دوال التغير - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

5-5 دوال التغير Variation Functions www.ien.edu.sa فيما سبق: درست كتابة معادلات خطية وتمثيلها بيانيا. (مهارة سابقة) والآن • أحل مسائل التغير الطردي والتغير المشترك. • أحل مسائل التغير العكسي والتغير المركب. المفردات: التغير الطردي direct variation ثابت التغير constant of variation التغير المشترك joint variation التغير العكسي inverse variation التغير المركب combined variation الماذا؟ وجد عبدالله خلال بنائه منحدرًا للتزحلق أن أنسب المنحدرات هي التي يكون فيها طول المنصّة : مساويًا 1.5 مرة من ارتفاعها . كما تلاحظ من الجدول المجاور، فإن طول المنصة يعتمد على ارتفاعها، حيث يزداد الطول كلما ازداد الارتفاع بينما تبقى نسبة الطول إلى الارتفاع ثابتة، وعندما تكون النسبة بين كميتين متغيرتين ثابتة، تسمى العلاقة بينهما تغيّرًا طرديا ) كما درست سابقا، وبهذا فإن طول المنصة يتغير طرديا مع ارتفاعها. التغير الطردي والتغير المشترك إن المعادلة 1.5 = يمكن الطول (2) الارتفاع ( النسبة ) كتابتها على الصورة 1.5 = ) وهي مثال على التغير الطردي، حيث يعبّر عن التغير الطردي بمعادلة على الصورة y = kx ، ويُسمى k في هذه المعادلة ثابت التغير. لاحظ أن التمثيل البياني للمعادلة 1.5 = ) هو مستقيم يمر بنقطة الأصل، لذا فالتغير الطردي حالة خاصة من معادلة مستقيم مكتوبة على الصورة y = mx + b ، حيث m = k و 0 = b . وهذا يعني أن ميل المستقيم الممثل لمعادلة التغير الطردي هو ثابت التغير. وللتعبير عن التغير الطردي، فإننا نقول إن لا تتغير طرديا مع .. وبمعنى آخر كلما زادت ، فإن لا تزداد بنسبة ثابتة إذا كان ثابت التغير موجبا وينقص بنسبة ثابتة إذا كان ثابت التغير سالبًا. 1.5 2 3 1.5 4 6 1.5 6 9 1.5 8 12 9 8 1.5 h 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 الارتفاع إرشادات للدراسة ثابت التغير في التغير الطردي مفهوم أساسي التغير الطردي التعبير اللفظي: تتغير لا طرديًا مع x إذا وجد عدد 0 k ، بحيث y = kx ويسمى العدد ثابت التغير. المستقيم الذي له ثابت مثال: تغير موجب ، يكون صاعدًا إلى أعلى من اليسار إلى اليمين ، أضف إلى طويتك إذا كانت y = 3x ، فإن / تتغير طرديًا مع x . فكلما زادت x بمقدار 1، فإن y تزداد بمقدار 3 فعندما تكون قيمة 1 = x ، فإن 3 = y ، وعندما 2 = x فإن 6 = y وهكذا. إذا كانت لا تتغيّر طرديا مع x ، وعُلمت بعض القيم، فإنه يمكنك استعمال التناسب لإيجاد القيم الأخرى بينما المستقيم الذي له ثابت تغير سالب فإنه يكون هابطا نحو الأسفل من اليسار إلى اليمين المجهولة. 2 = kx2 y₁ =kx₁ 11 =k 2 k X2 ومن ذلك نجد أن . 91 92 X1 2 (يسمى هذا التناسب تناسبًا طرديًّا؛ أي أن لا تتناسب طرديا مع x ) . ويمكنك استعمال خصائص المساواة لإيجاد تناسبات أخرى تربط بين قيم x وقيم . وزارة التعليم الدرس 5- دوال التغير99 2024-1446

