تمثيل الدوال التربيعية بيانيا - الرياضيات 3 - ثالث متوسط

1-A رابط الدرس الرقمي تمثيل الدوال التربيعية بيانيا فيما سبق بيانيا. الماذا؟ تعد : . نافورة الملك فهد في جدة أعلى نافورة من نوعها في العالم، إذ يصل ارتفاعها إلى ۳۱۲ مترا، وتقدم عرضا درست تمثيل الدوال الخطية رائعا لحركة المياه والضوء، ويمكن تمثيل حركة المياه بمعادلات تربيعية. كما يمكنك استعمال التمثيلات البيانية لهذه المعادلات لتوضيح مسار المياه. وا الآن أحلل التمثيلات البيانية للدوال التربيعية. www.ien.edu.sa خصائص الدوال التربيعية: درست سابقًا الدوال الخطية، وهناك أيضًا دوال غير خطية تختلف أمثل الدوال التربيعية أشكال تمثيلاتها البيانية. فالدوال التربيعية مثلاً هي دوال غير خطية، ويمكن كتابتها على الصورة بيانيا. الالعقير ادارت الدالة غير الخطية الدالة التربيعية الصورة القياسية للدالة التربيعية القطع المكافئ محور التماثل الرأس د(س) = أس ۲ + ب س + جـ، حيث أ . ، وتُسمى هذه الصورة بالصورة القياسية للدالة التربيعية، ويسمى التمثيل البياني للدالة التربيعية قطعًا مكافئًا. وتتماثل القطوع المكافئة حول خط يتوسطها يُسمى محور التماثل، يقطع القطع في نقطة واحدة تُسمى الرأس. مفهوم أساسي الدوال التربيعية الدالة المولدة (الأم): د(س) = س۲ الصورة القياسية : شكل التمثيل (س) - أ س ج ب س + جـ محور التماثل القيمة الصغرى قطع مكافئ القيمة العظمى محور التماثل : متماثل المقطع الصادي: الرأس مراجعة المفردات المجال والمدى المجال هو مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير المستقل م. . وأما المدى فهو مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير التابع * ص. ويكون التمثيل البياني للدالة ص = أس ۲ + ب س + جـ مفتوحًا إلى أعلى، إذا كان أ > •، وتمثل أدنى نقطة فيه نقطة القيمة الصغرى، ويكون مفتوحًا إلى أسفل، إذا كان أ . وتمثل أعلى نقطة فيه نقطة القيمة العظمى، وتمثل نقطتا القيمة العظمى أو القيمة الصغرى رأس القطع. مثال ۱ التمثيل البياني للقطع المكافئ استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = ٣س ٢ + ٦ س - ٤ بيانيا، وحدد مجالها ومداها. y- 1- - 1- (or) E. مثل الأزواج المرتبة بيانيا، ثم صل بينها يمتحنى يمتد التمثيل البياني للقطع المكافئ إلى ما لا نهاية الأعداد من كلا طرفيه ومجال الدالة . هو جميع الحقيقية، ومداها هو { ص | ص - - }؛ لأن ٧ هي القيمة الصغرى. ۱۲ الفصل : الدوال التربيعية تحقق من فهمك ۱) استعمل جدول القيم لتمثيل الدالة ص = س ٢ + ٣ بيانيا، وحدد مجالها ومداها. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الأشكال المتماثلة هي تلك الأشكال التي يكون نصفاها متطابقين تماما. فالقطع المكافئ هو شكل متماثل وله محور تماثل، وكل نقطة في نصف القطع إلى يسار محور التماثل تقابلها نقطة . النصف الآخر له. في ومن الأسهل عادة تحديد الرأس أولا عند إيجاد الخصائص من التمثيل البياني، والذي يمثل إما نقطة عظمى أو نقطة صغرى للقطع. الرأس (7-1-) مثال ۲ تحديد خصائص القطع المكافئ من تمثيله البياني أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للتمثيل البياني الآتي: الخطوة 1: أوجد الرأس. تحقق من فهمك (ir T A-1- محور التماثل بما أن القطع المكافي مفتوح إلى أسفل فالرأس يمثل النقطة العظمى له وهي (۳۲). الخطوة ٢ أوجد محور التماثل. بما أن محور التماثل هو المستقيم الذي يمر بالرأس، ويقسم القطع إلى نصفين متطابقين؛ لذا تكون معادلة محور التماثل هي س= ٢. الخطوة 3 أوجد المقطع الصادي. بما أن المقطع الصادي هو النقطة التي يتقاطع فيها القطع المكافئ مع محور الصادات، وهي النقطة (۰) (۱)؛ لذا يكون المقطع الصادي هو -١. ب) إرشادات للدراسة المقطع الصادي المقطع الصادي هو الحد الثابت (جـ) للدالة التربيعية في الصورة القياسية عند تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة الدالة يكون من الأسهل غالبًا إيجاد معادلة محور التماثل أولاً. مثال ٣ تحديد خصائص القطع المكافئ من قاعدة دالته أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي للدالة: ص = ٢ س ٢ + ٤س - ٣ س = 1-= معادلة محور التماثل هي س= -۱ . صيغة معادلة محور التماثل ١ - ٢ ، ب - ٤ ، بسط ولإيجاد إحداثي الرأس، خذ القيمة الناتجة من معادلة محور التماثل، واعتبرها إحداثيا سينيا لرأس القطع المكافى، ثم عرضها في معادلة القطع المكافئ لإيجاد الإحداثي الصادي. ص = ٢ س ٢ + ٤ س - ٣ o--(1-)+(1-)= المعادلة الأصلية س = -۱، بسط الرأس هو (۱) -(٥)، وبما أن المقطع الصادي هو عند النقطة ( ٠ ، جـ) دائمًا؛ لذا فالمقطع : الصادي هو - ٣. الدرس ۸-۱ تمثيل الدوال التربيعية بيانيا الت١٣ Ministry of Edurati 2024-1446

١٤ تحقق من فهمك ۱۳) ص = -٣ س ٢ + ٦ س - ٥ ب) ص = ۲ س ۲ + ۲ س + ۲ هناك فروق عامة بين الدوال الخطية والدوال التربيعية تظهر في الجدول الآتي: الصورة القياسية الدرجة مثال التمثيل البياني الدوال الخطية ص = أ س + ب 1، لاحظ أن جميع المتغيرات من الدرجة الأولى. ص = ٢ س + ٦ خط مستقيم الدوال التربيعية ص = أس" + ب س + جـ : أ . لاحظ أن المتغير المستقل س في الحد الأول هو من الدرجة الثانية، ومعامله أ لا يمكن أن يساوي صفرا، وإلا أصبحت الدالة خطية. ص = ٣س + ٥س - ٤ قطع مكافئ كيف تحدد إن كان القطع المكافئ مفتوحا إلى الأعلى أم إلى أسفل، وإذا كان الرأس يمثل له نقطة صغرى أم نقطة عظمى؟ مفهوم أساسي القيم العظمى والقيم الصغرى التعبير اللفظي: يكون التمثيل البياني للدالة: د(س) = أ س ٢ + ب س + جـ ، حيث أ . : • مفتوحًا إلى أعلى وله قيمة صغرى عندما أ> . مفتوحًا إلى أسفل وله قيمة عظمى عندما أ . مثال: أضف إلى . مدى الدالة التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية التي تزيد على أو تساوي القيمة الصغرى إذا كانت أ> . ، أو جميع ال الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى إذا كانت أ .. أ موجبة د(س) أسالية د(س) الصغرى العظمي تنبيه ! القيم الصغرى والقيم العظمي لا تنس إيجاد كلا الإحداثيين السيني والصادي للرأس (س، ص)، حيث إن القيمة الصغرى أو القيمة العظمى تمثل الإحداثي الصادي له. مثال ٤ القيم العظمى والقيم الصغرى لتكن د(س) - - ٢ س ٢ - ٤ س + ٦ . أ) حدد إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. في الدالة د(س) = - ٢ س ٢ - ٤ س + ٦ ، أ = -٢، ب = - ٤ ، جـ = ٦. يما أن أعدد سالب فالتمثيل البياني يكون مفتوحا إلى أسفل، ويكون للدالة قيمة عظمي. