س ب س ج - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

٧-٣ ۲ المعادلات التربيعية : س + ب س + لماذا؟ بركة سباحة سطحها مستطيل الشكل، يُراد وضع سياج حولها طوله ٢٤ م. إذا كانت مساحة سطح البركة ٣٦ م ، فيما سبق درست ضرب ثنائيات الحد فما بعداها ؟ باستعمال طريقة التوزيع لحل هذه المسألة يجب إيجاد عددين حاصل ضربهما بالترتيب. والان ٣٦ ومجموعهما يساوي ۱۲ (نصف محيط البركة). تحليل س + ب س + جـ : تعلمت كيف تضرب ثنائيتي . أحلل ثلاثية حدود على حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب، على أن تكون كل الصورة: س + ب س ج . أحل المعادلات على الصورة: س + ب س + جـ = • المفردات المعادلة التربيعية ثنائية حد منهما عاملاً لناتج الضرب. ويمكن استعمال نمط ضرب ثنائيتي الحد لتحليل أنواع معينة من ثلاثيات الحدود. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa (س) + (٣) (س) + (٤) = س ٢ + ٤ س + ٣س + ٣ ٤ طريقة التوزيع بالترتيب س + + + ٤٣ خاصية التوزيع = س ۲ + ۷س + ۱۲ بسط. لاحظ أن معامل الحدّ الأوسط ٧ هو مجموع العددين ٣ و ٤ ، والحد الأخير ١٢ هو ناتج ضربهما. لاحظ القاعدة الآتية في الضرب (س) + (۳) (س) + (٤) = س ٢ + + + ٣) س + (٤٣) (س) + م) (س + ن) = س ٢ + (ن + م) س + م ن لتكن ٣ = م، ٤ = ن = س ٢ + (م + ن) س + م ن الإبدال (+) س + بس + جـ ب = م + ن، جـ = م ن لاحظ أن معامل الحد الأوسط هو مجموع م وَ ن، والحد الأخير هو ناتج ضربهما. تستعمل هذه القاعدة لتحليل ثلاثيات الحدود على الصورة س ٢ + ب س + جـ. مفهوم أساسي تحليل س + ب س + جـ أضف إلى مطوبتك التعبير اللفظي لتحليل ثلاثية حدود على الصورة س ٢ + ب س + جـ ، أوجد عددين صحيحين م، ن الرموز : مثال: مجموعهما ب، وناتج ضربهما جـ ، ثم أت س + م) (س + ن) . ج على الصورة س ٢ + ب س + جـ = (س) (+) (م) (س) (+) (ن) ، حيث م + ن = ب، م ن = ج س ٢ + ٦ س + = (س) (۲) (س) (٤) . لأن ٢ + ٤ = ٦ ، ٢× ٤ - ٨ يكون لعاملي جـ الإشارة نفسها عندما تكون موجبة. ويعتمد كون العاملين موجبين أو سالبين على إشارة ب. فإذا كانت ب موجبة فالعاملان موجبان، وإذا كانت سالبة فالعاملان سالبان وزارة التعليم الدرس - المعادلات التربيعية س+ ١١١١٣٥٢ 2024-1446

إرشادات لحل المسألة حْمَن وتحقق عند تحليل ثلاثية حدود اعمل تخمينا مدروسا، وتحقق من المعقولية، ثم عدل التخمين حتى تصل إلى الإجابة الصحيحة. مثال ۱ تحليل س + ب س + جـ عندما يكون ب جـ موجبين حلل : س۲+ ۹س + ۲۰. بما أن جـ ، ب موجبان في ثلاثية الحدود، ب = ۹ ، جـ = ۲۰. لذا يجب إيجاد عاملین موجبين مجموعهما ، وناتج ضربهما .