العمليات على العبارات الجذرية - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

رابط الدرس الرقم www.ien.edu.sa العمليات على العبارات الجذرية Operations with Radical Expressions 4-5 فيما سبق درست تبسيط عبارات لماذا؟ 2 عُرف المستطيل الذهبي قديمًا، حيث استعمله الفنانون والمهندسون في تصاميمهم، تتضمن الجذر النوني والنسبة بين طوله إلى عرضه هي 51. ومن أهم خصائصه أنه إذا أزيل منه مربع طول ضلعه هو عرض المستطيل فالشكل الباقي مستطيل ذهبي ( الدرس (44) وانان أبسط عبارات جذرية. أجمع عبارات جذرية وأطرحها وأضربها وأقسمها. المفردات إنطاق المقام rationalizing the denominator الجذور المتشابهة like radical expressions المرافق وسنتعلم في هذا الدرس تبسيط عبارات جذرية مثل . 2 √√5-1 أيضًا. تبسيط العبارات الجذرية: يمكن تبسيط العبارات التي تحوي جذورا نونية باستعمال خواص العمليات عليها. مفهوم أساسي خاصية ضرب الجذور مستطيل ذهبي مربع أضف الى مطويتك التعبير اللفظي: لأي عددين حقيقيين ، ولأي عدد صحيح n حيث 1 n ، فإن Vab = ab ، إذا كانت n عددًا زوجيًا وكان a, b عددين غير سالبين أو إذا كان n عدداً فرديًا. مثالان: 3. 9 = 27 = 3 √√2 √√8 √√16=4 ولكي تكون العبارة الجذرية التي تتضمن جذورًا في أبسط صورة، يجب ألا يتضمن ما تحت الجذر عوامل (غير العدد (1) يمكن أن تكتب في صورة قوى نونية لعدد صحيح أو كثيرة حدود. مثال 1 تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية الضرب بسط كلًا مما يأتي: حلل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة خاصية ضرب الجذور بسط حلل ما يمكن تحليله إلى عوامل مرفوعة للأس 4 خاصية ضرب الجذور وزارة التعليم √32x8 = √√42.2. (x4)2 =√√4².√(x4)².√√2 √321-8 (a =4x+√2 √16a24b13 (b √16a24b13 √√24 (6)4(b³)4. b . =2a6b3√b بسط ولا ضرورة لكتابة رمز القيمة المطلقة في هذه الحالة؛ لأنه حتى يكون 16a24b13 معرفا، يجب أن تكون b موجبة. لذا فإن 24663 = 16424413 √√27y127 (1B الدرس 5-4 العمليات على العبارات الجذرية 370 2024-1446 تحقق من فهمك √12d3c12 (1A conjugate

خاصية قسمة الجذور هي . خاصية أخرى تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية. مفهوم أساسي خاصية قسمة الجذور التعبير اللفظي لأي عددين حقيقيين ، حيث 0 b ولأي عدد صحيح n حيث 1 < 1 أضف إلى مطويتك ، إذا كانت جميع الجذور معرفة 27 = √27 74 3√3 = 2 8 ᏉᏏ Ꮟ = x2 = √x6 √8 = فإن مثالان: إرشادات للدراسة الجذور الدقيقة يسهل إيجاد الجذور بصورة دقيقة عندما تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر، فمثلا: لإزالة الجذور من المقام أو الكسور تحت الجذر، استعمل عملية تُسمى إنطاق المقام. ولعمل ذلك، اضرب البسط والمقام في مقدار بحيث تكون جميع أسس الثوابت والمتغيرات الموجودة تحت الجذر من مضاعفات دليل الجذر مما يسهل إيجاد الجذر الدقيق. إذا كان المقام فاضرب البسط والمقام في √b √√bx √b مثال 33 √3 2√√3 5 √√2² 5√√4 خاصية قسمة الجذور إنطاق المقام مثال 2 تبسيط عبارات جذرية باستعمال خاصية القسمة (b √6 √6 √53x3 √√5x √√53x3 خاصية ضرب الجذور √6.53x3 5x533 √750x³ اضرب √54x4 √750x³ V5414 = 5x 5x وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (28) خاصية قسمة الجذور حلل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة خاصية ضرب الجذور بسط إنطاق المقام بسط كلا مما يأتي: Vy √(x3)2 •y √(x3)2 = = √ √√y=y = y³√y y³√y Vy تحقق من فهمك Va⁹ (2) √b5 √25 a = 5a² الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية 38

