استعمال خاصية التوزيع - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

رابط الدرس الرقمي ۲-۷ فيما سبق درست إيجاد ق .م. أ ) لمجموعة من وحيدات الحد. والآن استعمال خاصية التوزيع الماذا ؟ تحدد أجرة متجر حسب مساحته. ويمكن تمثيل مساحة المتجر بالمعادلة م = ١٦ ض ٢ + ٦ ض ، حيث تمثل ض عرض المتجر بالأمتار، ويمكننا استعمال التحليل إلى العوامل وخاصية الضرب الصفري لإيجاد أبعاد المتجر الممكنة. استعمال خاصية التوزيع في التحليل: استعملت خاصية التوزيع في الفصل السابق لضرب وحيدة حدّ في كثيرة حدود . أستعمل خاصية التوزيع كما في المثال الآتي: لتحليل كثيرة .حدود . أحل معادلات تربيعية على الصورة أس + ب س = • المفردات ع ( ٤ ع + ٧) = ٥ ع (٤ع) + ٥ ع (٧) = ٢٠ ع ٢ + ٣٥ع www.ien.edu.sa ويمكنك الإفادة من ذلك في العمل عكسيا للتعبير عن كثيرة الحدود بصورة حاصل ضرب عاملين: وحيدة الحد، وكثيرة الحدود. ١,٦ ض + ٦ - ١,٦ ض (ض) + ٦ (ض) = ض (١,٦ ض +٦) التحليل بتجميع الحدود كذلك ٥ ع ( ٤ ) + ) يمثل تحليل ثنائية الحد ٢٠ع٢ + ٣٥ع. ويشتمل تحليل كثيرة الحدود تحليلها إلى تحليل كثيرة حدود خاصية الضرب الصفري 104 عواملها الأولية. مثال ۱ استعمال خاصية التوزيع في التحليل استعمل خاصيّة التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود الآتية: أ) ٢٧ ص + ١٨ ص أوجد (ق .م. أ) لجميع الحدود. ۲۷ ص ۲ = ۳ × ۳ × XX ۱۸ ص = ۲ × ۳ × ۳ × (ق .م. أ) = 3 × 3 × ص = 9 ص حلل كل حد. ضع دائرة حول العوامل المشتركة. اكتب كل حدّ على صورة حاصل ضرب (ق.م. (أ) في باقي العوامل. واستعمل خاصية التوزيع لإخراج (ق .م. أ). ۲۷ ص ۲ + ۱۸ ص = ۹ ص (۳ ص) + ۹ ص (۲) = ٩ ص (۳ ص + ۲) ب) - ٤ أ ب - ٨ أب ٢ + ٢ أب Qxxxxxx--x- أعد كتابة كلّ حدّ باستعمال (ق.م. أ). خاصية التوزيع. حلل كلّ حد. ضع دائرة حول العوامل المشتركة . ٢ أب = xD x ( ق .م. أ ) = ۲ × أ × ب = ٢ أب - ٤ أ٢ ب - ٨ أب ۲ + ٢ أب = ٢ أب (( ٢ أ - - ٢ أب ( ٤ ب ) + ٢ أب (١) أعد كتابة كل حد باستعمال (ق. ٢ أب - ١٢ - ٤ ب + ١) خاصية التوزيع وزارة التعليم الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية Ministry of Education 2024-1446

تحقق من فهمك ١أ) ١٥ و - ٣ ف اب ۷ل آن ۲ + ۲۱ لن ۲ - ل ن تُسمّى الطريقة التي ت ب تُستعمل فيها خاصية التوزيع لتحليل كثيرة حدود تتكوّن من أربعة حدود أو أكثر التحليل بتجميع الحدود؛ لأن الحدود تُجمع بطريقة معينة، ثم يحلل كل تجميع، ثم تطبق خاصية التوزيع لإخراج عامل مشترك. مفهوم أساسي التحليل بتجميع الحدود أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: يمكن تحليل كثيرة الحدود بتجميع الحدود ، إذا توافرت جميع الشروط الآتية: . تتكوّن كثيرة الحدود من أربعة حدود أو أكثر. . يوجد للحدود التي يمكن تجميعها معا عوامل مشتركة. . يوجد عاملان مشتركان متساويان أو أن أحدهما نظير جمعي للآخر الرموز أس + ب س + أص + ب ص = أس) + ب س ) + (أص + ب ص ) إرشادات للدراسة تحقق تحقق من صحة التحليل بضرب العوامل الناتجة بعضها في بعض؛ للحصول على العبارة الأصلية. مثال ۲ التحليل بتجميع الحدود حلل : ٤ ك ر + ٨ ر + ٣ ك + ٦ كر + ٨ ر + ٣ ك + ٦ (7+)+(A+) = = ٤ رك + (۲) + ٣ ك + ٢) (+) (+) = س (أ + ب) + ص (أ + ب = (س + ص) (أ + ب العبارة الأصلية جمع الحدود ذات العوامل المشتركة حلل كل تجميع بإخراج (ق.