نظرية ذات الحدين - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa نظرية ذات الحدين The Binomial Theorem 6-5 فيما سبق درست التوافيق واستعمالاتها. (مهارة سابقة) وا الان أستعمل مثلث باسكال في الماذا؟ يريد مدير معمل للتحاليل الطبية أن يستأجر 6 متخصصين من منطقتين مختلفتين بشكل عشوائي. فإذا كان عدد المتخصصين في المنطقتين متساويًا، فما احتمال أن يختار 4 متخصصين من المنطقة الأولى، واثنين من المنطقة الثانية؟ مثلث ، باسكال : يُنسبُ مثلث باسكال إلى العالم الفرنسي بليز باسكال (1662-1623)، على الرغم من قيام العديد من العلماء بدراسته قبله في بلاد المسلمين والهند وبلاد فارس والصين وإيطاليا، ويتكون المثلث من صفوف إيجاد معاملات مفكوك المقدار " (a + b) أستعمل نظرية ذات الحدين في إيجاد مفكوك المقدار يكون بداية كل صف فيه ونهايته العدد 1، وكل عدد من الأعداد الأخرى في الصف يكون ناتج جمع العددين اللذين فوقه على اليمين واليسار مباشرة، ويمكن استعماله لإيجاد معاملات مفكوك المقدار : (a + b) . (a + b)o 1 (a + b)1 1 1 (a + b)² 1 2 1 (a + b)³ 1 3 3 1 (a + b) 4 4 1 6 4 1 .(a+b)" المفردات: مثلث باسكال Pascal's triangle نظرية ذات الحدين فيكون مفكوك (a + b) هو الأسس تبدأ من D وتتناقص إلى صفر (a + b) = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b الأسس تبدأ من صفر وتتزايد إلى 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 64 Binomial Theorem تاريخ الرياضيات أبو بكر محمد بن الحسن الكرخي عالم رياضي مسلم، وهو أول من أوجد المثلث المشهور لاحظ أن عدد الحدود في مفكوك ) هو 5 حدود، ومجموع الأسس في كل حد هو 4 مثال I من واقع الحياة استعمال مثلث باسكال بالعودة إلى فقرة "لماذا ؟ ، أوجد احتمال اختيار 4 متخصصين من المنطقة الأولى، واثنين من المنطقة الثانية، وذلك بإيجاد مفكوك a استعمل النمط أعلاه في كتابة مثلث باسكال لـ 6 ) . b . 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 15 6 15 20 6 (a + b)6 = 1a6b0 + 6a5b1 + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6a1b5 + 106 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 66 عند جمع قيم معاملات كثيرة الحدود، نجد أنه يوجد 64 توفيقاً من متخصصي المنطقتين يمكن استئجارهم، وبما أن الذي يُسمى الآن مثلث باسكال. العدد 15 في المقدار 15a4b2 يُمثل عدد التوافيق التي فيها 4 متخصصين من المنطقة الأولى واثنان من المنطقة مراجعة المفردات التوافيق يسمى عدد 15 الثانية، لذلك فإن احتمال استئجار 4 متخصصين من المنطقة الأولى، واثنين من المنطقة الثانية يساوي الله أو %23% تقريباً، وذلك بحسب تعريف الاحتمال النظري لحادثة، حيث إن عدد الطرائق الممكنة للحادثة هو 15، وعدد الطرائق جميعها 64. طرق التشكيل الممكنة لمجموعة عناصر ليس لترتيبها أهمية بالتوافيق. تحقق من فهمك (2) بالعودة إلى فقرة "لماذا"، إذا أراد مدير معمل التحاليل الطبية أن يستأجر 8 متخصصين، فما احتمالات أن .. يختار 6 متخصصين من المنطقة الأولى واثنين من المنطقة الثانية؟ ... وزارة التعليم 152 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات Ministry of Education 2024-1446