فيما يأتي ملخص للقواعد التي تستعمل في تبسيط العبارات الجذرية: ملخص المفاهيم تبسيط العبارات الجذرية أضف إلى بتك مطويب تكون العبارة الجذرية في أبسط صورة إذا تحققت جميع الشروط الآتية: . إذا كان دليل الجذر n أصغر ما يمكن. . إذا لم يتضمن ما تحت الجذر عوامل (غير العدد (1 يمكن أن تُكتب على صورة قوى نونية لعدد صحيح أو لكثيرة حدود . إذا لم يتضمن ما تحت الجذر كسورا . إذا لم توجد جذور في المقام العمليات على العبارات الجذرية : يمكنك استعمال خاصيتي الضرب والقسمة لضرب بعض العبارات الجذرية وقسمتها. مثال 3 ضرب العبارات الجذرية بسط العبارة الجذرية : 5-12ab4 . 318a2b2. 12ab4 . 3180202 = 5 . 3 . -12ab4 . 18a2b2 - 5- خاصية ضرب الجذور 15.-22.3ab4.2.32.a²b² = 15 . -23 . 33 . 366 = 15.23 . 33.3.06 15. (-2) 3.a. b2 =-90ab² تحقق من فهمك 6√8c3d5.4√√2cd3 (3A حلل الثوابت جمع العوامل في صورة أسس تكعيبية خاصية ضرب الجذور بسط اضرب 28x³y2.3√√2x52 (3B إرشادات للدراسة جمع العبارات الجذرية وطرحها بسط كل جذر على حدة قبل محاولة تجميع الجذور المتشابهة. يمكنك . جمع العبارات الجذرية وطرحها بالأسلوب المستعمل عند جمع وحيدات الحد أو طرحها، ولكن بشرط أن تكون الجذور متشابهة ؛ أي أن يكون للجذور الدليل نفسه وما تحت الجذور المقادير نفسها. متشابهان 35 و 436 غير متشابهين V30 و 30 مثال 4 جمع العبارات الجذرية وطرحها بسط العبارة الجذرية: 2132 - 98 غير متشابهين V20 و V30 242.2 - V2.72 = 2132 - 98 حلل ما يمكن تحليله إلى عوامل مربعة = 172.12 - 2.2.2 = 72 - 20402 =7√√2-8√√2 خاصية ضرب الجذور بسط العبارات الجذرية اضرب تحقق من فهمك 4√√8+3√√50 (4A (7-8)√√2 (-1)(√√2) =-√√2 5√12+2√27-√128 (4B وزارة التعليم الدرس 5-4 العمليات على العبارات الجذرية 139 2024-1446

إرشادات للدراسة وبما أنه يمكنك جمع الجذور وطرحها بالطريقة نفسها المتبعة في جمع وحيدات الحد وطرحها، فإنه يمكنك أيضًا ضرب الجذور باستعمال التوزيع بالترتيب لضرب ثنائيتي حد. مثال 5 ضرب العبارات الجذرية بسط العبارة الجذرية (6) - 32) (52 + 43). (4√3+5√2)(3√√2-6)= 4√3.3√√2+4√√3. (-6)+5√2.3√√2+5√2. (-6) = 123 - 2 - 243 + 1522 - 302 = 126 - 243 + 30 - 302 تحقق من فهمك (6√3-5)(2√5+4√2) (5A خاصية التوزيع خاصية ضرب الجذور بسط (7√√2-3√3)(7√2+3√√3) (5B المرافق تعتبر كل من ثنائيتي الحد اللتين على الصورة ab + ca, ab - cd حيث a, b c d أعداد نسبية مرافقة حاصل ضرب عددين مترافقين هو عدد نسبي للأخرى. ويمكنك استعمال المرافق لإنطاق المقام. دائما . إرشادات للدراسة يمكنك إيجاد ناتج (√5-1)(√5+1) مباشرة باستعمال الفرق بين مربعين بالشكل (√5-1)(√√5+1) = (5) 2 - (1) 2 =5-1=4 تأكد مثال 5 من واقع الحياة استعمال المرافق لإنطاق المقام هندسة: ارجع إلى الفقرة الواردة في بداية الدرس واستعمل المرافق لإنطاق المقام وتبسيط العبارة الجذرية: √√√5-1 √√5+1 2 = √5-1 √5+1 √5-1 2√√5+2(1) (V5)2+1(√5) 1(√5) - 1(1) 2√√5+2 5 + V5 - 15 - 1 تحقق من فهمك 2√√5+2 4 √√5+1 1 + V5 مرافق 13 - V5 اضرب واستعمل خاصية التوزيع بسط اطرح بسط 5 600 (6) هندسة : إذا كانت مساحة المستطيل في الشكل المجاور تساوي ft2 900، فاكتب معادلة تمثل طول المستطيل L بدلالة x ، ثم بسطها 12 | الأمثلة 5-1 بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي: √36ab4c5 (1 5√√2x 3√√8x (5 √√3x³y². √√27xy² (7 40 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية (4) (3 144x7y5 (2 3√36xy-2√√6x2y2 (6 5√√32+√27+2√√75 (8 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

