لاحظ أنه عند تعويض أي عدد حقيقي بدلا من ن، سيكون الطرف الأيمن للمعادلة أقل من الطرف الأيسر بواحد دائمًا . لذا لا يمكن أن تكون المعادلة صحيحة، وبالتالي فإنه لايوجد حل لها. تحقق من فهمك حُلَّ كلًا من المعادلتين الآتيتين: (٤ p(x − 0) = p + (ε + \^) (ir - م ب ٤٨ × ك + ٥٩ = ( ٣٦ - ٤ ) ك - (٥٢) الدرس ۱-۱ : المعادلات وزا٣ التعليم Ministry of Education 2024-1446

قراءة الرياضيات المتطابقة : هي معادلة طرفاها متكافئان دائما . تُسمى المعادلة التي تكون صحيحة لجميع قيم المتغير فيها متطابقة . ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية. مثال ٤ المتطابقات حل المعادلة : ( ۲ ) ٥ - (٨) ( هـ ( ( (٦) = [(٢هـ + هـ) + ٦] ٢ . (۲ × ۰ - ۸) (٣) هـ + (٦) = [(٢هـ + هـ ) + ٢٦ المعادلة الأصلية ١٤ (۱۰ - ۸)(٣هـ + (٦) = [(٢هـ + هـ) + ٦]٢ اضرب ٢×٥ (٣هـ + ٦) = [(٢هـ + هـ) + ٦]٢ طرح ٨ من ١٠ ٦ هـ + ١٢ = [(٢هـ + هـ ) + ٦]٢ خاصية التوزيع اجمع ٢ هـ + هـ خاصية التوزيع ٦ هـ + ١٢ = [٣هـ + ٦]٢ ٦هـ + ١٢ = ٦هـ + ١٢ بما أن الطرف الأيمن للمعادلة يساوي الطرف الأيسر لها، فليس مهما أن تعوض أي قيمة بدلًا من هـ ؛ لذا فالمعادلة دائمًا صحيحة، ويكون حلها مجموعة الأعداد الحقيقية. تحقق من فهمك حل كلا من المعادلتين الآتيتين: أ ب (۱) - ٥ = ب - ۲ ٤ ب ) ه - - (جـ - ٦) = ٤ حل معادلات بمتغيرين تحتوي بعض المعادلات على متغيرين؛ لذا من المفيد تكوين جدول للقيم واستعمال التعويض لإيجاد قيم المتغير الثاني، إذا علمت قيمة المتغير الأول. مثال ه معادلات تحتوي متغيرين اتصالات يدفع حمزة ٣٥ ريالًا شهريًا رسوم اشتراك في خدمة الهاتف الجوال، بالإضافة لـ ٠,٢٥ ريال لكل دقيقة اتصال. اكتب معادلة وحلها لإيجاد المبلغ الذي سيدفعه هذا الشهر إذا علمت أنه اتصل مدة ٨٠ دقيقة. رسم اشتراك الخدمة مقدار ثابت، والتغير هو في عدد دقائق الاتصال؛ لذا فالمبلغ الذي سيدفعه مقابل ۸۰ دقيقة اتصال هو حاصل ضرب ٠,٢٥ في ٨٠ لنفرض أن (ك) هو المبلغ الكلي الذي سيدفعه حمزة الخدمة والاتصال مدة ۸۰ دقيقة، و(م) هي مدة الاتصال. مقابل رسوم ك = ٠,٢٥م + ٣٥ ro + (^.) •, Yo= ٢٠ + ٣٥ = 10= إذن سيدفع حمزة ٥٥ ريالًا هذا الشهر. تحقق من فهمك المعادلة الأصلية عوض ۸۰ بدلًا من م اضرب اجمع ٥) سفر: يقود رامي سيارته بمعدل ١٠٤ كلم في الساعة. اكتب معادلة وحلها لإيجاد الزمن الذي الفصل ۱: المعادلات الخطية سيستغرقه للسفر مسافة ٣١٢ كلم. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد مثال ۱ أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض {١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥}: ۱) ن + ۱۰ = ۲۳ =۷ (۲ ۳) ۲۹ = ۳س - ۷ ٤) (ك - ١٢٨ = ٨٤ مثال ۲ ه اختيار من متعدد ما حل المعادلة هـ = ٢؟ ۲؟ 0+ أ) 10 ب) ١٥ ج) ۲۰ المثالان ٣، ٤ حُلَّ كل معادلة فيما يأتي: د) ٢٥ 3 + (٦) = س (٦ ۲ : ۱۰ + ۲ = ۴۲۲ + ۵ (۸ ) ١٤ - ٨٢ = و ) ۹) (۲ × ٥) + = = ج : (۹۱ + ۲) + ۱۰ مثال ه ۱۰) تدوير لتدوير الدهان غير المستعمل، يتم خلط ٥ جالونات من الدهان ثم وضعها في عبوة واحدة. اكتب معادلة وحلها لإيجاد عدد العبوات التي تسع ۳۰۰۰۰ جالون من الدهان. تدرب وحل المسائل مثال ۱ أوجد مجموعة الحل لكل معادلة فيما يأتي إذا كانت (ص) تنتمي إلى مجموعة التعويض {١، ٣، ٥، ٧، ٩ ، (ع) تنتمي إلى مجموعة التعويض {١٠، ١٢، ١٤، ١٦، ١٨: 6 (11 ۱۱) ع + ۱۰ = ۲۲ ١٢) ٥٢ = ٤ع (۱۳ ١٤ ١٧ = ٢٤ - ص الأمثلة ٢-٤ حُلّ كل معادلة فيما يأتي: ۱۷ ) أ = ۳۲ - ۹(۲) (۱۹ ٥ + ۲۷ ܪܙ (17 TV ١٥ ٢ع - ٥ = ٢٧ ١٦) (۱٥) - (۱۸) و = ٥٦ : (٢٢ + ٣) (٢٠) أ (٥٦ V + (1-12)2 ٣)٦( - ٥ ٢١) (٤ - ٢٢ + ٥) و = ٢٥ + ۷ (۲۲ س ٤(ص + ١) = ٤٠ ۳ = (۸ : ۳۲ + (۳) - - : ۲ - - ٢٥) ( ) ( ) ( ۱ - ۱۲) = ۱۵ ن + ۲۳ ٢٤ ٦ك + (۳) × ۱۰ - ۸) = (۳۲) ك + ۲۲ LA) XX+1 - (B+^ - 1) = c + ( v × 1b + *) ۲۲×۳ 18 (٢٦ ر V +9 ر ۲۷) مدرسة تتسع قاعة الاجتماعات في مدرسة لـ ٤٥ شخصًا على الأكثر. فإذا أراد مدير المدرسة ورائد النشاط والمرشد الطلابي الاجتماع ببعض الطلبة، شريطة أن يُحضر كل طالب ولي أمره. فما أكثر . من الطلبة يمكن أن يحضر الاجتماع؟ (۲۸) هندسة : ثماني منتظم محيطه ۱۲۸سم، أوجد طول ضلعه. المعادلات وزاة التعليم الدرس ۱-۱ : Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة مثال ٥ (۲۹) لياقة يتمرن رياضي كتلته ٩١ كجم ٤ ساعات يوميًا ويحتاج إلى ٢٨٣٦ سعرا حراريا للحصول على الطاقة الأساسية اللازمة له. كما يحتاج خلال التدريب إلى ۳۰۹۱ سعرا حراريا إضافيًا. اكتب معادلة لإيجاد السعرات الحرارية الكلية ك اللازمة لهذا الرياضي، ثم حلها. كون جدولا لقيم كل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض {-۲، ۱، ۰، ۱، ۲} ۳۰) ص = ۳ س – ۲ - ۳۱ ۳۲ س + ٠,٧٥ = ص حُلَّ كل معادلة فيما يأتي باستعمال مجموعة التعويض المعطاة: ۳۲) ت - ۱۳ = ۷؛ {۱۰، ۱۳، ۱۷ ، ۲۰} (٣٤ ٢٢ = ؛ {٦٢، ٦٤، ٦٨،٦٦ ، ٧٠} حل كل معادلة فيما يأتي: (٣٥ ۲ - (۹)۳ 2 + 1 =د ( جـ + (۲۳ - ۳) = ۲۱ نے ٣٣ ١٤ - ٥ - ١٢٦؛ {٣، ٤، ٥، ٧،٦ ٣٦ جـ = ۱٥ : ۳ × ٥ - ٢٤ ۳۸) (۳۳۳ ) + ( ۲۲ ) ب = ٢٤ حدد إذا كان العدد المعطى بجانب كل معادلة فيما يأتي يمثل حلًا لها أم لا. يتناول الرياضي في أثناء التدريب وجبة معينة تزوده (۳۹ س 9810=7+ بالسعرات الحرارية الضرورية ٤٢ ) ك = ٢٠، ١٠ وتتكون من: ٦٩ كربوهيدرات، ٤٠) ٢١ ص = ١٤٤٢٦ = ٤٣ ٤) 11-85- = ٤١) ٢ ت - ١٠ = 4؛ 3 ٤٤ - ٤ = ١٢، ٤٨ - %۲۰ دهونًا، ١١٪ بروتينا. كوّن جدولاً لقيم كل معادلة فيما يأتي إذا كانت مجموعة التعويض للمتغير س هي: {-۲، -۱، ۰، ۱، ۲}. ٤٥ ص = ٣س + ٥ ٤٦ - ٢ س - ٣ = ص ٤٧) ص = +س+٢ ۲ (٤٨) هندسة : مستطيل يزيد طوله على عرضه ۲سم. ومثلث متطابق الضلعين طول قاعدته ۱۲سم، ويزيد طول كل من ضلعيه الآخرين اسم على عرض المستطيل. أ) ارسم كلاً من المستطيل والمثلث، واكتب أبعادهما. ب) اكتب عبارتين لإيجاد محيط كل من المستطيل والمثلث. جـ) أوجد عرض المستطيل إذا كان له محيط المثلث نفسه. 49) إنشاءات: يحتاج بناء كل طابق في إحدى البنايات إلى ١٠ أطنان من الحديد. أ) عرّف متغيرا، واكتب معادلة لإيجاد كمية الحديد الضرورية لبناء ١٥ طابقًا. ب كم طنا من الحديد يحتاج إليه البناء؟ ٥٠) و تمثيلات متعددة ستكتشف من خلال حل هذه المسألة المزيد حول طريقة كتابة المعادلات. أ) حسيًّا : استعمل المكعبات السنتمترية لبناء مجسم يشبه المجسم المجاور. ب جدوليًّا : انقل الجدول المبين أدناه إلى دفترك، وأكمله بتسجيل عدد طبقات المجسم والمكعبات المستعملة في ذلك. 17 الفصل ۱: المعادلات الخطية عدد الطبقات 1 عدد المكعبات ؟ ؟ ٤ S V ؟ ؟ ؟ تحليليا : كيف يتغير عدد المكعبات في المجسم كلما زادت الطبقات؟ د جبريا : اكتب قاعدة لإيجاد عدد المكعبات بدلالة عدد طبقات المجسم. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا ٥١) مقارنة : قارن بين المعادلة والعبارة الجبرية. ٥٢) مسألة مفتوحة : اكتب معادلة تمثل متطابقة. (٥٣) اكتشف الخطأ : حلَّ عصام وعدنان المعادلة : س= ٣٤ - ٦٢ - ٨ كما هو مبين أدناه. أيهما على صواب؟ وضّح إجابتك. س = ٣٤ - ٢ ) + ٦ : ٨ 1÷7+ (1)ε = 1÷7+2= י عدنان س = ٣٤ - ٢ ) + ٨٦ 1÷7+ (1)ε = 1÷7+2= ^ ÷ 1. = 을 (٥٤ تحد : أوجد جميع حلول المعادلة: س٢+ ٥ = ٣٠. ٥٤) (٥٥) اكتب : فسِّر كيف تحدد أن معادلة ما ليس لها حل حقيقي، وأن حل معادلة أخرى هو مجموعة الأعداد الحقيقية. تدريب على اختبار ٥٦ ) اختيار من متعدد يتوقع أن يحضر الحفل المدرسي ٦٥٪ ٥٧) هندسة: تحرك قارب بخاري وآخر شراعي من الميناء من الطلاب. فإذا كان عدد الطلاب ۳۰۰ طالب، فكم طالبًا نفسه. . ويبين الشكل أدناه حركتيهما. فما المسافة بين القاربين؟ كلم القارب الشراعي يتوقع حضورهم؟ أ ) ٥٠ طالبًا جـ) ١٠٥ طلاب أ ) ١٢ كلم ب) ٦٥ طالبًا د) ١٩٥ طالبًا ب) ١٥ کلم جـ) ۱۸ کلم د) ٢٤ كلم القارب البخاري استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة أوجد النظير الجمعي لكل من الأعداد الآتية: ٥٨( ٣ ۱۰ 10- (٥٩ أوجد النظير الضربي لكل من الأعداد الآتية: ٦١( ٢ (7. - (٦٣ ٦ كلم الميناء ٤ كلم كلم الدرس ۱-۱ : المعادلات وزا٧ التعليم Ministry of Education 2024-1446