۲۰ . كوّن قائمة عوامل العدد ۲۰ ، و أوجد العاملين اللذين مجموعهما ٩ . عوامل العدد ٢٠ مجموع العاملين ۲۱ ۲۰،۱ ۱۲ ۱۰ ،۲ ۹ ٥،٤ س ۲ + ۹س + ۲۰ = س + م) (س) + ن) (0+) (+) = العاملان الصحيحان هما ٤، ٥ اكتب القاعدة م = ٤ ، ن = 5 تحقق يمكنك التحقق من هذه النتيجة بضرب العاملين لتحصل على العبارة الأصلية. س + (٤ (س) + (٥) س ٢ + ٥ س + ٤ س + ٢٠ طريقة التوزيع بالترتيب س ۲ + ۹س + ۷۲۰ بسط. تحقق من فهمك حلل كلًا من كثيرتي الحدود الآتيتين: (أ) د + ١١د + ٢٤ اب) ۹ + ۱۰ ن + ن ۲ إرشادات للدراسة إيجاد العوامل عندما تجد العوامل الصحيحة فليس هناك ضرورة لاختبار العوامل الأخرى. فمثلاً، العاملان إذا كانت ب سالبة، وجـ موجبة في ثلاثية الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب ثنائيتي الحد؛ لتقليص قائمة العوامل الممكنة. مثال ۲ تحليل س + ب س + جـ عندما تكون ب سالبة ج موجبة حلل: س ۲- ۸س + ۱۲ بما أن جـ موجبة و ب سالبة في ثلاثية الحدود ، ب= -۸، جـ = ۱۲ لذا يجب إيجاد عاملين سالبين مجموعها - ۸ وحاصل ضربهما ۱۲ 1.1 "Unsaved وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 العاملان الصحيحان هما -٢، ٦ اكتب القاعدة f1(x)-x²-8x+12 الصحيحان في المثال ٢ هما: عوامل العدد ١٢ مجموع العاملين ۱۳ A- ۷- ۱۲ ،۱- ٢، ٦- ٣-٤- س ۲ - ۸س + ۱۲ = (س + م)(س + ن) س - ٢) (س - ٦) م = - ۲ ، ن = -٦ تحقق مثل المعادلتين : ص = س ۲ - ۸س + ۱۲ ، ص (س-٢) (س- (٦) بيانيا على الشاشة نفسها. بما أن التمثيلين متطابقان، فإن ثلاثية الحدود حللت بصورة صحيحة. ✓ تحقق من فهمك حلل كلا من كثيرتي الحدود الآتيتين: ۱۲) ۲۱ - ۲۲ م + م ۲ ب) و ۲ - ۱۱ و + ۲۸ ٢ و ٦ ، لذا فلا داعي لاختبار العاملين -٣ و ٤ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية 114

مراجعة المفردات القيمة المطلقة تمثل القيمة المطلقة للعدد ن المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد. عندما تكون جـ سالبة، يكون لعامليها إشارتان مختلفتان. ولتحدد أي عامل منهما موجب وأيهما سالب انظر إلى إشارة ب؛ فالعامل الذي له القيمة المطلقة الكبرى له إشارة ب نفسها. ۲ مثال ۳ تحليل س + ب س + جـ عندما تكون جـ سالبة حلّل كل كثيرة حدود فيما يأتي: وتكتب على الصورة | ن | أ) س ٢ + ٢ س - ١٥ في ثلاثية الحدود هذه ب = ٢، جـ = - ١٥ وبما أن جـ سالبة. فإن م وَن عددان مختلفان في الإشارة. وبما أن ب موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجبا. اكتب أزواجًا من عوامل العدد ١٥ ، على أن يكون أحد العاملين في كل زوج سالبًا والآخر موجبًا، ثم انظر إلى العاملين اللذين مجموعهما ٢. عوامل العدد - ١٥ مجموع العاملين ١٤ ۲ 1001- س ٢ + ٢س - ١٥ = (س + م)(س) + ن) (س) - (٣) (س) + (٥) تحقق (س (۳) (س) + (٥) = س+ ۵ س- س- ١٥ س ۲ + ۲ س- ۷۱۵ ب) س ۲ - ۷س - ۱۸ العاملان الصحيحان هما -٣ ٥ اكتب القاعدة م= -۳ ، ن= 5 طريقة التوزيع بالترتيب بسط في ثلاثية الحدود هذه ب = - ۷، جـ = - ۱۸ . ، إذن م أو ن سالبة، وليس كلاهما. وبما أن ب سالبة، فالعامل ذو القيمة المطلقة الكبرى يكون سالبا. اكتب أزواجًا من عوامل ۱۸ ، على أن يكون أحد العاملين في كل زوج سالبًا والآخر