المتتابعات والمتسلسلات الهندسية - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

المتتابعات والمتسلسلات الهندسية Geometric Sequences and Series 6-3 www.ien.edu.sa فيما سبق درست تمييز المتتابعة اليماذا؟ خلال بحثه في الإنترنت، وجد أحمد“ موضوعًا عن العلاج بالأعشاب، فقام الهندسية الدرس (1-6) بإرساله إلى خمسة من أصدقائه عن طريق البريد الإلكتروني، ومن ثم قام كل واحد منهم بإرسال الموضوع إلى خمسة أصدقاء آخرين، وهكذا قام كل من استلم البريد بإرساله إلى خمسة أصدقاء جدد. إذا استمر إرسال الموضوع بهذا النمط، فما عدد الأشخاص الذين سيصلهم هذا الموضوع في المرحلة والان . أجد حدود متتابعة هندسية وحدها النوني . أجد أوساطا هندسية. . أجد مجموع حدود متسلسلة هندسية منتهية. المفردات: الأوساط الهندسية الثامنة ؟ المتتابعات الهندسية كما هو الحال في المتتابعات الحسابية، فإن للمتتابعات الهندسية صيغة للحد النوني تُستعمل لإيجاد قيمة أي حد من حدودها. مفهوم أساسي الحد النوني في المتتابعة الهندسية تُستعمل الصيغة الآتية للتعبير عن الحد النوني في متتابعة هندسية حدها الأول 41 ، أضف إلى بتك geometric means المتسلسلة الهندسية geometric series 138 وأساسها ، حيث 11 عدد طبيعي 1-1 an = agr ستشتق صحة هذه الصيغة في السؤال (39) مثال 1 من واقع الحياة إيجاد الحد النوني في متتابعة هندسية بريد إلكتروني : في المسألة الواردة في فقرة "لماذا؟“، ما عدد رسائل البريد الإلكتروني المرسلة في المرحلة الثامنة ؟ افهم: تريد إيجاد عدد الرسائل في المرحلة الثامنة، حيث أرسل أحمد خمس رسائل في المرحلة الأولى، وفي المرحلة الثانية أرسل كلّ شخص من الخمسة الرسالة إلى خمسة أشخاص آخرين، وهكذا (مع مراعاة أن كل شخص استلم رسالة واحدة). خطط : يُشكّل عدد الرسائل المرسلة في كل مرحلة متتابعة هندسية أساسها 5 = r، لذا استعمل صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية. حل الحد النوني في المتتابعة الهندسية 4 = agr" - 1 a₁=5,r 5, n = 8 4g = 5(5) 8 - 1 57 = 78125 ag =5(78125) = 390625 وعليه فإن عدد الرسائل المرسلة في المرحلة الثامنة هو 390625 رسالة. تحقق اكتب الحدود الثمانية الأولى من المتتابعة ، بالضرب في أساس المتتابعة. 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625 تحقق من فهمك 1 أمطار في أثناء هطول الأمطار ونزولها من أعلى تلّةٍ إلى أحد الوديان صنعت الأمطار مجرى لها في الوادي طوله 40in ، إذا كان هذا المجرى يتسع كل يوم ثلاثة أمثال اليوم السابق له، فكم سيبلغ اتساع المجرى في اليوم الخامس في حالة استمرار هطول الأمطار بهذا المنوال؟ الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إذا علمت بعض حدود المتتابعة الهندسية، فإنه يمكنك إيجاد صيغة الحد النوني لها. مثال 2 كتابة صيغة الحد النوني لمتتابعة الهندسية اكتب صيغة الحدّ النوني لكل من المتتابعتين الهندسيتين الآتيتين: 0.5, 2, 8, 32, ... (a الحد الأول 0.5، والأساس " يُستخرج كما يأتي: 4 = B = r الحد النوني في المتتابعة الهندسية a = a₁rn-1 41 = 0.5, r = 4 4 = 0.5 (4)" - 1 a4=5, r=6 (b الخطوة 1: إيجاد 41 an = a rn - 1 5=a₁(64-1) 5 216 = a1 الخطوة 2 كتابة الصيغة الحد النوني في المتتابعة الهندسية a=5, r=6, n=4 أوجد قيمة 63 ثم اقسم عليها الحد النوني في المتتابعة الهندسية 4 = a rn - 1 5 a1 216 r=6 an = 5 216 (6)"-1 تحقق من فهمك -0.25, 2, -16, 128, ... (2A 43 = 16, r = 4 (28) وكما في الأوساط الحسابية، فإن الأوساط الهندسية هي الحدود الواقعة بين حدين غير متتاليين في متتابعة هندسية، ويمكنك استعمال أساس المتتابعة الهندسية لإيجاد الأوساط الهندسية. مثال 3 إيجاد الأوساط الهندسية أوجد ثلاثة أوساط هندسية بين العددين 21250 إرشادات للدراسة أساس المتتابعة الهندسية يمكن بسهولة استنتاج قاعدة تساعد على إيجاد أساس المتتابعة الهندسية (1) إذا علم حدَّان من حدودها anam an 1-m= am الخطوة 1: بما أنه يوجد ثلاثة أوساط هندسية بين الحد الأول والحد الأخير، فإن عدد حدود المتتابعة هو 25 + 3 ، ولذلك يكون 5 = n . الخطوة 2: أوجد قيمة r 4 = a rn - 1 1250 = 2r 5-1 +5 = r الحد النوني في المتتابعة الهندسية a=1250, a₁ = 2, n = 5 اقسم الطرفين على 2 ثم أوجد الجذر الرابع الخطوة 3: استعمل r لإيجاد الأوساط الهندسية الثلاثة: 2 10 50 250 1250 أو 2 -10 -250 50 1250 احسا x5 X5 X5 X5 X-5 x 5 x-5 x-5 10, 50, 250, -10, 50, -250: إذن الأوساط الهندسية هي تحقق من فهمك (3) أوجد أربعة أوساط هندسية بين العددين 05512 وزارة التعليم الدرس 3-6 المتتابعات والمتسلسلات الهندسية 139 2024-1446

المتسلسلات الهندسية : يمكنك الحصول على المتسلسلة الهندسية بوضع إشارة الجمع (+) بين حدود المتتابعة الهندسية. ويُرمز لمجموع أول " حدا في المتسلسلة بالرمز. ويمكنك إيجاده باستعمال أي من الصيغتين الآتيتين: مفهوم أساسي المجموع الجزئي في متسلسلة هندسية أضف الى تطويتك S مجموع أول 11 حدا من المتسلسلة. a₁ (1-") S= ,r1 1-r a₁-ar S₁ = ,r1 1-r المعطيات a₁, n, r aar القانون ( المعادلة) بالصيغة العامة بالصيغة البديلة مثال 4 من واقع الحياة إيجاد مجموع متسلسلة هندسية بريد إلكتروني: بالعودة إلى المسألة الواردة في فقرة لماذا؟"، إذا استمر النمط، فما مجموع رسائل البريد الإلكتروني المُرسَلة حتى نهاية المرحلة الثامنة؟ أُرسلت خمس رسائل إلكترونية في المرحلة الأولى، ولدينا 8 مراحل من الرسائل. إذن 8 = r = 5, n ,5 = 41 صيغة المجموع S = a₁ (1") 1-r 5 (158) a₁ =5, r=5, n = 8 Sg = 1-5 بسط Sg = 488280 تنبيه ! رمز المجموع لاحظ في المثال 5 أنه طلب إيجاد المجموع من الحد الثالث إلى الحد العاشر. إذن مجموع الرسائل المرسلة حتى 8 مراحل هو : 488280. تحقق من فهمك (4) بكتيريا : ينمو أحد أنواع البكتيريا في وسط غذائي، بحيث ينقسم إلى جزأين ثم إلى أربعة، ثم إلى ثمانية وهكذا. إذا بدأ مجتمع هذا النوع من البكتيريا بعدد ،10 فما مجموع البكتيريا فيه بعد 8 انقسامات؟ وكما في المتسلسلات الحسابية، فإنه يمكنك استعمال رمز المجموع للتعبير عن المتسلسلات الهندسية. مثال 5 المجموع باستعمال رمز المجموع أوجد مجموع حدود المتسلسلة 1 - k(2)4 10 k=3 لاحظ أن المتسلسلة المُعطاة هندسية؛ لأن صيغة حدودها -1 (2) 4 معطاة بدالة أُسيّة، إذن 2 = r ، والآن أوجد قيمة كل من 1 ، 1 ، ولإيجاد الحد الأول عوّض العدد 3 مكان ، ويستخرج كما يأتي: 16 = 1 - 4.23 = 41 ، وأساس المتسلسلة الهندسية هو " ، حيث 2 = r . وعدد الحدود هو : 8 = 1 + 3 - 10 إذن 8 = n . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 IM 4k-1 (5B k = 2 صيغة المجموع a₁ (1") S= 1-r a₁ =16, r=2, n = 8 Sg = استعمل الآلة الحاسبة 16 (128) 1-2 = 4080 تحقق من فهمك 12 3k-1 (5A k=4 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 140

يمكنك استعمال صيغة مجموع حدود المتسلسلة الهندسية لإيجاد قيمة حد معين من حدود المتسلسلة. مثال 6 إيجاد الحد الأول في المتسلسلة الهندسية أوجد 41 في المتسلسلة الهندسية التي فيها 3 = S = 13116, n = 7, r صيغة المجموع S= 41 - ar" 1-7 S = 13116, r = 3, n =7 13116= 41 - 4 (37) 1-3 استعمل خاصية التوزيع اطرح 13116 = a₁(1-37) 1-3 13116 = -2186a₁ -2 بسط 13116 = 109341 اقسم الطرفين على 1093 12 = 01 تحقق من فهمك 6) أوجد 4 في المتسلسلة الهندسية التي فيها 3 = 8 = n ,26240 = 5 تأكـ مثال 1 1) فيروسات اخترق فيروس حاسوباً، فأتلف أحد ملفاته، فإذا كانت الملفات التي يتلفها الفيروس تتضاعف كل دقيقة، فما مجموع الملفات التي سيتلفها الفيروس بعد 15 دقيقة، إذا لم تتم السيطرة عليه؟ مثال 2 اكتب صيغة الحد النوني في كلُّ من المتتابعات الهندسية الآتية: 2,4,8,... (2 42 = 4, r = 3 (4) -4, 16, -64, ... (3 مثال 3 أوجد الأوساط الهندسية المطلوبة في كلّ من المتتابعتين الآتيتين: 0.25, 2, 2, 2,64 (5 0.20, ?, ?, 2, 125 (6 مثال 4 (7) تدريب قامت شركة تعمل في مجال التطوير بإرسال 4 من خبرائها إلى بعض الدوائر التعليمية؛ لتدريب العاملين في هذه الدوائر على كيفية استخدام وتوظيف التكنولوجيا في تدريس المناهج، فقام كل خبير منهم بتدريب 3 من مشرفي هذه الإدارات، وبدورهم قام كل منهم بتدريب 30 آخرين وهكذا .... إذا استمر هذا النمط، فما مجموع المتدربين الذين سيتم تدريبهم حتى المرحلة السادسة؟ مثال 5 أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين: 6 {3(4)k - -1 k=1 مثال 6 أوجد 4 في كل من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين: 8 Σ4 (9 (-1 k=1 5 = 85 ,۲ = 4, n = 6 (10) =1020, a,, = 4, r = (11 وزارة التعليم الدرس 63 المتتابعات والمتسلسلات الهندسية 141 2024-1446

