التغير الطردي - الرياضيات3 - ثاني متوسط

7-14 التغير الطردي رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa فكرة الدرس : أستعمل التغير الطردي لحل المسائل . المفردات التغير الطردي ثابت التغير استعد حواسيب : استعمل التمثيل البياني المجاور الذي يبين نواتج الطابعة الملونة. ما المعدل الثابت للتغير أو ميل المستقيم؟ هل يتناسب عدد الصفحات المطبوعة مع زمن الطباعة دائما ؟ وإذا كان كذلك فما النسبة الثابتة ؟ قارن المعدل الثابت للتغير بالنسبة الثابتة. الزمن (دقائق) ٢٤ في المثال أعلاه، يتغير كل من عدد الصفحات المطبوعة وعدد الدقائق، على حين تظل نسبة عدد الصفحات المطبوعة إلى الدقائق ثابتة وهي ١,٥ صفحة لكل دقيقة. عندما تكون النسبة بين كميتين متغيرتين ثابتة، تُسمى العلاقة بينهما تغيرا طرديا ، وتسمى النسبة الثابتة ثابت التغير. مثال من واقع الحياة إيجاد النسبة الثابتة الطبق الخيري : يبين التمثيل البياني المجاور المبالغ التي جمعتها سارة في مهرجان الطبق الخيري برعاية إحدى الجمعيات الخيرية الرعاية الأيتام ، والذي رُصد ريعه للأعمال الخيرية. حدّد المبلغ الذي حصلت عليه سارة مقابلة بيع كل طبق. بما أن المعلومات في التمثيل تشكل . مستقيما، فإن معدل التغير يكون ثابتا، استعمل التمثيل البياني لإيجاد النسبة الثابتة. E عدد الأطباق المبلغ الذي تم جمعه عدد الأطباق ۷,۵ ۱۵ = ٧,٥ فتكون سارة قد حصلت على ٧,٥ ريالات لكل طبق واحد. تحقق من فهمك : أ) مظلي : هبط مظلي من ارتفاع ۱۹۰۰ قدم في دقيقتين بعد فتح مظلته، وهبط ٤٧٥٠ قدما في ٥ دقائق. إذا كانت المسافة تتغير طرديا مع الزمن، فما معدل نزول المظلي ؟ الدرس ١٠ - ٥ : التغير الطردي ١٢٣ ليم 2024-1446

يُرمز لثابت التغير أو الميل في معادلة التغير الطردي عادة بالمتغيرك. التغير الطردي التعبير اللفظي: التغير الطردي: هو علاقة تكون النموذج : الرموز فيها نسبة ص إلى س ثابتة (ك). ويعبر عن ذلك بأن ص تتغير طرديا مع س. ك = م أو ص = ك س حيث ك + صفر س مفهوم اساسي مثال: ص= ۳س الربط بالحياة : لكل حيوان أليف معدل عمر مختلف مقارنة بعمر الإنسان، فمثلا سنة واحدة من عمر الحصان تقابل ٣ سنوات من عمر الإنسان. مثال من واقع الحياة حل مسائل التغير الطردي حيوانات بالرجوع إلى المعلومات إلى اليمين. افترض أن عمر الحصان يتغير طرديا مع ما يكافئه من عمر الإنسان. فما عمر الإنسان الذي يكافئ ٦ سنوات من عُمر حصان؟ اكتب معادلة التغير الطردي لتكن س تمثل عمر الحصان ص تمثل عمر الإنسان المكافئ له. ص = ك س = ك (۱) تغير طردي. ص = ۳، س = ۱ . ۳ = ك بسط . ص = ٣س عوض عن ك بـ ٣. استعمل المعادلة لإيجاد ص عندما س = ٦ . إرشادات للدراسة تناسبات يمكنك استعمال التناسب لحل مسائل التغير الطردي وفي المثال ؟ اكتب نسبا لمقارنة عمر الإنسان المكافئ للعمر الفعلي للحصان س ۳ ۱۸ = س ص = ۳س ص = ٣ (٦) س = ٦. ص = ۱۸ بسط. إذن ٦ سنوات من عُمر حصان تكافئ ١٨ سنة من عمر إنسان. تحقق من فهمك : ب) تسوق : يبيع محل خضار ٦ برتقالات بـ ١٢ ريالا. فما ثمن ١٠ برتقالات؟ في التغير الطردي، ثابت التغيرك هو ثابت معدل التغير. وعندما تتغير قيمة س بمقدار أ، فإن قيمة ص المناظرة تكون ك .أ. ففي المثال السابق عندما تغيرت س بمقدار ٦ ، تغيرت ص بمقدار ٣(٦) = ١٨ . ۱۲۲ الفصل ۱۰: الجبر: الدوال الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

ارشادات للدراسة مراجعة المراجعة العلاقات المتناسبة راجح الدرسين ٣-١، ٣-٤ . اليست جميع العلاقات التي يكون معدل تغيرها ثابتاً تكون متناسبة. وبالمثل، فالدوال الخطية ليست جميعها تغيرات طردية. مثالان تحديد التغير الطردي حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تمثل تغيرًا طرديا أم لا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: قارن بين النسب وتحقق من تساويها. ° ۱۰۰ ۵۰ vo ۲۵ ٤٠ ۳۰ ۲۰ ۱۰ = = ۱۰۰ Vo ۵۰ ° = ۲۵ - الكيلومترات س اللترات ص اللترات الكيلومترات بما أن النسب نفسها، فالدالة تمثل تغيرا طرديا، وثابت التغير يساوي .. л ΛΕ י ٤ ۵۲ ٣٦ ΛΕ ۱۳ ۵۲ ۱۸ = ^ = ۳ - الساعات س الإيرادات ص الإيرادات الساعات إرشادات للدراسة التغيرات الطردية لاحظ أن منحنى التغير الطردي، الذي يمثل علاقة خطية متناسبة، هو مستقيم يمر بنقطة الأصل . النسب ليست نفسها، فالدالة لا تمثل تغيراً طردياً. تحقق من فهمك : حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تمثل تغيرا طرديا أم لا، وإذا كانت كذلك فاذكر ثابت التغير: ۲۰ ۱۵ ۱۰ 0 ۵۰ ٣٧,٥ ۲۵ جـ) الأيام س الارتفاع ص ١٢٥ الدالة الخطية المتناسبة الجدول: ۲ ۱ 1- ۲- { ۲ ۲- {- ۲ د) الوقت س المسافة ص י ۱۰ ٢٤ ١٦ ۱۲ ملخص المفهوم التمثيل البياني: المعادلة : ص = ٢س المعادلة ص = ۲ س - ۱ التمثيل البياني: الدرس ١٠ - ٥ : التغير الطردية ال١٢٣ليم Ministry of Edu 2024-1446 الدالة الخطية غير المتناسبة الجدول ۱۱-۲- ۱ 3 33