موجبا، ثم انظر إلى العاملين اللذين مجموعهما - ۷. عوامل العدد -۱۸ مجموع العاملين ۱۷- ۱۸-۱ ۹ ،۲ ٦ ، +٣- س ۲ - ۷س - ۱۸ = (س) + م)(س) + ن) (س) + (۲)(س) - (۹) العاملان الصحيحان هما ۲ - ۹ اكتب القاعدة م = ۲ ، ن = - ۹ تحقق مثل المعادلتين ص = س ۲ - ۷س – ۱۸ ، ص = (س) + (۲) (س) - (۹) بيانيا على الشاشة نفسها، بما أن التمثيلين متطابقان، فإن ثلاثية الحدود حُلّلت بصورة صحيحة. ✓ 1.1 "Unsaved 20 y Mix)-x²-7x-18 ب) ر ٢- ٢ - ٢٤ تحقق من فهمك ۱۳) ص ٢ + ١٣ ص - ٤٨ حل المعادلات بالتحليل يمكن كتابة المعادلات التربيعية على الصورة القياسية: + ب س + جـ = ٠ ، أ + • ويمكن حل بعض المعادلات على هذه الصورة بالتحليل، ثم استعمال خاصية الضرب الصفري وزارة التعليم ۱۱۵ 2024-1446 الدرس - المعادلات التربيعية س

مثال ٤ حل المعادلة بالتحليل حل المعادلة : س ۲+ ٦ س = ٢٧ ، و ٢، وتحقق من صحة الحل. س ٢ + ٦ س = ٢٧ س ٢ + ٦ س- ٢٧ = ٠ (س-۳) (س + ۹) = ۰ س ۳ = . أو س + ۰۹ س = ۳ س = - تحقق عوّض عن س بكل من ۳ ، ۹ في المعادلة الأصلية. س ٢ + ٦ س= ٢٧ المعادلة الأصلية اطرح ٢٧ من كلا الطرفين حلل إلى العوامل خاصية الضرب الصفري حل كل معادلة س ٢ + ٦س= ٢٧ ٦)٣( ٢٧٤ +(۳) ۷ ۲۷ = ۱۸ + ۹ تحقق من فهمك TV (9-)+(9-) ٥٤ = ٢ ٧ - ۱ حل كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل: ٤ أ ) ع ٢ - ٣ ع = ٧٠ ا ب س ٢ + ٣س - ١٨ = ٠ مثال ٥ من واقع الحياة حل المسألة بالتحليل تصميم : يصمّم سعيد لوحة إعلان لبيع أقراص مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كان ارتفاع الجزء العلوي من اللوحة ٤ بوصات، ويزيد طول باقي اللوحة عن عرضها . بوصة ومساحة اللوحة ٦١٦ بوصة مربعة، فأوجد عرض اللوحة. تعلم الرياضيات تعلم الرياضيات افهم : يجب إيجاد عرض اللوحة. خطط بما أن اللوحة على شكل مستطيل فالمساحة = العرض × الطول ا تعلم الرياضيات حل بما أن ض = عرض اللوحة، فيكون طول اللوحة = ض+ ٢ + ٤ = ض+ ٦ الربط مع الحياة ض (ض + (٦) = ٦١٦ ض ٢ + ٦ض= ٦١٦ ض ٢ + ٦ ض - ٦١٦ - ٠ اكتب المعادلة اضرب اطرح ٦١٦ من كل طرف للصف الثالث المتوسط CD تُصمَّم بعض اللوحات الإعلانية لاستخدامها مرة واحدة لمناسبة معينة، وإن كان الغرض من اللوحة الاستخدام لفترة طويلة، فيجب مراعاة المواد المصنوعة منها لتقاوم عوامل الجو. ض + (۲۸) (ص - (۲۲) = ۰ ض + ۲۸ = ٠ أو ض - ۲۲ = ٠ حلل خاصية الضرب الصفري ض = - ۲۸ ض = ۲۲ حل كل معادلة بما أن الأبعاد لا يمكن أن تكون سالبة، فإن العرض = ٢٢ بوصة. تحقق إذا كان العرض ۲۲ بوصة فإن المساحة = ٢٢٢٢ + (٦) = ٦١٦ بوصة مربعة، وهي مساحة اللوحة. ✓ تحقق من فهمك ه) هندسة متوازي أضلاع ارتفاعه أقل من قاعدته بـ ١٨ . سم، ومساحته ١٧٥ .. فما ارتفاعه؟ ١١٦ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد الأمثلة ١ - ٣ حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: 1) س٢ + ١٤ س + ٢٤ ۳) + ٤ن - ۲۱ مثال ٤ حُلَّ كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل: ه س ٢ - ٤ س - ٠٢١ ۲ ص ۲ - ۷ص - ۳۰ ٤) م٢ - ١٥ م + ٥٠ (٦) ن ۲ - ۳ن + ۲ - ۰ س ٢ - ١٥ س + ٥٤ = ٠ ( س۲ + ۱۲ س = - ۳۲ س - س - ۷۲ ۰ ۱۰ س ٢- ١٠ س = - ٢٤ مثال ٥ 11) إطار صورة : اشترت لطيفة إطارًا لصورة، إلا أن الصورة كانت أكبر من الإطار، لذا فإنها بحاجة إلى تصغير طول الصورة وعرضها بالمقدار نفسه على أن تصبح مساحتها نصف مساحتها الأصلية. فإذا كان بعدا الصورة الأصلية ١٢، ١٦ فما بعدا الصورة المصغرة؟ سم. تدرب وحل المسائل الأمثلة ١ - ٣ حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: ۱۲) س ٢ ١٧ س + ٤٢ (۱٥) ۲ - ۲ن - ٣٥ ١٤( ٢٢ + ١٨ - ٤٨ ۱۳ ص ۲ - ۱۷ ص ۷۲ ١٦ ٤٤ + ١٥ هـ + هـ ٢ (۱۷) ٤٠ - ٢٢ س - س ٢ مثال ٤ حُلّ كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (۱۸) س ۲ - ۷س + ۱۲ = ۰ ۱۹) ص ۲+ ص= ۲۰ (۲۱) جـ ٢ + ۱۰ جـ + ۹ = ٠ (۲۲) ۲- ۱۲۰ - ۷ن ۲۰) س ٢ - ٦ س= ٢٧ ۲۳ هـ ٢ + ٤٨ - ١٦هـ مثال ٥ ٢٤) هندسة : مساحة مثلث ٣٦ سم ، ويزيد ارتفاعه ٦ سم على طول قاعدته. فما ارتفاعه؟ وما طول قاعدته؟ ٢٥) هندسة تمثل العبارة (س٢ - ٤ س - (١٢) سم مساحة مستطيل طوله (س) + (۲) سم فـ . فما عرضه؟ حلل كل كثيرة حدود مما يأتي: ٢٦) ك٢ + ١١ك ر + ٢,١٨ (۲۷) س ٢ - ٦ س ص + ٥ ص ٢ ٢٨) ٢ + ١٠ أ ب - ۲۳۹ (٢٩) سباحة يزيد طول حوض سباحة دولي مستطيل الشكل ۲۹ مترا عن عرضه، ومساحة سطحه ١٠٥٠ م٢. أ) عرف متغيرا، واكتب معادلة تمثل مساحة سطحه. ب) حل المعادلة. جـ) فسّر الإجابتين، وهل هناك معنى لكل منهما ؟ وزارة التعليم الدرس - المعادلات التربيعية: س + ۱۱۷ 2024-1446

۱۱۸ (۳۰) هندسة : اكتب عبارة تمثل محيط المستطيل الذي مساحته م = س ٢ + ۱۳ س – ۹۰ . ۳۱) تمثيلات متعددة ستكتشف في هذا السؤال طريقة التحليل عندما يكون المعامل الرئيس للعبارة التربيعية لا يساوي ١. (أ) جدوليا : انقل الجدول الآتي، ثم أكمله ضرب ثنائيتي حد ناتج ضرب ثنائيتي الحد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب (۲) س (۳) (س+٤) (س+۱) (۳س٥) ۲س۲+۸س+۳س+۱۲ →Xi ٢٤ ٢٤ م Xن ۲س ۲-۱۱س ۱۲ (۲س-۱) (٤س١) (٣س (٥) (٤س-٢) تدريب على اختبار ب) تحليليًّا كيف يرتبط العددان م ن بالعددين أ ، جـ؟ م، جـ) تحليليا : كيف يرتبط العددان م ن بالعدد ب؟ د) لفظيا : صف إجراءً يمكن استعماله لتحليل كثيرة حدود على الصورة أس ۲ + ب س + جـ مسائل مهارات التفكير العليا ٣٢) اكتشف الخطأ حلّل كلٌّ من خليل وماجد العبارة: س ٢ + ٦س - ١٦ . فأيهما إجابته صحيحة؟ فسِّر ذلك. ماجد خليل س +٦س - ١٦ = (س+٢) (س-۸) س +٦س-١٦ = (س-٢) (س) تحد: أوجد جميع قيم هـ التي تجعل كل كثيرة حدود في كل مما يأتي قابلة للتحليل باستعمال الأعداد الصحيحة: ۳۳) س ٢ + هـ س - ۱۹ ٣٤) س ٢ + هـ س + ١٤ (٣٥) س ٢ - ٨ س + هـ ، هـ ) . ٣٦) تحد : حلّل العبارة: (٤) ص - ٢٥ + ٣(٤ ص - ٥) - ٧٠. ٣٧) هندسة : ما العبارة التي تمثل طول المستطيل في الشكل المجاور؟ أ) س + ٥ جـ) س - ٦ ب) س + ٦ د) س - ٥ (۳۸) إذا كان الفرق بين ۲۱ والعدد ن هو ٦ ، فما المعادلة التي تبين هذه العلاقة؟ م س۲ - ۳س - ۱۸ أ) ۲۱ - ن = ٦ ب) ۲۱ ن = ٦ جـ) ۲۱ + ن = ٦ د) ٦ن = - ۲۱ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة تراكمية حلل كلَّ كثيرة حدود مما يأتي: (الدرس ٧-٢) ۳۹) ٢ م ٣ل٢ - ١٦ م ل ٢ + ٨ م ل ٤٠ ٢أس + ٦ س جـ + ب أ + ٣ ٤١) س ٤٢) تبليط يريد خالد تبليط غرفة معيشة بعداها ٤٢٠ سم ، ٣٣٠ سم، ولديه قطع بلاط أبعادها ۲۰سم × ۲۰سم ، ۳۰سم ، ٢٠ سم × ١٥سم ، ٢٢ سم × ۳۰سم. فأي الأنواع يمكنه استعمالها دون قص أي قطعة؟ فسّر إجابتك (الدرس ٧-١) استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : حلل كلَّ كثيرة حدودٍ مما يأتي: ٤٣ ٦ م س - ٤ م + ٣رس - ٢ ر ٤٤ ٣ أس - ٦ ب س + ٨ ب - ٤ أ (٤٥) ٢ د ٢ جـ + ٢ ف جـ + ٤ د ٢ هـ + ٤ ف هـ الدرس - المعادلات التربيعية: س + وزارة التعليم ۱۱۹ 2024-1446

الفصل V اختبار منتصف الفصل الدروس ١٧ إلى ٣٧ حلل كل وحيدة حد فيما يأتي تحليلا تاما: ١) ١٦س ٣ ص ٢ ٢) ٣٥ب جـه ۳) - ۲۰ م ن ٤ - ١٣ س ص الدرس (۷-۱) حلل كلَّ كثيرة حدودٍ ممَّا يأتي: الدرس (۷-۲) ۱۳) ٥ هـ + ٤٠ جـ ١٤ س ٢ + ٦ س + س + ٢ 15) ه ب ٢ - ٢٥ ب - ب + ٥ ه) مساحة ممر : تبلغ مساحة ممر ١٢م ، أوجد جميع أزواج حُلَّ كلًا من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل: (الدرس ٧-٣) الأعداد الكلية التي يمكن أن تمثل طولا وعرضا للممر. ( الدرس ٧-١) أوجد (ق. . م. أ) لكل مجموعة وحيدات حد فيما يأتي: ٦ ١٠ ب ، ٢٠ ب ٢ ، ٢٥ ب ۷ ۱۳ جـ ، ٢٥د ٢١ ب ج ، ٣٥ب ، ٥٦ ب جـ ٣ ٩) ترتيب يريد عامل ترتيب ٢٤ زوجًا من الأحذية على أرفف ١٦ ٢ س س - (۵) = ۰ ١٧ ٦ ب ٢ - ٣ ب = . ١٨) جـ = ١٥ جـ حلل كلَّ كثيرة حدودِ مما يأتي: محل، بحيث يضع نفس عدد الأزواج على كل رفّ، ويضع ١٩) س ٢ - ٤ س - ٢١ على الأقل ٤ أزواج على كل رفّ، ويستخدم رفين على الأقل، ۲۰) س ٢ - ١٠ س + ٢٤ اذكر عدد الأزواج الممكنة على كل رفّ، وعدد الأرفف. ٢١) س٢ + ٤ س - ٢١ ( الدرس ٧-١) استعمل خاصية التوزيع لتحليل كل من كثيرات الحدود التالية: ( الدرس (۷-۲) (۱۰) ۳ س ص - ۹ س ١١) آب جـ + ١٢ ب جـ ٢ + ١٨ جــ ۱۲) اختيار من متعدد إذا كانت مساحة المستطيل أدناه تساوي ٣س ٢ + ٦ س - ١٢ وحدة مربعة، فكم وحدة عرضه؟ ( الدرس (۷-۲) الدرس (۳۷) حُلَّ كلًّا من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل: (الدرس ٧-٣) ٢٢) س ٢ - ٥ س = ١٤ (۲۳) س۲ - ۳س – ۱۸ - ۰ ٢٤ ٢٤ + س٢ = ١٠س ٢٥) اختيار من متعدد يزيد طول مستطيل على عرضه بمقدار ٢ سم، فما طول المستطيل، إذا كانت مساحته ٤٨ سم ) ۱۲۰ أ) ٤٨سم جـ) اسم ب) اسم د) ٢سم س + ٢ س - ٤ أ) وحدتان ب) ۳ وحدات جـ) ٤ وحدات د) ٦ وحدات الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446