قراءة الرياضيات كتب عدد التوافيق لعناصر نظرية ذات الحدين: يمكن استعمال نظرية ذات الحدين؛ لإيجاد مفكوك ذات الحدين بدلًا من استعمال مثلث باسكال مفهوم أساسي عددها ن مأخوذ عنصرًا كل مرة سابقا بالرمز ق ، وسيُرمز له في هذا الكتاب بالرمز C إرشادات للدراسة نظرية ذات الحدين إذا كان 1 عددًا طبيعيا، فإن : أضف إلى (a + b)" = Co abo + C1 a n - 1b1 + C2 an - 2 b2 + ... + C ab n! - an - kbk 11 = k=0 nka"-k bk توافيق .0!= 1 11 n! r! (n-r)! 琳 0! (1-0)! Cn = 1 "C =1 (n-n)! 1 إرشادات للدراسة عند استعمال النظرية عوّض عن " بقيمة الأس. ولاحظ كيف ستتبع الحدود النمط نفسه في مثلث باسكال، وكيف تتماثل المعاملات، وإذا كانت الإشارة بين الحدين سالبة ab) ، فاكتبها بالشكل ) (a) قبل إيجاد المفكوك. مثال 2 استعمال نظرية ذات الحدين b . أوجد مفكوك a الطريقة الأولى: استعمال التوافيق . استبدل 7 مكان 1 في نظرية ذات الحدين . (a + b)7=a7 + C₁ ab + C₂ a³b² + 7C3 ab³ + 7C4 a³b² + 7C5 a²b5 +7C6 ab6 +b7 = a + ca 7! a5b2. + + 2!5! 7! 71a4b³ + -a3b4 + 7! 5!2! a2b5+7ab6+b7 6! 3!4! 4!3! =a7+7a6b+21a5b2 + 35a4b3+ 35a3b4 + 21a2b5 +7ab6+b7 الطريقة الثانية : استعمال مثلث باسكال الحاسبة العلمية يمكن حساب قيمة C باستعمال الحاسبة العلمية. اضغط على العدد 11 ثم + SHIFT ثم العدد ا ثم = مثال استعمل نظرية ذات الحدين لإيجاد القوى، وبدلا من إيجاد المعاملات باستعمال التوافيق، استعمل الصف السابع من مثلث باسكال. 1 6 1 6 15 20 15 6 7 1 7 21 35 35 21 7 1 (a+b)7a7+7a6b+21a5b2+ 35a4b3 + 35a3b4 +21a2b5+7ab6 +b7 6C3:6 SHIFT تحقق من فهمك 20 (2) أوجد مفكوك x + y10 ) . إرشادات للدراسة إشارات حدود مفكوك عندما يكون معاملا الحدين في ذات الحدين يختلف عن العدد 1، فإن المعاملات لن تكون متماثلة. وفي مثل هذه الحالة استعمل نظرية ذات الحدين. (a+b)" مثال 3 أوجد مفكوك 4 (40) - 5a) . استعمال نظرية ذات الحدين عندما يختلف المعاملان عن 1 عند إيجاد مفكوك " (a + b تكون إشارة كل حد في المفكوك تعتمد على إشارة كل من a ، b. فتكون إشارة الحدود كلها موجبة إذا كانت إشارة a وإشارة ) موجبتين وتكون إشارة الحدود الزوجية سالبة إذا كانت إشارة 6 فقط سالبة. (5a-4b) = (5a)+4C₁ (5a)³(-4b) + 4C₂ (5a)²(-4b)² + 4C3 (5a)(-4b)³+4C4 (-4b)4 =625a4+ (125a³)(-4b) +241 (25a²)(16b²) + ½ (5a)(-64b³) +256b4 = 625a4-2000a³b + 2400a2b2-1280ab3 +256b4 تحقق من فهمك (3) أوجد مفكوك 25 - 3x) . وزارة التعليم الدرس - نظرية ذات الحدين 153 2024-1446

تأكد تحتاج في بعض الأحيان إلى إيجاد قيمة أحد الحدود في المفكوك، ويمكنك عندها استعمال الحد العام في صيغة المجموع لنظرية ذات الحدين بحيث تجد الحد الذي ترتيبه 1 + k أو 1 + t x في مفكوك (a+b) باستعمال الصيغة tk+1 = Crank b مثال 4 إيجاد قيمة حد معين أوجد قيمة الحد الخامس في مفكوك 11 ) . استعمل صيغة الحد العام لإيجاد الحد الخامس في مفكوك 11( + ) tk+1=Cka"-k bk حيث 11 = n، وبما أن الحدَّ المطلوب هو ا الحد الخامس أي tx+1 = ts ؛ لذا 4 = k إذن 24 4- ts = ta+1 = nCa y عند الحد الخامس تكون 4 = K = 330 y7 z4 تحقق من فهمك 11! = 330 (4) أوجد قيمة الحد السادس في مفكوك 10( + ) . ملخص المفاهيم 11C4= 4! 