م.أ) خاصية التوزيع لاحظ أن (ك + (۲) عامل مشترك لـ ٤ ر ك + ٢ و ٣ ك ( ٢ ) . تحقق من فهمك حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية : ۱) رن + ٥ ن - ر - ٥ ٢ ب ن ك + ١٥ ك - ٤ ن - ٢٠ من المفيد معرفة متى تكون إحدى ثنائيتي الحد نظيرًا جمعيًا للأخرى. . فمثلاً ٦ - أ = -١ ( أ - ٦ ) مثال ٣ التحليل بتجميع الحدود ) العوامل نظائر جمعية ) حلل: ٢م ك - ١٢ م + ٤٢ - ٧ ك ٢ م ك - ١٢ م + ٤٢ - ٧ ك = ٢ م ك - ١٢ م ) + (٤٢ - ٧ ك ) = ٢ م ك - (٦) + (٦ - ك ) ٢م ك - (٦) + (١)(ك - ٦)] = ٢ م ك - (٦) - (ك - ٦) = (٢ م - ٧)(ك - ٦ ) العبارة الأصلية جمع الحدود ذات العوامل المشتركة. حلل كل تجميع بإخراج (ق. م. أ). ٦- ك - -١ ( ك - ٦) خاصية التجميع خاصية التوزيع وزارة التعليم الدرس :۲۷: استعمال خاصية التوزيع ۱۰۵ 2024-1446

1.7 تحقق من فهمك حلل كلًا من كثيرات الحدود الآتية : (١٣) جـ - ٢ جـد + ٨د -٤ ب ف - ف - ۱۸ ف + ۲۷ حل المعادلات بالتحليل: يمكنك حلّ بعض المعادلات بالتحليل . انظر إلى الجمل الآتية: • = (•)r • = (•, Yo). ۰ = (۰) ۳۱۲ - ۰ = (۲ - ۲۰ لاحظ أن أحد العاملين على الأقل في كل حالة يساوي صفرًا. وتبين هذه الأمثلة خاصية الضرب الصفري. مفهوم أساسي خاصية الضرب الصفري أضف إلى مطوبتك التعبير اللفظي: إذا كان حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، فيجب أن يكون أحدهما على الأقل الرموز صفرًا. لأي عددين حقيقيين ،أ، ب، إذا كان أ ب = . ، فإنّ أ = . ، أو ب = . ، أو أن كليهما يساوي صفرًا. سبق أن تعلمت أن حل المعادلة أو جذرها هو أي قيمة للمتغير تجعلها صحيحة. مثال ٤ حل المعادلات حل كلاً من المعادلات الآتية وتحقق من صحة الحل: تنبيه ! قيمة غير معروفة قد تجد أنه من الأسهل حل معادلة بقسمة كل طرف منها على متغير. وبما أن قيمة المتغير غير معروفة، لذا قد تقسم في هذه الحالة على صفر، والقسمة على صفر غير معرفة. !) (15+1)(25-01)=. * = (10-1) (+) د + ٦ = ٠ أو ۲ د = -٦ د = -۳ الجذران هما -٣ ، ٥ 85-0111 المعادلة الأصلية خاصية الضرب الصفري د = ١٥ حل كل معادلة د = ٥ تحقق: عوّض عن د بكل من –٣، ٥ في المعادلة الأصلية. =(10)(7+SY) [(-) + ][(-) - 0115 (109) (7+7) (*)(-3A)* ✓ .=. [(0) + (15+) (125-01) = + ][(0)-01]* (+ 1+ 2) (01-01) 3. المعادلة الأصلية +1(+)17 ✓ .=. اطرح ٣ جـ من كل طرف للحصول على صفر في أحد طرفي المعادلة. حلّل باستعمال (ق.