مثال 1 التغير الطردي إذا كانت لا تتغير طرديا مع x ، وكانت 15 = y عندما 5 = x ، فأوجد قيمة y عندما 7 = x . استعمل تناسبًا يربط بين القيم. تناسب طردي 41 = 15 x = 5 ، x2 = 7 5 Y1_42 X1 X2 15 2 15(7)=5(y2) 1055%2 21 = 92 بالضرب التبادلي بسط اقسم كل من الطرفين على 5 إرشادات للدراسة . التغير المشترك يصنف بعض الرياضيين تحقق من فهمك إذا كانت ا تتغير طرديا مع ٤ ، وكانت 20 = r عندما 4 = t ، فأوجد قيمة r عندما 6 = t . هناك نوع آخر من التغير يُسمى التغير المشترك، ويحدث عندما تتغير كمية ما طرديا مع حاصل ضرب كميتين أخريين أو أكثر. مفهوم أساسي التغير المشترك التعبير اللفظي: تتغير لا تغيراً مشتركا مع x و 2 إذا وجد عدد k0 ، بحيث y = kxz . مثال: التغير المشترك بوصفه حالة خاصة من التغير المركب الذي ستدرسه لاحقا. إذا كانت: 60- = x = 6, 2 = 2, y ، وكانت لا تتغير تغيرًا مشتركا مع x و 2 ، حيث إن: 5 = y = 60 = 5(6) (2) = xz k ، فإن قيمة y عندما 5 = 2 ،4 = x تكون: 100 = (5) × 4× 5 = y . إذا كانت لا تتغير تغيرا مشتركًا مع x و 2 ، وعلمت بعض القيم، فإنه يمكنك استعمال التناسب لإيجاد القيم 100 الأخرى المجهولة. ومن ذلك نجد أن y₁ =kx₁₁ ' 2 = kx222 12 = k x121 X2Z2 يسمى ، هذا التناسب تناسبا مشتركًا، أي أن لا تتناسب طرديا مع حاصل ضرب x ، 2). Y1 92 121 1222 مثال 2 التغير المشترك إذا كانت لا تتغير تغيرًا مشتركا مع x و 2 ، وكانت 20 = y عندما 5 = x و 3 = 2، فأوجد قيمة 1 عندما 9 = x و 2 = 2. استعمل تناسبا يربط القيم بعضها ببعض. Y1 دل تناسب مشترك x1Z1 X2Z2 20 Y2 41 = 20, x1 = 5, 21 = 3, x2 = 9, 22 = 2 = 5(3) 9(2) بالضرب التبادلي بسط اقسم كل من الطرفين على 15 20(9)(2)=5(3)(y2) 360 = 15%2 24 = 2 تحقق من فهمك 2) إذا كانت تتغير تغيرا مشتركًا مع t y o ، وكانت 70 = r عندما 10 = 0 و 4 = t ، فأوجد قيمة 1 عندما 2 = 0 ، و 8 = t . الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

التغير العكسي والتغير المركب هناك نوع ثالث من التغير هو التغير العكسي ، فإذا تغيرت الكميتان عكسياً فحاصل ضربهما يساوي ثابتاً هو . تتغير كميتان موجبتان أو سالبتان معًا عكسيًّا إذا كانت إحداهما تزيد بنقصان الأخرى. وتتغير كميتان إحداهما موجبة والأخرى سالبة عكسياً إذا كانت إحداهما تزيد بزيادة الأخرى، فعلى سبيل المثال تتغير السرعة والزمن اللازمان لقطع مسافة ثابتة تغيرًا عكسياً ؛ فكلما زادت السرعة قل الزمن اللازم لقطع المسافة. مفهوم أساسي التغير العكسي التعبير اللفظي: تتغير لا عكسيًا مع x إذا وجد عدد k0 ، بحيث مثال: k x y = k أو ا = y، حيث 0 + x و 0 # y أضف إلى طويتك إذا كانت 12 = xy ، فإن لا تتغير عكسيًا مع .. فكلما زادت x نقصت ل والعكس، فعندما 2 = x فإن 6 = y، بينما عندما 3 = x فإن 4 = y . إذا كانت لا تتغير مع x كما في الجدول المجاور، فإنك تلاحظ أن قيم x