تأكد المثال 1 المثال ٢ تصنيع : يتغير عدد الحواسيب المصنعة تغيرا طرديا مع ساعات عمل خط الإنتاج. وفقًا للشكل المجاور، ما نسبة الحواسيب المصنعة إلى ساعات الإنتاج ؟ مواصلات تقطع حافلة مسافة ٣٣٦ كلم في ٣ ساعة. إذا افترضت أن المسافة المقطوعة تتناسب طرديا مع زمن السفر، فكم تقطع الحافلة في ٦ ساعات؟ المثالان ٣، ٤ حدد ما إذا كانت الدالة الخطية الممثلة بالجدول المجاور تمثل تغيرا الساعات س الكيلومترات ص طرديا أم لا، وإذا كانت كذلك، فاذكر ثابت التغير. الساعات T t D ٤ ۳ Y ۲۹۰ ١١٦ ١٧٤ ۲۳۲ رشادات تدرب وحل المسائل للأسئلة للأسئلة انظر الأمثلة 1 Y ٦-١٠ 18-11 تشجير زرعت جميلة بعض وظائف : يعمل خالد في توزيع البذور، وبعد أن ظهرت فوق سطح الصحف اليومية، ويتناسب إيراده الأرض، وجدت أن ارتفاعها يتغير طرديا مع - عدد الصحف التي يوزعها. طرديا مع عدد الأيام، فما معدل نموها ؟ فما إيراده لكل صحيفة يوزعها ؟ ١٢٤ الأيام £ A ۱۲ عدد الصحف الإيرادات ( ريال : غواصات : بعد ۱۰ دقائق من نزول غواصة من قارب البحث، كانت على عمق ٢٥ مترا تحت سطح الماء. وبعد ٣٠ دقيقة أصبحت على عمق ٧٥ مترا. فما معدل نزول الغواصة؟ قرطاسية : اشترت عائلة ٣ أقلام بـ ١٠٥ ريالات. وفي الأسبوع التالي اشترت ٥ أقلام أخرى من النوع نفسه بـ ١٧٥ ريالا. فما قيمة القلم الواحد؟ طلاء : إذا استعمل عامر ۱۲ لترًا من الدهان لطلاء ٣١٥ م ، و ٢٠ لترا الطلاء ٢٠٥٢٥ إضافيًّا، فكم لترًا من الدهان يحتاج إليه لطلاء ٨٤٠ م ؟ الفصل ۱۰: الجبر: الدوال الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الربط بالحياة : الكترونيات، يتناسب عرض شاشة التلفاز طرديا مع ارتفاعها، إذا أنتج مصنع شاشة تلفاز عرضها ٦٠ سم وارتفاعها ٣٣,٧٥ سم، فأوجد ارتفاع شاشة تلفاز عرضها ۹۰ سم. كعك : تحتاج روان لصنع كمكة تكفي ١٢ شخصا إلى ٣ ٢ كوب طحين. فكم كوبا من الطحين تحتاج إليه لعمل كعكة لـ ٣٠ شخصا ؟ تعبر النسبة القطرية لشاشة التلفاز عن نسبة عرض الشاشة إلى حدد ما إذا كانت كل دالة خطية فيما يأتي تشكل تغيرًا طرديا، وإذا كانت كذلك فاذكر ارتفاعها. وهي في الشاشات العادية ٣:٤ على حين أنها في ثابت التغير شاشات أخرى ٩:١٦ . الصورس الثواني ص العمرس الصف ص V ٦ ° ۳۲ ۲۸ ٢٤ ۲۰ ۱۳ ۱۲ ۱۱ ۱۰ V ٦ الدقائق س التكلفة ص الثمن س الربح ص ۸۰۰ ٤ ٦٠٠۰۰ ۲۰۰ ۲۱۵ ١١٥ ١٦٥ ۲۵ ۲۰ ۱۵ ۱۰ 1,Vo 1,1,00 ۰,۷۰ جبر: إذا كانت ص تتغير طرديا مع س. فاكتب معادلة التغير الطردي، ثم أوجد القيمة المطلوبة. إذا كانت ص = - ۱۲- عندما س = ۹ ، فأوجد قيمة ص عندما س = -٤ . إذا كانت ص = ۸ عندما س = ۲۰ ، فأوجد قيمة ص عندما س = ١٠ . إذا كانت ص : = - ٦ عندما س = - ١٤ ، فما قيمة س عندما ص = - ٤؟ قياس : يتغير عدد السنتمترات طرديا مع : عدد البوصات. أوجد طول جسم بالسنتمترات إذا كان طوله ٥٠ بوصة. البوصات س السنتمترات ص ۱۵ ۱۲ ٦ ٣٠,٤٨ ٢٢,٨٦ ١٥,٢٤ مسائل مهارات التفكير العليا • قياس، يتغير طول المستطيل المبين في الشكل المجاور طرديا مع عرضه. فما محيطه عندما يصبح عرضه ۱۰م؟ ض = ام ل = ٦,٤م مسألة مفتوحة، حدد فيما لكل من س، ص في علاقة تغير طردي تكون فيها ص = ٩ عندما س = ١٦ . تحد : تتناسب كمية الطلاء المطلوبة لتغطية سطح خشبي طرديا مع مساحة السطح. فإذا كانت ٣ عبوات تكفي لتغطية ٢١ م. فكم عبوة تلزم لتغطية 3,15 م؟ اكتب معادلة تغير طردي ، ثم اضرب قيمة من في ٣. وفسر كيف تجد التغير في قيمة ص المناظرة. الدرس ١٠ - ٥ : التغير الطردي ١٣٥ عليم Ministry of Education 2024-1446

لتدريب على اختبار أجرى سعد تجربة في مختبر العلوم وسجلوا نتائج إجابة قصيرة قرأت مها ۱۲ صفحة طول استطالة النابض (الزنبرك) كما هو مبين في الجدول أدناه: طول استطالة النابض استطالة النابض س (سم) كتلة الثقل (جرام) ۲ ° ۹ ۱۲ • ۱۲ ۳۰ ٥٤ ۷۲ قراءة حرّة في ٣٠ دقيقة. كم صفحة ستقرأ في ٤٥ دقيقة؟ في وصفة لصنع عصير فواكه مزجت الجوهرة ١٥٠ مل من عصير التفاح مع ٩٠ مل من عصير البرتقال. إذا صنعت عصير الفواكه مستعملة ٣٠٠ مل من عصير التفاح. فأي التناسبات الآتية يمكن استعمالها لإيجاد عدد مللترات عصير البرتقال (ل) التي ستستعملها؟ أي المعادلات الآتية تعطي أفضل تمثيل للعلاقة بين استطالة النابض (س) وكتلة الثقل المعلق فيه (ص)؟ أ) ص = -٦س جـ) ص = - ب) ص = ٦س د) ص = مراجعة تراكمية أوجد ميل كل مستقيم فيما يأتي: (الدرس ١٠ - ٣) ل ۹۰ = (i 10° ۹۰ 10° ٣٠٠ ج) د) ۳۰۰ ل 9. ۱۵۰ 9. ١٥٠ = عمل: الدالة ج = ١٥ ت تصنف العلاقة بين عدد ساعات العمل (ت)، ومقدار الأجر (ج) الذي يتقاضاه صالح من عمله مثل الدالة بيانيا لتحديد مقدار الأجر الذي يتقاضاه صالح إذا عمل ٢٠ ساعة. (الدرس ١٠ - ٣) بين إذا كانت كل متباينة فيما يأتي صحيحة أم خاطئة في القيمة المعطاة: (الدرس ٩ - ٦) ٣٤ دي، ي٧ ١٨ - ن > ٤ ، ن= ١١ ۱۳ + س ۲۱ ، س=۸ أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين : جـ (۲ ، ۳)، د (٤، ٥). (الدرس ١٠ - ٤) الاستعداد للدرس اللاحق مهارة سابقة : قام منسق مبيعات بترتيب علب حلوى بعضها فوق بعض فوضع ٥ علب في الصف العلوي و ۷ علب في الصف الثاني أدناه، و ۹ علب في الصف الثالث أدناه، وهكذا... إذا كان الترتيب الذي صف به العلب يتكون من ۱۰ صفوف، فما عدد العلب التي رتبها ؟ استعمل استراتيجية البحث عن نمط. ما الحد التالي في المتتابعة الحسابية ۱۰ ، 7 ، 4 ، 1 ، ... (الدرس ١٠ - ١) ١٢٦ الفصل ۱۰: الجبر: الدوال الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446