تدرب وحل المسائل مثال 1 (12) طقس: نتيجة للأمطار الغزيرة ارتفع منسوب المياه في ركة في اليوم الأول cm 3 ، فإذا كانت الزيادة في كل يوم ضعف الزيادة في اليوم السابق لمنسوب المياه في كل من الأيام الأربعة التالية، فكم سنتمترا ارتفع منسوب المياه في البركة في اليوم الخامس ؟ أوجد في كل من المتتابعتين الهندسيتين الآتيتين: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 a₁ =2400, r = = 11, n = n=7 (13 a₁ = -4,r-2, n = 8 (14 مثال 2 اكتب صيغة الحد النوني في كلٌّ من المتتابعات الهندسية الآتية: -1, 1, 1, (16 4 = 28, r = 2 (18) 4 = 0.5, r = 6 (20) -3, 6, -12,... (15 2 4 3' 9' 27' *** (17 a4=-8, r = 0.5 (19 مثال 3 أوجد الأوساط الهندسية المطلوبة في كلُّ من المتتابعات الهندسية الآتية: 810, ?,?,?,10 (21 ?,?,?. (22 81 الربط بالحياة 23 أوجد وسطين هندسيين بين العددين 2, 16 مثال 4 (24) بندول يقطع بندول مسافة 30cm في الاهتزازة الأولى، وبعد ذلك يقطع %95% من الاهتزازة السابقة، ويستمر على هذا المنوال أوجد المسافة الكلية التي يقطعها البندول في 30 اهتزازة. أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلات الهندسية الآتية: يستعمل البندول البسيط في الساعات البندولية، ويهتز اهتزازات منتظمة تقريبا. والاهتزازة الواحدة تعني حركة البندول جيئة وذهابا حول موضع اتزانه a₁ = 36, r = n = 8 (25 a₁ = 16, r = ,n=9 (26 a₁ = 240, r, n = 7 (27 مثال 5 أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلات الهندسية الآتية: {4(-3) -1 (28 (-3)(-2)-1 (29 مثال 6 أوجد قيمة 11 في كلّ من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين: 5(-1)-1 (30 S = - 2912, r = 3, n = 6 (31 S=1330, a=486, r = = √ (32 (33) علوم ارتفع منطاد مملوء بغاز بعد دقيقة واحدة من إطلاقه مسافة 100. وكان ارتفاعه بعد كل دقيقة إضافية يزيد بمقدار 50% على ارتفاعه في الدقيقة السابقة. أوجد ارتفاع المنطاد بعد 5 دقائق. الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 142

34) هندسة في الشكل المجاور، طول ضلع المثلث الخارجي المتطابق الأضلاع يساوي ضعف طول ضلع المثلث الداخلي الذي تنصف رؤوسه أضلاع المثلث الخارجي. إذا استمر هذا النمط نحو الداخل ، فما مجموع أطوال محيطات المثلثات الثمانية الأولى في ا النمط ؟ 20cm (35) معالجة المياه: يقوم نظام معيَّن لفلترة وتنقية المياه بإزالة %70% من الشوائب في أثناء مرور عينة مياه خلاله. فإذا مرت عينة مياه تحتوي 900mg من الشوائب في النظام أربع مرات فما كمية الشوائب المتبقية في العينة؟ مسائل مهارات التفكير العليا (36) برهان اشتق الصيغة البديلة للمجموع الجزئي في متسلسلة هندسية. (37) برهان اشتق صيغة للمجموع الجزئي لا تتضمن 41 38) تبرير، وضح التغيير الذي يجب أن تجريه على 1 - (2)3 ، للحصول على المتسلسلة نفسها إذا غيّرت 1 = x إلى 0 = k. ووضح إجابتك. (39) صيغ: اشتق صيغة الحدّ النوني للمتتابعة الهندسية. (40) تحد : استعمل حقيقة أن هي الوسط الهندسي بين في الشكل المجاور في إيجاد قيمة h4 بدلالة xy (41) مسألة مفتوحة : اكتب متسلسلة هندسية فيها 6 حدود، و مجموعها 252 . k=1 (42) اكتب وضّح كيف يمكنك تحديد ما إذا كانت المتسلسلة هندسية، أم حسابية، أم أنها لا حسابية و لا هندسية، أم كليهما. h A x D y B تدريب على اختبار (43) إذا كان الحدّ الأول في متسلسلة هندسية 5، وأساسها 2، ومجموعها 1275، فما عدد حدودها ؟ 