تزداد بتناقص قيم ، وهما كميتان موجبتان؛ لذا فإن لا تتغير تغيرا عكسيا مع x بحيث 6 = xy أو = y ، ويكون التمثيل البياني لهذه المعادلة كما في الشكل المجاور. وبما أن عدد موجب فإن قيم لا تتناقص بازدیاد قیم x لاحظ أن التمثيل البياني ! للتغير العكسي يشبه التمثيل البياني لدالة المقلوب تماما. يمكنك استعمال التناسب لحل مسائل تتضمن تغيرًا عكسيًّا مُعطى فيها بعض القيم، والتناسب الآتي هو أحد التناسبات التي يمكن تكوينها. X 6 3 2 y 1 2 3 44 xy = 6 -6- y= b -4+ -20 4 6 x1 y1=kx2 y2 = k 191 = x292 ومن ذلك نجد أن 32 - X1 12 41 (يسمى هذا التناسب تناسباً عكسياً ؛ أي أن لا تتناسب عكسياً مع x ) . مثال 3 التغير العكسي إذا كانت a تتغير عكسياً مع b وكانت 28 = a عندما 2 = b، فأوجد قيمة a عندما 10 = b . استعمل تناسبا يربط بين القيم. a₁ b₁ = a₂ b₂ 28(2) = 10(a2) 56 = 10(a2) تحقق من فهمك تناسب عكسي a=28, b₁ =2, b₂ = 10 بسط اقسم كلا من الطرفين على 10 3) إذا كانت x تتغيّر عكسياً مع y ، وكانت 24 = x عندما 4 = y ، فأوجد قيمة x عندما 12 = y. وزارة التعليم الدرس 5- دوال التغير 101 2024-1446

يُستعمل التغير العكسي في كثير من التطبيقات الحياتية. مثال من واقع الحياة كتابة التغير العكسي وحله موجات الصوت: يتغير التردد الناتج عن اهتزاز سلك مشدود f عكسيًا مع طول السلك 1. فإذا كان التردد الناتج عن اهتزاز سلك مشدود طوله in 10 يساوي 512 دورة في الثانية، فأوجد تردد سلك مشدود طوله in 8. افترض أن 8 = 2, 512 = f ,10 = . وأوجد قيمة 2. المعادلة الأصلية f = 512, 1 = 10,12 = 8 اقسم كل من الطرفين على 8 بسط 4f1=12f2 10.512-8.f2 5120 =f₂ 8 640=f2 إذن تردد السلك يساوي 640 دورة في الثانية. تحقق من فهمك (4) فضاء : يتغير الطول الظاهري لجسم عكسيًّا مع بعد الناظر إلى الجسم. إذا كان بعد الأرض عن الشمس 93 مليون ميل تقريبًا، وبعد المشتري عن الشمس 483.6 مليون ميل فكم مرة سيبدو طول قطر الشمس أكبر عند النظر إليها من الأرض مقارنة بطول قطرها عند النظر إليها من المشتري؟ هناك نوع رابع من التغير هو التغير المركب، ويحدث عندما تتغيّر كمية ما طرديا أو عكسيًّا أو كليهما معا مع كميتين أخريين أو أكثر. إذا كانت لا تتغير طرديا مع x ، و لا تتغير عكسياً مع 2 ، وعلمت بعض القيم، فإنه يمكنك استعمال التناسب لإيجاد القيم الأخرى المجهولة. kx₁ Z1 Y1Z1 = k x1 x2 kx2 12 ومن ذلك نجد أن 1222 = 2 ( يُسمى هذا التناسب تناسباً مركبا، أي أن لا تتناسب طرديا مع x وعكسياً مع 2 ). 2 X مثال 5 التغير المركب إذا كانت / تتغير طرديا مع 8 وعكسياً مع ، وكانت 24 = g عندما 2 = h و 6 = f ، فأوجد قيمة g عندما 18 = f و 3 = h . استعمل تناسبا يربط القيم. تناسب مركب fih fah 81 82 6(2) 18(-3) f1 = 6,81 = 24, h = 2, f2 = 18, h = 3 24 82 اضرب تبادليا بسط 24(18)(-3)=6(2)(82) -1296=1282 اقسم كلا من الطرفين على 12 -108-82 تحقق من فهمك إذا كانت P تتغير طرديا مع r وعكسياً مع t ، وكانت 20 = t عندما 4 = p ، و 2 = r . فأوجد قيمة t عندما وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 10 = r و 5 = p ؟ إرشادات للدراسة التغير المركب في العلاقة = y تظهر الكميات التي تتغير طرديا مع لا في البسط. أما التي تتغير عكسيا فتظهر في المقام. الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية 102

الأمثلة 31 إذا كانت لا تتغير طرديا مع x ، وكانت 12 = y عندما 8 = x ، فأوجد قيمة y عندما 14 = x . 2) إذا كانت لا تتغيّر تغيرا مشتركًا مع x و 2، وكانت 50 = y عندما 5 = 2 و 10 = x ، فأوجد قيمة y عندما 9 = x و 3 = 2 . إذا كانت لا تتغيّر عكسياً مع x ، وكانت 18 = y عندما 16 = x ، فأوجد قيمة x عندما 9 = y . مثال 4 (4) خرائط تتناسب المسافات على الخرائط تناسبًا طرديا مع المسافات الفعلية على سطح الأرض. إذا كانت مسافة 2in على إحدى الخرائط تعادل 15mi على سطح الأرض. وكانت المسافة بين نقطتين تمثلان مدينتين على الخريطة in 12 فأوجد المسافة الحقيقية بينهما. مثال 5 (5) إذا كانت a تتغير طرديا مع b، وعكسياً مع c ، وكانت 16 = b عندما 2 = c و 4 = a ، فأوجد قيمة b عندما تدرب وحل المسائل .c = -3,a=8 مثال 1 إذا كانت x تتغير طرديا مع y ، فأوجد قيمة x عندما 8 = y في كل من الحالتين الآتيتين: (6) إذا كانت 6 = x، عندما 32 = y. (7) إذا كانت 11 = x، عندما 3 = y . 8) فضاء : إذا كان وزن جهاز استكشاف على الأرض 360 رطلا ، ووزنه على سطح القمر 60 رطلا ، فاكتب معادلة تربط بين وزن جسم 10 على سطح الأرض ووزنه m على سطح القمر. مثال 2 إذا كانت ه تتغير تغيرا مشتركا مع b و c ، فأوجد قيمة a عندما 4 = b و 3 = c في كلُّ من الحالتين الآتيتين: (9) إذا كانت 108 = عندما 2 = 6 و 9 = c . (10) إذا كانت 24 = a عندما 8 = b و 12 = c . مثال 3 إذا كانت / تتغير عكسياً مع 8 ، فأوجد قيمة / عندما 6 = g في كلُّ من الحالتين الآتيتين: (11) إذا كانت 12 = f، عندما 19 = 8 . (12) إذا كانت 0.6 = f، عندما 21 = 8 . مثال 4 13) طيور عندما يهاجر سرب من الطيور من مكان إلى آخر كل عام فإنه يقطع مسافة تتغير طرديا مع الزمن مثال 5 الذي يقضيه في الطيران. a إذا قطع سرب الطيور مسافة mi 375 في 7.5 ، فاكتب معادلة تغير طردي تمثل هذا الموقف. إذا قطع سرب الطيور مسافة mi 3000 خلال هجرته، فأوجد عدد ساعات طيرانه. 14) إذا كانت x تتغير طرديا مع y ، وعكسياً مع 2، وكانت 20 = 2 عندما 6 = x و 14 = y ، فأوجد قيمة z عندما 10 = x و 7- = y. حدد إذا كانت كل علاقة ممثلة في الجداول أدناه تمثل تغيرًا طرديًا، أو تغيرًا عكسيًّا، أو غير ذلك: إرشادات للدراسة التغير الطردي والتغير العكسي يمكن تحديد نوع قيم لـ x و y . فإذا x y (15 4 12 8 24 16 48 32 96 x y (16 8 2 4 4 -2 -8 -8 -2 x y (17 2 4 3 9 4 16 5 25 التغير من خلال جدول 18) إذا كانت x تتغير عكسياً مع