7! أضف إلي مفكوك ذات الحدين في مفكوك ذات الحدين (a + b) : . عدد الحدود 1 + 1 . • أس a في الحد الأول هو 11 وكذلك أس في الحد الأخير هو " . يقل أس a بمقدار واحد ويزيد أس 6 بمقدار واحد في أي حدين متتاليين. . مجموع الأسس في أي حد يساوي " دائما. • المعاملات في المفكوك متماثلة. مطويتك الأمثلة 3-1 أوجد مفكوك كل مما يأتي: (g+h)7 (1 (x+3)5 (2 (y-42)4 (3 4 ولادة : إذا كان احتمال ولادة ذكر يساوي احتمال ولادة أنثى عند المرأة، فاستعمل نظرية ذات الحدين لإيجاد احتمال أن يكون عدد الإناث 5 في ست ولادات. (لا تحسب التوائم). مثال 4 أوجد قيمة الحد المطلوب في مفكوك كل مما يأتي: تدرب وحل المسائل (5) الحد السادس في مفكوك 3 - 2 (6) الحد الأخير في مفكوك 5 + 5x) (7) الحد الأول في مفكوك (38) الأمثلة 3-1 أوجد مفكوك كل مما يأتي: 154 (c-d)7 (8 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات (3a-4b)5 (10 (2a + 4b)4 (9 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

11) لجان إذا أردنا تكوين لجنة من 10 طلاب من طلاب الصفين الأول الثانوي والثاني الثانوي في مدرسة، فما احتمال أن يكون في اللجنة 7 طلاب من الصف الأول الثانوي، علما بأن عدد طلاب الصفين متساو، وأن الاختيار يتم عشوائياً. مثال 4 أوجد قيمة الحد المطلوب في كل مما يأتي: (12) الحد الرابع في مفكوك 3x6 - ) . (14) الحد الخامس في مفكوك 49 - x ) . (13) الحد السادس في مفكوك 4x56). (15) الحد الرابع في مفكوك (6). أوجد مفكوك كل مما يأتي: (x-1) (16 (2b+1)5 (17 إرشادات لحل المسألة 18) كرة سلة : إذا كان احتمال النجاح في رمي كرة السلة لأحد اللاعبين يساوي احتمال الفشل عند رميها من مسافة محددة، فأوجد احتمال أن ينجح هذا اللاعب في إصابة الهدف في 11 مرة من بين 12 محاولة. نظرية ذات الحدين والاحتمال يمكنك استعمال نظرية (19) كرة قدم: إذا كان احتمال أن يسجّل خالد هدفًا من ضربة جزاء هو %70 ، فأوجد احتمال أن يسجل ذات الحدين في حساب نتائج التجارب المستقلة المتكررة. فإذا كان p يمثل احتمال النجاح و q = 1 - p) يمثل و أهداف من 10 ضربات. مسائل مهارات التفكير العليا احتمال الفشل فإن 20) تحد أوجد قيمة الحدّ السادس في مفكوك (V12)، ووضح إجابتك . احتمال أن تكون X محاولة 21) تبرير وضح كيف تتشابه الحدود في مفكوك كل من ( - )x), ( + ) ، وكيف تختلف. ناجحة من بين 11 محاولة تعطى بالصيغة التالية (22) مسألة مفتوحة اكتب قوة لذات حدين، الحدّ الثاني في مفكوكها يساوي 6xy . (23) اكتب وضح كيف يمكنك كتابة حدود مثلث باسكال. p(x)=Cxp q-x تدريب على اختبار 24) احتمال يحتوي صندوق على 7 أقلام رصاص حمراء مبرية، و5 أقلام (25) أي العلاقات التالية تُمثل دالة خطية؟ رصاص صفراء مبرية، و5 أقلام صفراء غير مبرية. إذا تم سحب قلم من الصندوق بصورة عشوائية، فما احتمال أن يكون القلم أصفر، علما بأنه من الأقلام المبرية؟ y=x+3c y = x + 3 x + 2 A y = 3x | + 2 D y =(3x+2)2 B D 5 10 C B A 15 12 مراجعة تراكمية أوجد الحدود الخمسة الأولى في كل من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين: (الدرس2-6) a₁ = -2, an+1 = a +5 (26 a=-7, a-1 (27 28) أوجد مجموع المتسلسلة ... + 2 - 3 - 6 - . (الدرس 4-6) (29) بين ما إذا كانت الجملة 2 = (n+1)(n+1) 2 صحيحة عندما 1 = 1 ، أم لا، وفسّر إجابتك. (مهارة سابقة) وزارة التعليم الدرس 5-6 نظرية ذات الحدين 155 2024-1446