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. القيمة العظمى هي الإحداثي الصادي للرأس. الإحداثي السيني للرأس - - - - - - د (س) = - ٢ س ٢ - ٤ س + ٦ الدالة الأصلية الفصل : الدوال التربيعية <(-1)=-4(-1)-3(-1)+1 A = (1-)> إذن، القيمة العظمى تساوي ٨ س = -1 بسط وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة التماثل والنقاط النقاط الواقعة على الطرفين المتقابلين المحور التماثل تبعد المسافة نفسها عن المحور يمينا ويسارا، كما تبعد بعدا متساويًا من الرأس. جـ) حدد مجال الدالة ومداها. المجال هو جميع الأعداد الحقيقية، والمدى هو جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي القيمة العظمى، أي ص ص ۸}. تحقق من فهمك لیکن د (س) = ٢ س٢ - ٤ س - ١ . (١٤) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة عظمى أم قيمة صغرى. ٤ ب ) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى للدالة. جـ) حدد مجال الدالة ومداها. تمثيل الدوال التربيعية بيانيًا تعلّمت كيفية إيجاد العديد من الخصائص المهمة للدوال التربيعية. مفهوم أساسي تمثيل الدوال التربيعية بيانيا الخطوة 1 : أوجد معادلة محور التماثل. أضف إلى مطويتك الخطوة ٢ . أوجد الرأس وحده إذا كان بمثل نقطة صغرى أم نقطة علمي. الخطوة 3 : أوجد المقطع الصادي. الخطوة ٤ : استعمل التماثل لإيجاد نقاط أخرى على التمثيل البياني للدالة عند الضرورة. الخطوة ٥ : صل بين النقاط بمنحنى. مثال ه تمثيل الدوال التربيعية بيانيا مثل الدالة د (س) = س ٢ + ٤ س + ٣ بيانيا. الخطوة 1 أوجد معادلة محور التماثل. £- س = س = -۲ صيغة معادلة محور التماثل أ= ١ ، ب = ٤ بسط الخطوة ٢ أوجد الرأس، وحدد فيما إذا كان يمثل نقطة صغرى أم عظمى. ص = س ٢ + ٤ س + ٣ المعادلة الأصلية +(-)+(-)= 1-= س = ۲ بسط يقع الرأس عند النقطة (۲) -(۱)، وبما أن أ موجبة، فالتمثيل يكون مفتوحًا إلى أعلى؛ لذا يمثل الرأس قيمة صغرى. الخطوة . أوجد المقطع الصادي. ص = س ٢ + ٤ س + ٣ المعادلة الأصلية +(•)+(+)= = المقطع الصادي يساوى ٣. بسط الدرس ۸-۱۰ تمثيل الدوال التربيعية بيانيا الت٣١٥ Ministry of Edurat 2024-1446

الخطوة : يقسم محور التماثل القطع المكافئ إلى جزأين متطابقين، د (س) لذا فإنه لكل نقطة على أحد الجزأين توجد نقطة تناظرها في الجزء الآخر، وتبعد المسافة نفسها عن المستقيم الذي يمثل محور التماثل، وللنقطتين الإحداثي الصادي نفسه الخطوة ٥ صل بين النقاط بمنحنى. تحقق من فهمك وحدة وحدة حدة وحدة ١٥) د(س) = - ۲ س ۲ + ۲ س - ۱ ه ب) د(س) = ٣ س ٢ - ٦ س + ٢ الربط مع الحياة أنشئت الجمعية السعودية للعلوم الفيزيائية في جامعة الملك خالد عام ١٤٢٢هـ، لتهيئة سبل التواصل بين المهتمين بمجالات العلوم الفيزيائية المختلفة، من خلال عقد وتنظيم الندوات والمؤتمرات في مجال العلوم الفيزيائية. استعملت معلوماتك حول الدوال التربيعية والقطوع المكافئة والتماثل لإنشاء تمثيلات بيانية، ويمكنك تحليل هذه التمثيلات لحل مسائل من واقع الحياة. مثال ٦ من واقع الحياة استعمال تمثيل الدوال التربيعية بيانيا فيزياء عرضت الجمعية السعودية للعلوم الفيزيائية فيلمًا لإطلاق نموذج صاروخ، حيث يمكن تمثيل ارتفاع الصاروخ عن الأرض بالأقدام بعد (س) ثانية بالدالة فـ(س) - ۱۳ سه ۱۳۰ س - ۳۱۲ أ) مثل الدالة بيانيا. س = - ۱۳۰ (۱۳-۱۲ = 0 معادلة محور التماثل أ = - ۱۳ ، ب = ۱۳۰ بما أن معادلة. محور التماثل س = ٥ ؛ لذا فالإحداثي السيني للرأس هو ٥. ص = - ۱۳ س ۲ + ۱۳۰ س + ۳۱۲ ۳۱۲ +(۵) ۱۳۰ + (۵) ۱۳ ٣٢٥ + ٦٥٠ + ٣١٢ ٦٣٧- = الرأس هو (٥، ٦٣٧). المعادلة الأصلية س = بسط و لتجد نقطة أخرى، اختر س = . وعوّض ذلك في الدالة الأصلية، فتكون النقطة الجديدة هي (۰، ۳۱۲)، وتكون النقطة المقابلة لها على الطرف الآخر لمحور التماثل هي .