12+ √√3- (8√3-2√2)(8√√3+2√2) (10 (4+2√√5)(3√3+4√√5) (9 8 5 (12 (11 √6-5 √2+3 6-√3 4+√2 (14 (13 √√√3+4 √2-3 مثال 6 15) هندسة : أوجد ارتفاع المثلث في الشكل المجاور في أبسط صورة إذا كانت مساحته cm2 43 + 189. تدرب وحل المسائل الأمثلة 4-1 بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي: 17x 10y3 (19 √18a6b35 (18 √9a15b3 (17 √72a8b5 (16 2√32a3b5.8a7b2 (23 3√54.8√10yz(22 4√√28 8√810+ √√44 (25 1723 √6x2 (21 (20 4b2 √5y - 3√√90+4√20+ √162 (24 (8+√3)ft √6 ft (26) هندسة أوجد محيط المستطيل في الشكل المجاور واكتبه في أبسط صورة. ثم أوجد مساحته واكتبها في أبسط صورة. بسط كلا من العبارات الجذرية الآتية: (6√√3+5√√2)(2√√6+3√√8) (28 2√2+2√5 √5+√2 9-2√3 √2 (32 (31 (30 √√3+6 √5-√3 (7√√2-3√√3)(4√√6+3√√12) (27 3√2 (29 √3-√2 بسط كلا من العبارات الجذرية الآتية: 36xy2 (35 10xz 12x³y2 5a²b (34 √x 2 (38 (37 Vx2 1 V22 - 4 -54x6y11 (33 _x+1 VT-1 (36 المثالان 56 الربط مع الحياة 39) تفاح يرتبط قطر التفاحة مع كتلتها بالدالة 30 = d، حيث d تمثل القطر بالبوصة، to الكتلة بالأونصات. أوجد قطر تفاحة كتلتها 6.47 أونصات. التفاح يطفو على الماء لأن بسط كل عبارة جذرية فيما يأتي، حيث 6 عدد زوجي: نسبة الهواء فيه 25% من حجمه. Vab (40 (44 Va4b (41 Va2b (42 Va3b (43 تمثيلات متعددة ستستكشف في هذا السؤال العمليات على الجذور المتشابهة. a عدديا : انقل الشكل المجاور على ورقة نقطية. واستعمل نظرية فيثاغورس لإثبات أن طول القطعة المستقيمة الحمراء يساوي 2 وحدة. ) بيانيا زد طول القطعة المستقيمة الحمراء ليصبح 2 + 2. تحليليا : استعمل الشكل الذي رسمته لتبين أن 2 = 2 + V2 + V2 + 2. d) بيانيا: استعمل الورقة النقطية لرسم مربع طول ضلعه V2 وحدة. عدديًا: برهن على أن مساحة المربع تساوي 2 = V2.2 وحدة مربعة. وزارة التعليم الدرس 5-4 العمليات على العبارات الجذرية 41 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا (45) اكتشف الخطأ بسط كل من خالد وناصر العبارة الجذرية 618 + 432 ، فأي منهما إجابته صحيحة؟ وضّح إجابتك. خالد ناصر 4√√32 +6√√18 = 4√√16.2+6√√9.2 = =64√2+54√√2 118√√2 4√√32+6√√18 = 4√√42.2+6√322 = 16√2+18√√2 =34√2 46) تحد بين أن 3 - 1 - هو جذر تكعيبي لا للعدد 1 a 2 (47) تبرير ما قيم ، التي تجعل العبارة الجذرية va.va عددًا حقيقيا ؟ فسر إجابتك. 48) مسألة مفتوحة : أوجد عددًا غير الواحد الصحيح بحيث يكون كل من جذوره: التربيعي، و والرابع عددًا كليا موجبًا. (49) اكتب وضح متى يكون وضع رمز القيمة المطلقة ضروريًا، أو غير ضروري في ناتج تبسيط الجذر النوني العبارة ما . تدريب على اختبار (50) أي العبارات الجذرية الآتية تكافئ العبارة الجذرية 180208؟ 36√51ab4 D 310ab4 √(8+5)²(53 27x3 + 1 = 0 (57) 6√√51ab4 B 729a3b9 (52 5√√6a64 A مراجعة تراكمية بسط كلا من العبارات الجذرية الآتية: √8116 (51 (54) مثل المتباينة 2 - y = V بيانيا. (مهارة سابقة) x4+ 6x2 - 27 = 0 (56 حل كل معادلة مما يأتي: (مهارة سابقة) x4 - 34x2 + 225 = 0 (55) (58) قوارب تربح شركة لصناعة القوارب 5000 ريال من صنع القارب الصغير، و 9000 ريال من صنع القارب الكبير. فإذا زاد عدد ما أنتجته الشركة من القوارب الصغيرة 5 قوارب على عدد القوارب الكبيرة خلال فصلي الصيف والربيع. وربحت مقابل ذلك 81000 ريال. فكم عدد القوارب التي أنتجتها الشركة من كل نوع؟ (مهارة سابقة) أوجد ناتج كل مما يأتي: (مهارة سابقة) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 1 + 3 (60 3(½) (59 42 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية والجذرية