حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

٦-٧ فيما سبق درست ضرب ثنائيتي حد حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود لماذا؟ يريد محمد تثبيت لوحة الرمي بالسهام إلى لوح خشبي مربع الشكل. فإذا كان نصف قطر لوحة السهام هو (نق) + (۱۲) ، فما مساحة لوح الخشب الذي يحتاج إليه ؟ باستعمال طريقة التوزيع يعرف محمد أن قطر لوحة السهام هو ۲ نق) + (۱۲) = ۲ نق + ٢٤. فيكون طول كل ضلع من أضلاع المربع يساوي ٢ نق + ٢٤ . ولإيجاد مساحة لوح الخشب الذي يحتاج إليه، فإن عليه إيجاد مساحة المربع . م = (٢نق + ٢٢٤ بالترتيب. والان أجد مربع مجموع حدين و مربع الفرق بينهما. أجد ناتج ضرب مجموع حدين بالفرق بينهما. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa مربع مجموع حدين ومربع الفرق بينهما بعض أزواج ثنائيات الحد كالمربعات مثل (٢نق + ٢٢٤ لها ناتج ضرب يتبع قاعدة معينة. واستعمال هذه القاعدة يسهل من عملية إيجاد ناتج الضرب. فمربع المجموع ( أ ) + (ب) ۲) = (أ) + (ب) (أ) + (ب) هو أحد نواتج الضرب تلك. أ + ب (أ + ب = + آب + ب + أب + آب مفهوم أساسي مربع مجموع حدين أضف إلى مطور التعبير اللفظي مربع ( أ + ب) هو مربع أ زائد مثلي حاصل ضرب أ في ب مضافًا إليه مربع ب. الرموز مثال: أ + ب) = (أ) + (ب) (أ + ب) = أ٢ + ٢ أ ب + ب ٢ (س) + (٢٤) = (س) + (٤) (س) (+) (٤) = س ٢ + ٨س + ١٦ مثال ۱ مربع مجموع حدين أوجد ناتج: (٣ س + ٢٥. ( أ + ب) ۲ = أ٢ + ٢ أ ب + ب ٢ (س) + (۲٥) = (۳س) ۲ + ۲(س) (٥) + ٢٥ ۹ س ۲ + ۳۰ س + ٢٥ تحقق من فهمك أوجد ناتج كل مما يأتي: ۱۱) (جـ) + (۱۳) ۲ مربع المجموع أ = ٣س، ب = ٥ بسط. باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب، وتحقق من حلك اب) (۳س + ٤ ص ٢ وزارة التعليم الدرس ٧٦ حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود Mayor E 2024-1446

9. ولإيجاد قاعدة مربع الفرق بين حدين ا ، أ- ب على صورة أ + - ب) ، وربع الناتج باستعمال قاعدة مربع مجموع حدين *(-)+(-)(i) + 1 = [(-) + 1] = *(-1) ٢١ - ٢ = مربع مجموع حدین بسط مفهوم أساسي مربع الفرق بين حدين أضف إلى يطويتك التعبير اللفظي مربع (أ - ب) هو مربع أ ناقص مثلي حاصل ضرب أ في ب مضافًا إليه مربع ب. ( أ - ب ) ٢ = ( أ - ب ) ( أ - ب) = أ٢ - ٢ أ ب + ب ٢ (س - ۲۳ = (س) - (۳) (س) - (۳) = س ٢ - ٦ س + ٩ الرموز مثال: تنبيه ! مربع الفرق بين حدين تذكر أن ناتج (س - ۲۷ لا يساوي س ٢ - ٢٧ أو س ٢ - ٤٩ ، وأن س - ۲۷ = (س) - (۷) (س - ۷) = س ٢ - ١٤ س + ٤٩ مثال ۲ مربع الفرق بين حدين أوجد ناتج: (٢س – ٥ ص)٢. ( أ - ب) ٢ = أ٢ - ٢ أ ب + ب ٢ مربع الفرق (٢س - ٥ ص ۲ - ۲س) ۲ - ۲۲س) ( ص) + (۵ ص۲ أ = ٢ س ، ب = ٥ ص الفصل 6: كثيرات الحدود ٤ س ٢ - ۲۰ س ص + ۲۵ ص ۲ سط تحقق من فهمك ١٢) (٦ ب - ٢١ ۲ ب) (أ - ۲ ب) ۲ يُسمى ناتج مربع المجموع أو مربع الفرق بين حدين بالمربع الكامل أو ثلاثي الحدود الذي يشكل مربعا كاملا. ويمكنك استعمال هذه القواعد لإيجاد أنماط لحل مسائل من واقع الحياة. مثال ٣ من واقع الحياة مربع الفرق بين حدين فيزياء: طول ضلع مكعب ألمنيوم أقل من طول ضلع مكعب نحاس بـ ٤سم. اكتب معادلة تمثل مساحة سطح مكعب الألمنيوم بدلالة طول ضلع مكعب النحاس. لیکن جـ طول ضلع مكعب النحاس، إذن طول ضلع مكعب الألمنيوم جـ -٤ مساحة السطح = ٢٥٦ مساحة السطح = ٦ (جـ - ٢٤ مساحة سطح المكعب عوض عن ل بـ (جـ - ٤) مساحة السطح = ٦ [جـ ٢ - ٢(٤)(جـ) + ٢٤] مربع الفرق مساحة السطح = ٦ (جـ ٢ - ٨ جـ + ١٦) تحقق من فهمك بسط حديقة لدى عماد حديقة، طولها وعرضهال مترًا، ويريد إضافة ٣ أمتار إلى كل من الطول والعرض. (أ) بين كيف يمكن التعبير عن مساحة الحديقة الجديدة بمربع ثنائية حد. ب) أوجد مربع ثنائية الحد السابقة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة أنماط عند استعمال أي من هذه القواعد فإن أ ، ب قد يكونان عددين أو متغيرين، أو عبارتين بأعداد ومتغيرات. ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما سنرى الآن ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، (أ ب) (أ ب). تذكر أنه يمكن كتابة أ - ب على الصورة أ + ( ب). أ + ب ب + |= آب أ ب + - ب + ب تأكد لاحظ أن كلا من الحدين الأوسطين هو معكوس جمعي للآخر، ومجموعهما صفر. لذا فإن (أ) + (ب) (أ) - ب) = ۲۴ - أب + أب - - مفهوم أساسي ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما التعبير اللفظي ناتج ضرب ( أ ) (ب ) ، ( أ - ب) هو مربع أ ناقص مربع ب. (أ + ب ) ( أ - ب) = (أ - ب) (أ) + (ب) = أ - ب ٢ الرموز مثال ٤ ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما أوجد ناتج: (۲ س۲ - ۳)(۲۲ - ۳). ( أ + ب) (أ) - ب) = أ - ب ٢ حاصل ضرب المجموع في الفرق (۲ س ) + (۳) (۲) س (۲) (۳) = (۲ س (۲) ۲ - (۳)۲ أ = ٢ س ، ب = ٣ = 4 س٤ - ٩ تحقق من فهمك ١٤) (۳ ن) + (۲) (۳ن - (۲) المثالان ۱ ، ۲ أوجد ناتج كل مما يأتي: بسط ٤ ب) (٤ جـ - ٧د) (٤ جـ + ٧د) (0+) (1 ۲ (۱ - ۱۱) (۲ ۳) (۲س + ص ۲ ٤) (3م - ٤ )(٣م - ٤) ٥) ( جـ - ٤ هـ) (جـ - ٤ هـ ) ٦) (جـ ( ٢٥٦ مثال ٣ ) ألعاب تحوي لعبة القرص الطائر قرصًا على شكل دائرة نصف قطرها (س + ٤) سم. أ) اكتب عبارة تمثل مساحة القرص الطائر. ب) إذا كان قطر القرص الطائر ٢٤ سم ، فما مساحته؟ (ط ~ ٣,١٤). أضف إلى طوبتك مثال ٤ أوجد ناتج كل مما يأتي: ۹) (س) + (٥) (س) - (٥) ١٠) (٦ص - (٧) (٦ ص ٧ وزارة التعليم الدرس ٦- حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود ۹۱۰yor 2024-1446

۹۲ تدرب وحل المسائل المثالان ۱ ، ۲ أوجد ناتج كل مما يأتي: (1++i)(\++i) (1) ۱۲) (ب - (٦) (ب - ٦) ۱۳) (هـ + ۲۷ ١٤) (س + ٢٦ ١٥) (٨ - م) (JO7-9) (17 ۱۷ (۲ ب + ۲۳ ۱۹) (۸هـ - ٤ (ن) ٢ ۱۸) (۵) ن - ۲۲ مثال ٣ ٢٠ مصارعة تكون سجادة المصارعة في العادة مربعة الشكل، طول ضلعها ۱۲ مترًا تقريبًا، وتحتوي على دائرتين كما في الشكل المجاور. افترض أن نصف قطر الدائرة الداخلية (ر) متر، وأن نصف قطر الدائرة الخارجية يزيد على نصف قطر الدائرة الداخلية بـ 3 أمتار. أ) اكتب عبارة تمثل مساحة الدائرة الكبرى. ب) اكتب عبارة تمثل مساحة جزء المربع خارج الدائرة الكبرى. مثال ٤ أوجد ناتج كل مما يأتي: ۲۱) (ل + (۳) (ل - ۳) ۲۳) (۲) + (٥) (٢ ك - (٥) أوجد ناتج كل مما يأتي: ٢٥) ٥ ص ۲۷ ۲۷ (۳ن + ۱۲ (۳ن - (۱۲) ٢٩) (۳ك - ٢٥ ٣١) (٤٤٣ - ب) (٤٤٣ + ب) ٢٢) (٤) - س ) (٤) + س) ٢٤) (٢٢٣ - ٧ب) (٢٢٣ - ٧ب) ۲ (۱۱۰ - ۸) (٢٦ ٢٨) (أ + ٤ ب) ۳۰) (۲ جـ - ۱۹)۲ ۳۲) (۵ س٢ - ص ۲)۲ الفصل 6: كثيرات الحدود (۳۹ - ۲۱۸) (۳۹ - ۲۱۸) (۳۳ (٣٥) ( ص - ٤) ٣٤) ( ك + ٨) ٣٦) (٢٤٧ + ٥ ص ٢) (٢٤٧-٥ ص ٢) VA) (+)()()(+0) ۳۹) هندسة اكتب كثيرة حدود تمثل مساحة الشكل أدناه. س - ۱ س + ۲ س + ۲ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

أوجد ناتج كل مما يأتي: ٤٠) (جـ ( د) (جـ ( د) (جـ + د) ٤١) (٢أ - ب) ٤٢) (ف + جـ) (ف - جـ) (ف + جـ ) ٤٣) (ك) - م ) (ك) (+) م ) ( ك ) - م ) ٤٤ ) (ن - ب) (ن + ب) (٤٥) (ك + ر ) ٢ (ك - ر) (٤٦) تمثيلات متعددة : سوف تكتشف في هذه المسألة قاعدة تمثل حاصل ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما، ابدأ بورقة مربعات وارمز إلى طول كل ضلع في المربع بالرمز أ، ثم ارسم مربعًا صغيرًا في إحدى زواياه، وارمز إلى طول ضلعه بالرمزب. أ) عدديًا أوجد مساحة كل مربع. ب) حسيًّا : قص المربع الصغير من الزاوية. ما مساحة الشكل المتبقية ؟ جـ) تحليليا افصل المستطيل الصغير السفلي، ثم دوّره واسحبه إلى جوار المستطيل العلوي. ما طول المستطيل في التمثيل الجديد؟ وما عرضه؟ وما مساحته؟ د) تحليليا : ما القاعدة التي توصلت إليها من الفقرتين ب، جـ؟ أدب أحب مسائل مهارات التفكير العليا ٤٧) حدد العبارة المختلفة عن العبارات الثلاث الأخرى فيما يأتي: (۲) جـ - د) (۲ جـ - د) (۲) جـ - د) (۲) جـ - د) (۲ جـ + د) (۲ جـ + د) (جـ + د) (جـ + د) ٤٨) تحد : هل يوجد قاعدة لمكعب المجموع (أ ب) ؟ أ) استقص إجابة هذا السؤال بإيجاد ناتج : (أ ب) (أ ب) (أ ب). ب) استعمل القاعدة التي وجدتها في الفرع أ لإيجاد ناتج : (س) (۲). ٤٩) تبرير أوجد قيمة جـ التي تجعل من العبارة ٢٥س ۲- ۹۰ س + جـ مربعا كاملاً. ٥٠) اكتب صف كيف تجد مربع مجموع حدين ومربع الفرق بين حدين، وكيف تجد ناتج ضرب مجموع حدين في الفرق بينهما. وزارة التعليم الدرس ٦- حالات خاصة من ضرب كثيرات الحدود ١٩٣٥) 2024-1446

تدريب على اختبار ٥١) ما ناتج ضرب (۱۲- ۳) (۱۲- ۳)؟ أ) ٢٤ + ۱۱۲ + ۹ ب) ٢٤ + ٩ ٥٢) يقطع مروان مسافة ٦ كلم في م دقيقة بسيارته. كم دقيقة سيحتاج إليها لقطع ٣٠ كلم بهذا المعدل ؟ جـ) ٢٢٤ - ١١٢ - ٩ DOI جـ) هم د) ٢٢٤ - ١١٢ - ٩ ب) ۱۸۰م د) مراجعة تراكمية ٥٣) أوجد ناتج (٤ هـ - ٣) (۲ هـ - ) : (الدرس ٦ - ٦) ٥٤) بسط العبارة ٣ب (٦ ب - ٤ ) + ٢ - ب ٢ - ٣ ب ) : ( الدرس ٦- ٥) ٥٥) اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (۱ ، ۱)، (٤، ). (مهارة سابقة) استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : حلل كلا من الأعداد التالية إلى عواملها الأولية: ٥٦( ٤٠ ٩٤ الفصل 6: كثيرات الحدود ٥٩( ١٦٥ ۹۰۰ (۵۸ ۱۲۰ (۵۷ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل اختبار الفصل بسط كل عبارة فيما يأتي: ۱) (س (۲) (۷ س۸) ٢) ( ه أ ب جـ ٢) (-٦ أ٢ ب جـ ) (۳) اختيار من متعدد عبّر عن حجم ا أدناه كوحيدة حد بسط كل عبارة فيما يأتي، مفترضًا أن أي مقام لا يساوي صفرا: س ص ٨ (V (۹) اس میں رس (A أوجد ناتج الضرب في كل مما يأتي: ۱۰ ) أ (أ٢ + ۲ أ - ١٠) (o+ir) (0-1) (11 ۱۲) (س - ۳) (س ۲ + ٥ س - (٦) أ س ٣ ب) ٦ س ۱۳) (س + ۲۳ جـ) ٦ س٣ د) س٦ ١٤) (٢ ب - (٥) (٢ ب + (٥) أوجد الناتج في كل مما يأتي: ه) (۷ م - ۸ ۲ - ۳ ن) - (٢ن ٢ - ٤ م - ٣ ن) ٦) اختيار من متعدد ترغب نوال في شراء سجاد لغرفتين في منزلها أبعادهما مبينة أدناه. فما المساحة الكلية للمنطقة التي ستغطى بالسجاد؟ س + ٥ أ) س ٢ + ٣س ب) س ٢ + ٣ س - ٥ جـ) ٢ س ٢ + ٦ س - ١٠ د) ۸ س + ۱۲ ١٥) هندسة : منشور رباعي قاعدته مستطيلة وأبعاده هي: س س + ۳، ۲ س + ۵ أ) أوجد حجم المنشور بدلالة س. ب) أوجد حجم المنشور بتعويض قيمتين لـ س، وكيف تقارن بين الحجمين ؟ حل كل معادلة فيما يأتي: ١٦ ٥ن ۲ - ۳ ن + (۲) = نه ن - (۲) ۱۷ ۳ س س + ۲) = ( ۲ - ۲) ۱۸) هندسة : اكتب عبارةً تمثل مساحة المنطقة المظللة في الشكل الآتي: ۲ س + ٥ س + ٢ س - ۲ وزارة التعليم الفصل : اختبار الفصل ۹۵ 2024-1446

97 الاختبار التراكمي اختيار من متعدد اقرأ كل سؤالٍ ممَّا يأتي، ثم اختر رمز الإجابة الصحيحة : ۱) عبر عن مساحة المثلث أدناه في صورة وحيدة حد؟ عبر عن محيط المستطيل أدناه بصورة كثيرة حدود. اب د س - ٣س + ٤ i) ٣س ٢ - ٤ س + ٧ ۲ س - س - ۳ أ) ۱۲ به دا ب) ۱۲ ب د ۱۰ جـ) آب دا ب) ۳س ۲ + س + ۷ د) آب دا جـ) ٦ س ٢ - ٨س + ١٤ ٢) بسط العبارة العبارة (i ع ل جـ) ٨ ع ل ١٥ إذا كانت مساحة المستطيل أدناه س ٢ - ٩ وحدة مربعة، فكم د) ٦ س ٢ - ٤ س + ٧ ه أوجد ناتج طرح: (٢٩٧ - ٦ - ٢) - (٤ ٣١ + ٣ ٢١ + ٥) أ ٤ أ٣ + ٤ ٢١ + ٦ ١ - ٧ ب) 11 أ٢ + ٣ أ - 7 وحدة عرضه؟ س + ٣ أ) س + ٣ جـ) س - ۹ ب) س + ۹ د س - ٣ إرشادات للاختبارات سؤال : استعمل قوانين الأسس لتبسيط العبارة، وتذكر أنه لإيجاد أس الأس، نضرب الأسس. الفصل : كثيرات الحدود جـ) ٤ ٣١ + ١٠ ٢١ + ٦ 1 + 3 د) ٤ أ٣ + ٣١٧ - ١٣ (٦) بسط العبارة : - هـ - ٣ل٢ ال - جـ) ل ٢ د) هال وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إجابة قصيرة أجب عن الأسئلة الآتية: إجابة مطولة أجب عن السؤال الآتي موضحًا خطوات الحل : يريد مزارع زراعة قطعة الأرض المستطيلة المبينة في الشكل: ١١) المخطط التالي يبين تفاصيل جناح نوم ( ۱۸۰ - ۲س) مترا غرفة ملابس | حمام ۲ س + ۱ غرفة نوم أ) اكتب كثيرة حدود تعبر عن مساحة الأرض. ب) أوجد مساحة قطعة الأرض، إذا كان عرضها ٤٠ مترا. اكتشف المختلف: أي العبارات التالية مختلفة؟ فسّر إجابتك. (۳) م - ۲ ن) (۳) م + ۲ ن) (۳) م + ۲ ن) (۳) م + ۲ ن) ' (۳) م + ۲ ن) (۳ م - ۲ ن) اكتب عبارةً تمثل مساحة كل منطقة مظللة مما يأتي: أ) أوجد مساحة الجناح كاملًا. س + ٤ ب) إذا كان عرض غرفة الملابس س ، وطولها س + ۱ ، فأوجد مساحة غرفة الملابس. جـ) أوجد مساحة الحمام. د) أوجد مساحة غرفة النوم. (1. س + ۱ ۲ س +۳ للمساعدة .. ۲ س + ٥ آس + ۳ إذا لم تجب عن السؤال فراجع الدرس .. ۲ ' 1 11 ۱۰ ۹ Λ V 7 V-7 0-9 ٦-٢ 2-7 ٦-٤ V-7 ٦-٢ 1-7 ٦-٦٠٧-٦ وزارة التعليم الفصل ٦: الاختبار التراكمي ١٩٧٥ 2024-1446