5 A 6 B 7 8 D (44) إجابة قصيرة عند أحمد مبلغ من المال، يصرف نصفه في الشهر الأول، ونصف المبلغ الباقي في الشهر الثاني وهكذا. إذا كان المبلغ الباقي بعد 4 أشهر هو 2000 ريال، فما المبلغ الأصلي؟ مراجعة تراكمية 45) نقود : اشترى عبدالعزيز جهاز تلفاز و دفع 400 ريال مقدما، على أن يدفع الباقي على أقساط شهرية مدة سنة ونصف. فإذا كانت قيمة القسط الواحد 200 ريال، فما المبلغ الذي سيدفعه ثمنًا للجهاز ؟ (الدرس2-6) حدد ما إذا كانت كلٌّ من المتتابعات الآتية حسابية، أم هندسية، أم غير ذلك، ووضح إجابتك: (الدرس 1-6) 1 3 7 17 10'5'20'20 (46 13 6 11 (47 49) إذا كانت لا تتغير تغيرًا مشتركًا مع x و 2 ، فأوجد قيمة لا عندما 5 = 2, 9 = x، علما بأن 90 - = y عندما 15 = 2 ، 6- = . (الدرس 5-5) (50) أوجد قيمة المقدار 1 إذا علمت أن 12 = 2 = . (مهارة سابقة) 68 208 632 (48 27 81 وزارة التعليم الدرس 63 المتتابعات والمتسلسلات الهندسية 143 2024-1446

الفصل اختبار منتصف الفصل 6 الدروس 1-16 إلى 3-6 حدد نوع المتتابعة وهل هي حسابية، أم هندسية، أم غير ذلك في كلّ 9) اختيار من متعدد ما مجموع أول 50 عددًا فرديا في الأعداد مما يأتي، ووضح إجابتك: الطبيعية؟ 625 A 2500 B 2499 C 5, -3, -12,-22,-33... (1 1 7 6 17 11 5'10'5'10'5 (2 (3) هندسة: الأشكال أدناه تُمثل نمطا من المربعات المظللة والمربعات غير المظللة. 2401 D أوجد الحد المطلوب في كلَّ من المتتابعتين الهندسيتين الآتيتين: ال a2=8, r=2, ag = ? (10 43 = 0.5, r = 8, 410 = ? (11 الشكل 3 الشكل 2 الشكل 1 (a) اكتب معادلة تُمثل . عدد المربعات غير المظللة (الحد النوني) فيه هذا النمط. هل يمكن الحصول على 84 مربعا (غير مظلل) بالضبط في هذا النمط ؟ أوجد الحد التاسع في كل من المتسلسلتين الحسابيتين الآتيتين: 41 = 10, d = -5 (4) a₁ = -8, d=4 (5 أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الحسابيتين الآتيتين: -15+ (-11)+(-7) + ... + 53 (6 a₁-12, d=8, n = 22 (7 (12) اختيار من متعدد ما الأوساط الهندسية في المتتابعة أدناه؟ 0.5, ?, ?, ?, 2048 512.375, 1024.25, 1536.125 A -683, 1365.5, -2048, 683, 1365.5, 2048 B -2,8,-32,12, 8, 32 C -4, 32,-256, 4, 32, 256 D (13) دخل يعمل فريد في شركة بناء مدة 4 أشهر في السنة. إذا كان راتبه في البداية 5200 ريال في الشهر، وتزيد الشركة راتبه بمعدل 5% شهريا. فما المبلغ الذي سيحصل عليه في هذه الأشهر الأربعة؟ أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 k=1 3.2k-1 Σ3 k=1 (14 4.(-1)-1 (15 8 ما مجموع حدود المتسلسلة الحسابية 50 (-3k+1) k = 11 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 144