(۳۱۲ ،۱۰) كرر هذه العملية واختر س = ٢ لتحصل على النقطة (٢، ٥٢٠)، وتكون النقطة المقابلة لها (٨، ٥٢٠)، ثم صل بين هذه النقاط بمنحنى ب ما الارتفاع الذي أطلق منه الصاروخ؟ No ٢٥٠٠٠ أُطلق الصاروخ عندما كان الزمن صفرا، أو عند المقطع الصادي للدالة، أي من على ارتفاع ۳۱۲ قدما من الأرض. 17 (ج) ما أقصى ارتفاع يصله الصاروخ ؟ القيمة العظمى للارتفاع تقع عند الرأس؛ لذا يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع له ٦٣٧ قدما بعد خمس ثوان من بدء الانطلاق الفصل : الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد تحقق من فهمك (٦) رمي الرمح يشارك علي في مسابقة رمي الرمح، ويمكن تمثيل ارتفاع الرمح (ص) بالأقدام بعد (س) ثانية بالمعادلة ص - - ١٦ س ٢ + ٦٤ س + ٦ . (أ) مثل مسار هذا الرمح بيانيا. ب) ما الارتفاع الذي أطلق منه الرمح ؟ جـ) ما أقصى ارتفاع يصله الرمح ؟ ص = ٣ س ٢ - ٦ س - مثال ۱ استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها: ۱) ص = ٢ س ٢ + ٤ س - ٦ ۲ ص = س ۲ ۲ س - ۱ مثال ۲ أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي: (٤ ينا (٥ اص (٦ مثال ۳ أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل دالة فيما يأتي: ص = - س ۲ + ۲ س + ۱ ( ص = س ٢ - ٤ س + ٥ مثال ٤ في الأسئلة ١٠-١٢ أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أم قيمة عظمى. ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها. ٩ ص = ٤ س ٢ - ٨س + ٩ ۱۰) ص = -س ۲ - ۲ س + ۲ ١١ ص = - ٣ س ٢ + ٦ س + ٣ (١٢ ص = - ٢ س ٢ + ٨س - ٦ مثال ه مثل كل دالة فيما يأتي بيانيا : ۱۳) د(س) = - ٣ س ٢ + ٦س + ٣ (١٤) د(س) = - ٢ س ٢ - ٤ س + ١ (۱٥) د(س) = ٢ س ٢ - ٨س - ٤ مثال ٦ (١٦) كرة يقذف ياسر كرة في الهواء، وفق المعادلة ص = - ١٦ س ١٦٢ س+ ٥ حيث تمثل (ص) ارتفاع الكرة بالأقدام بعد (س) ثانية. أ) مثل هذه الدالة بيانيا. ب ما الارتفاع الذي قذفت منه الكرة؟ جـ) ما أقصى ارتفاع تصله الكرة من سطح الدرس ۱۸ تمثيل الدوال التربيعية بيانيا الت١٧ Ministry of Ed 2024-1446

تدرب وحل المسائل مثال ۱ استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانيا، وحدد مجالها ومداها. ۱۷ ص = س ٢ + ٤ س + ٦ (۱۸) ص = ٢ س ٢ + ٤ س + ٧ ۱۹) ص = ٢ س ٢ - ٨س - ٥ مثال ۲ أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي: (۲۲ (۲۱ (۲۰ مثال ۳ تقنية: أوجد الرأس، ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل حالة فيما يلي، ومثلها بيانيا باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية. (۲۳) ص = س ۲ + ۸س + ۱۰ (٢٤ ص = ٢ س ٢ + ۱۲ س + ۱۰ (۲۵ ص = - ٣س ٢ - ٦ س + ٧ مثال ٤ في الأسئلة ٢٦-٢٨، أجب عما يأتي: أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى. ب أوجد القيمة العظمي أو القيمة الصغرى. جـ) حدد مجال الدالة ومداها ؟ (٢٦) ص = - ۲ س ۲ - ۸س + ۱ (۲۷ ص = س ٢ + ٤ س - ٥ (۲۸) ص - ۳س ۲ + ۱۸ س - ۲۱ مثال ٥ مثل كل دالة فيما يأتي بيانيا : ٢٩) ص = - ٣ س ٢ + ٦س - ٤ ٣٠ ص = - ٢ س ٢ - ٤ س - ٣ ٣١ ص = ٣س ۲ - ۱۲ س + ٥ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 5 الربط مع الحياة عندما ينطلق الجسم أو الأداة في الهواء يسمى مقذوفا، وقد يكون هذا الجسم أداة جامدة مثل الرمح قرص، كرة .... أو كائن حي مثل الوثب العالي، والوثب الطويل. ۱۸ (۳۲) كرة قدم: قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدما في الثانية، والدالة ع - - ١٦ ن ٢ ، ٩٠ن تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية. الفصل : الدوال التربيعية ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟ ب) متى تكون الكرة على ارتفاع ١٢٦ قدما؟ جدا ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟

إرشادات للدراسة الأصفار عدد أصفار الدالة يساوي درجة الدالة مع احتساب الجذر المكرر. (۳۳) تمثيلات متعددة سوف تكتشف في هذه المسألة حل المعادلات التربيعية باستعمال جداول القيم. (أ) جبريا: حدد الدالة المرتبطة بكل معادلة فيما يأتي، ثم انسخ الجدول وأكمله. المعادلة س - س = ۱۲ س + ۸س = ۹ س = ١٤س - ٢٤ س + ١٦س = ٢٨ الدالة المرتبطة ب بيانيا : مثل كل دالة مرتبطة باستعمال الحاسبة البيانية. الأصفار جـ) تحليليا : استعمل قيم الجدول الموجودة على حاسبتك لتحديد أصفار كل دالة مرتبطة، ثم اكتب الأصفار في الجدول أعلام د لفظيا وضح العلاقة بين عدد حلول المعادلة وأصفار الدالة المرتبطة بها؟ مسائل مهارات التفكير العليا ٣٤) مسألة مفتوحة اكتب دالة تربيعية معادلة محور التماثل لتمثيلها البياني هي س= ، ملخصا خطوات عملك. ٣٥) اكتشف الخطأ تحاول عبير ومنى إيجاد محور التماثل للقطع المكافئ، فأيهما كانت إجابتها (11.)" (+-)" 1- 12 م صحيحة ؟ فسّر إجابتك. عبير منی ص - - س٢ - ٤ س ٦٠ ص - - س - س + ٦ (٢٥.٣) (^)~ E £- (1-)r س س = - س = -۲ ir (1-)T س س = ٢ (٣٦) تحد اكتب معادلة التمثيل البياني المجاور باستعمال محور التماثل وأحد المقطعين السينيين. (۳۷) تبرير: إذا كان رأس قطع مكافئ هو النقطة (٢، ٠)، وإحدى نقاطه (۵، ۹)، فأوجد نقطة أخرى عليه، واشرح طريقة إيجادها. (۳۸) اكتب وضّح كيفية إيجاد محور التماثل لمعادلة الدالة التربيعية، ثم قشر الخصائص الأخرى للتمثيل البياني التي يمكنك اشتقاقها منه، وكيف توصلت إليها. الدرس ۸-۱۰ تمثيل الدوال التربيعية بيانيا الت ١٩ Ministry of Edurati 2024-1446

تدريب على اختبار (۳۹) هندسة دائرة مساحتها ٣٦ط وحدة مربعة، إذا زاد نصف قطرها إلى مثليه، فكم تصبح مساحة الدائرة الجديدة؟ أ - ٣٦ط i) ۷۲ط وحدة مربعة جـ) ١٢٩٦ط وحدة مربعة ب) ١٤٤ط وحدة مربعة د) ٩ط وحدة مربعة ٤٠ ) ما مدى الدالة د (س) = - ٤ س ٢ - ؟ (1) جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي - ب جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة ج) جميع الأعداد الحقيقية د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي - - مراجعة تراكمية حدد إذا كانت كل ثلاثية حدود فيما يأتي تشكل مربعا كاملًا، اكتب "نعم" أو "لا"، وإذا كانت كذلك فحللها : (مهارة سابقة ) ٤١) ٤ س ٢ + ٤ س + ١ (٤٢) ٤ س ٢ - ٢٠ س + ٢٥ استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : أوجد المقطع السيني للتمثيل البياني لكل معادلة فيما يأتي: ٤٤) س + ٢ ص = ١٠ ۲۰ الفصل : الدوال التربيعية ٤٣ ٩ س ٢ + ٨س + ١٦ ٤٥ ٢س - ٣ ص = ۱۲ (٤٦) ۳س - ص = -۱۸ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446