م . أ) للحصول على الصورة أ ب = . خاصية الضرب الصفري تحقق بتعويض كل من صفر، ٣ بدلاً من جـ جـ ( جـ - ۳) = . ج = . أو جـ - ٠٣ جـ = ٣ حلّ كلّ معادلة الجذران هما ٠، ٣ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تحقق من فهمك (١٤) ۳ ن ن + ٢) = ٠ ب ٨ - ٤٠ ب = ٠ جـ) س مثال ٥ من واقع الحياة استعمال التحليل رمي السهم يمكن تمثيل ارتفاع سهم بالمعادلة ع = ٥ ن ۲ + ۲۰ ن، حيث (ع) الارتفاع بالأمتار، (ن) الزمن بالثواني. إذا أهمل ارتفاع رامي السهام بعد كم ثانية يصل السهم إلى الأرض بعد إطلاقه؟ عندما يصل السهم إلى الأرض ع = . ع= - ٥ن ۲+ ۲۰ ن ۰ = ٥ن ۲+ ۲۰ ن . = ٥ ن - ن +٤) ه ن= • أو - ن + ٤ = ٠ المعادلة الأصلية عوّض عن ع بـ . حلل بإخراج (ق .م.أ) خاصية الضرب الصفري ن . أو الربط مع الحياة يتطلب رمي السهم أو الرمي بالقوس تركيزا عاليا ومهارة ودقة في التصويب؛ لضمان إصابة الهدف. تحقق من فهمك -0=-3 ن = ٤ يصل السهم إلى الأرض بعد إطلاقه بـ ٤ ثوان. حل كلّ معادلة اقسم كل حد على -۱ ه) قفز الأرنب يمكن تمثيل قفزة الأرنب بالمعادلة ع= ٢٥ - ٢٥؛ حيث تمثل (ع) ارتفاع القفزة بالمتر، و (ن) الزمن بالثواني أوجد قيمة ن عندما ع= صفرًا. تأكد مثال ۱ استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود الآتية: ۱) ۲۱ ب - ١٥ أ المثالان ۲ ، ۳ حلل كلاً من كثيرات الحدود الآتية: ٢ ١٤ جـ ٢ + ٢ جـ ٣ ١٢ ل ك ٢ + ٦ ل ٢ ك + ٢ ل ٢ ك ٢ 4) ن م + ٢ن + ٨ م + ١٦ ه س ص - ٧س + ٧ ص - ٤٩ (٦ ٣ ب جـ – ٢ ب - ١٠ - ١٥ جـ مثال ٤ حُلّ كلا من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل: ك ك + ۱۰) = ٠ • = (9-pt)(Y + pε) (A ٩) (٢ = ١٤ر مثال ٥ 10 صواريخ أُطلق صاروخ إلى أعلى بشكل مستقيم بسرعة ابتدائية مقدارها ٤٢ م/ ثانية. وتمثل المعادلة ع = ٤٢ ن - ٥ ن ٢ ارتفاع الصاروخ (ع) بالأمتار فوق مستوى سطح الأرض بعد ن ثانية. أ) ما ارتفاع الصاروخ عند عودته إلى الأرم ب) حل المعادلة ٤٢ ن - ٥ ن ۲ - ۰ جـ) كم ثانية يحتاج إليها الصاروخ كي يعود إلى الأرض؟ وزارة التعليم الدرس :٢٧ استعمال خاصية التوزيع ١٠٧ 2024-1446

تدرب وحل المسائل مثال ۱ استعمل خاصية التوزيع لتحليل كلّ من كثيرات الحدود الآتية: ١١ ١٦ن - ٤٠ ص ۱۳) ٢ ك ٢ + ٤ ك ١٥ ٤ أ ب ٢ + ٢ أب - ١٠ أب ٢ المثالان ۲ ، ۳ حلل كلًا من كثيرات الحدود الآتية: 1) أ٢ - ٢٤ - ٢٤ - ١٦ ١٩) س ص – ۲ س – ۲ + ص ۲۱) دن - ۲۱ د + ٣٥ - ٥ن (۲۳) ۲۱ ن هـ - ٣ن - ٣٥ هـ + ٥ (٢٥) ٥ ب ر - ۲۵ ب + ۲ ر - ۱۰ ۲۷ ۵ ج ف ۲ + جف + ١٥ جف (۲۹) ۱۸ رن ۲ + ۲,۱۲ن ۲ - ٦رآن ۱۲) ۳۰ ف + ۵۰س ١٤) ٥ ع ٢ + ١٠ع ١٦) ٥ جـف - ١٥ ج ف ٢ + ٥ ج ٢ف ٣ ۱۸ هـ ل - ۲ هـ + ٥ ل - ۱۰ ٢٠ ٢٤ ن ص - ١٨ ن + ٤ ص - ٣ ۲۲ ۲٫۸ + ۱۲ ر ٢٤ ل ف + ١٢ ل + ٨ف + ٩٦ (٢٦) ٢ن و - ۸ و + ۳ن - ۱۲ (۲۸) رف - ۹ ر + ۹ ف - ۸۱ ٣٠ ١٦ جـ هـ + ٢٤ جـ - ٢هـ - ٣ مثال ٤ حلّ كلا من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل: (۳۱) ۳ ب (۹) ب - ۲۷) = ۰ ۳۲ ۲ن ۳ن + (۳) = ۰ • = (1 + + εo) (ε + ε^) (** (٣٤) ( س ) (۳) ( س - (٦) = ٣٥٠) ب ٣٦) أ٢ = ١٤ مثال ٥ (۳۷) فروسية: يمكن تمثيل ارتفاع قفزة فرس في سباق الحواجز بالمعادلة ع= ٥ ن ٢ + ٥ن؛ حيث (ن) تمثل الزمن بالثواني. أ) اكتب عبارة تمثل الارتفاع على صورة حاصل ضرب عوامل. ب) أوجد قيم ن عندماع = ٠؟ الربط مع الحياة حقق فريق الفروسية في المملكة المركز الثاني في بطولة العالم للفروسية للفردي قفز الحواجز عام ٢٠١٠ م. جـ) ما الارتفاع الذي يكون عليه الفارس بعد ٣ ثوانٍ من بداية القفز ؟ وهل هذا ممكن؟ فسر إجابتك. (۳۸) هندسة عمارة يمكن تمثيل إطار قوس بوابة بالمعادلة ص= ٠,١ س ٢ بالسنتمتر ومحور السينات يمر بطرفي القوس على الأرض. ٢+ ١٢س؛ حيث س، ص (أ) كوّن جدولا لارتفاع القوس إذا كان س= ۰، ٢۰ ، ٤٠ ، ٦٠ ، ٨٠، ١٠٠ سم. ب) مثل نقاط الجدول في المستوى الإحداثي، وصل بين النقاط لتكوّن منحنى يمثل القوس. ۱۰۸ جـ) ما أقصى ارتفاع لقوس البوابة؟ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدريب على اختبار ۳۹) تمثيلات متعددة ستكتشف في هذه المسألة طريقة الصندوق للتحليل، ممثلاً لتحليل س ٢ + س - ٦ ، اكتب أول حد في الزاوية اليمنى العليا من الصندوق، ثم اكتب آخر حد في الزاوية السفلى اليسرى. أ) تحليليا حدّد عددين ناتج ضربهما - ٦ ، وناتج جمعهما ١ . ب) رمزيا: اكتب كل عامل منهما في المربع الفارغ، متضمناً المتغير وإشارته الموجبة أو السالبة. ؟ ؟ س" ؟ جـ) تحليليا : أوجد عوامل كل صف وعمود في الصندوق، ثم أوجد عوامل س ٢ + س- ٦ . د) لفظيا : صف كيف تستعمل طريقة الصندوق لتحليل س ٢- ٣س ٤٠ . مسائل مهارات التفكير العليا $ $ ٤٠) اكتشف الخطأ يحلّ كل من حمد وراشد المعادلة ٢م٢ = ٤ م . فأيهما إجابته صحيحة؟ فسّر ذلك. راشر ٢ م = ٤ م ٢ م - ٤ م = . ۲ م (م - ۲) = . ۲ م = ٠ أو م - ٢ = ٠ م = أو م = ۲ م = ۲ ہم ۲م ٤١) مسألة مفتوحة اكتب كثيرة حدود بأربعة حدود، يمكن تحليلها بتجميع الحدود، ثم حلّلها. ٤٢ تبرير في المعادلة جـ = أ - أب، ما قيم أ، ب التي تجعل جـ = ٠؟ ٤٣) اكتب وضّح كيف تحل معادلة تربيعية باستعمال خاصية الضرب الصفري. ٤٤) أي مما يأتي يمثل عاملاً لكثيرة الحدود: ٢٦ - ٣ - ٢ + ٤ ع؟ ٤٥) هندسة إذا كانت مساحة المثلث القائم الزاوية المبين أدناه ه س سم، فما ارتفاعه؟ سم جـ) اسم أ) ٢ ع + ۱ ج) ع + ۲ ب) ٥سم د) ١٠سم ب) ع -۲ د) ۲ ع - ۱ وزارة التعليم الدرس :۷-۲ استعمال خاصية التوزيع ١٠٩٥٤ 2024-1446

مراجعة تراكمية أوجد (ق . م. أ) لكل مجموعة وحيدات حدود مما يأتي: الدرس (۱۷) ٤٦) ٢٩٣٠ ، ٥٠ أب ٢ ٤٧ ٨ جـ ٣٥٢، ١٦ جـ ٣د ٤٨ ٤ ص ، ١٨ ص ٢، ٦ ص ٣ بسط كل عبارة فيما يأتي: (الدرس ٦-١) ٤٩ ) (أب ٤ ) (أب ٢) [٥٢( ])٢٤(٣ ٥٠) (-جـ د ٤) (٤ جـد٣) ٥١) (٩ س ص ٢٧ ٥٣) حل المتباينة ٣ ص - ٤ - ٣٧، وتحقق من صحة الحل. (مهارة سابقة) استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: (0+)(Y+U) (0% ٥٥) (د +٤) (د + ١٠) ٥٦) (ع - ١) (ع - ٨) ٥٧) (جـ + (۹) (جـ - ۳) ٥٨) (س - ٧) (س - ٦) ٥٩) (هـ - (٢) (هـ + ١١) ۱۱۰ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446