y، وكانت 16 = x عندما 5 = y فأوجد قيمة x عندما 20 = y. كانت لا تساوي قيمة حدد إذا كانت المعادلة في كل مما يأتي تمثل تغيرًا طرديًا، أو عكسيًا، أو مشتركًا، أو مركبا، ثم أوجد ثابت التغير ثابتة فالتغير طردي. (التناسب) في كل منها : " أما إذا كانت xy تساوي a = 27b (19 -10=gh (21 c = (20 m=20cd (22 قيمة ثابتة فالتغير عكسي. وزارة التعليم الدرس 5- دوال التغير 103 2024-1446

(23) كيمياء : يتغير حجم غاز معين 7 طرديا مع درجة حرارته . وعكسياً مع ضغطه حيث ) a) هل تمثل المعادلة تغيرًا طرديا ، أم عكسياً أم مشتركًا أم مركبا ؟ (v= b) عينة من الغاز حجمها 8 لترات، ودرجة حرارتها 2750 كلفن ، وضغطها 1.25 وحدة ضغط جوي، تم ضغطها ليصبح حجمها 6 لترات وتسخينها إلى درجة حرارة 300 كلفن . كم يصبح ضغط الغاز عندئذ؟ 24) جاذبية ينص قانون الجاذبية العام على أن قوة الجذب F بالنيوتن بين أي جسمين تتغير طرديا مع حاصل ضرب كتلتيهما بالكيلو جرام 1 و 2، وعكسياً مع مربع المسافة بينهما d بالمتر . وتبين المعادلة 12 Com . هذه العلاقة، حيث G ثابت الجاذبية العام، وقيمته Nm2/Kg2 10-11 × 6.67 . a إذا كانت المسافة بين الأرض والقمر 108m 3.84 تقريباً، وكتلة القمر 1022kg × 7.36. وكتلة الأرض 18 1024 x 5.97 ، فما مقدار قوة الجذب التي تؤثر بها كل منهما في الآخر؟ d2 F= ) إذا كانت المسافة بين الأرض والشمس m 101 × 1.5 تقريبا، وكتلة الشمس 1030kg × 1.99 تقريبا، فما مقدار قوة الجذب التي تؤثر بها كل من الشمس والأرض في الآخر؟ مسائل مهارات التفكير العليا 25) اكتشف الخطأ يحل كل من يوسف وتركي مسألة عن التغير المركب، تتغير فيها z طرديا مع x وعكسياً مع y. أيهما توصل إلى التناسب الصحيح ؟ وضح إجابتك. تركي يوسف kx, kx2 kx1 kxz 12 12 22/2 222 k= .k= k= , k = X2 72 271 272 zx 22x2 x₁ 2 22 (26) تبرير : وضّح لماذا يعد بعض المختصين في الرياضيات التغير المشترك تغيرا مركبا، ولكنهم لا يعدون التغير المركب مشتركًا. (27) مسألة مفتوحة: صف ثلاث كميات من واقع الحياة تتغير تغيرا مشتركًا فيما بينها. 28 اكتب حدد أنواع التغيرات التي لا يمكن أن يكون الصفر أحد قيمها. وضّح إجابتك. تدريب على اختبار (30) ما التغير الذي تمثله العلاقة الموضحة (29) إذا كانت a تتغيّر طرديا مع b ، وعكسياً مع c ، وكانت 15=b عندما 2, 14 فما قيمة عندما 7, 8- = c ؟ 105 A -105 B C 105 105 D بالجدول المجاور؟ A طردي مشترك B عكسي D مركب مراجعة تراكمية حدد خطوط التقارب الرأسية ونقط الانفصال ( إن وجدت ) في التمثيل البياني لكل دالة نسبية مما يأتي: (الدرس 4-5) f(x) = (31 x2 + 5x + 6 أوجد LCM لكل مما يأتي: (الدرس (2-5) a, 2a, a +1 (34 104 الفصل 5 العلاقات والدوال النسبية f(x)= x+2 x2 + 3x - 4 (32 8,24x, 12 (35 f(x)= x2 + 4x + 3 x + 3 (33 x4, 3x², 2xy (36 x y 15 5 18 6 21 7 24 8 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446