الاحداثيات القطبية - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

6-1 فيما سبق درست الزوايا الموجبة الإحداثيات القطبية Polar Coordinates لماذا ؟ يستعمل مراقبو الحركة الجوية أنظمة رادار حديثة لتوجيه مسار الطائرات، والسالبة ورسمتها في الوضع القياسي. (مهارة سابقة) والان والحصول على مسارات ورحلات جوية آمنة. وهذا يضمن بقاء الطائرة على مسافة آمنة من الطائرات الأخرى، والتضاريس الأرضية. ويستعمل الرادار قياسات الزوايا والمسافات المتجهة؛ لتمثيل موقع الطائرة، ويقوم المراقبون أمثل نقاطا بالإحداثيات بتبادل هذه المعلومات مع الطيارين. القطبية. رابط الدرس www.ien.edu.sa أمثل بيانيا معادلات قطبية تمثيل الإحداثيات القطبية لقد تعلمت التمثيل البياني لمعادلات معطاة في نظام الإحداثيات الديكارتية (المستوى الإحداثي). وعندما يحدد مراقبو الحركة الجوية موقع الطائرة باستعمال المسافات والزوايا، فإنهم بسيطة. المفردات polar coordinate system القطب يستعملون نظام الإحداثيات القطبية (المستوى القطبي). نظام الإحداثيات القطبية في نظام الإحداثيات الديكارتية، المحوران x, y هما المحوران الأفقي والرأسي على الترتيب، وتُسمى نقطة تقاطعهما نقطة الأصل، ويرمز لها بالحرف O. ويُعيَّنُ موقع النقطة P بالإحداثيات الديكارتية من خلال زوج مرتب (x,y) ، حيث x,y المسافتان المتجهتان الأفقية، والرأسية على الترتيب من المحورين إلى النقطة. فمثلا: ، تقع النقطة (13) على بُعد وحدة وحدة إلى يمين المحور ، وعلى بعد 3 وحدة إلى أعلى المحور x . pole المحور القطبي polar axis الإحداثيات القطبية polar coordinates المعادلة القطبية polar equation التمثيل القطبي polar graph في نظام الإحداثيات القطبية، نقطة الأصل 0 نقطة ثابتة تُسمى القطب. والمحور القطبي هو نصف مستقيم يمتد أفقيًا من القطب إلى اليمين. يمكن تعيين موقع نقطة P في نظام الإحداثيات القطبية باستعمال الإحداثيات (6) ، حيث المسافة المتجهة (أي تتضمن قيمة واتجاها، فمن الممكن أن تكون 7 سالبة) من القطب إلى النقطة P و 0 الزاوية المتجهة (أي تتضمن قيمة واتجاها) من المحور القطبي إلى OP . نظام الإحداثيات الديكارتية P(x, y) x 0 نظام الإحداثيات القطبية P(r, 0) المحور القطبي 0 القطب القياس الموجب للزاوية 0 يعني دورانا بعكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من المحور القطبي، في حين يعني القياس السالب دورانا باتجاه عقارب الساعة، ولتمثيل النقطة P بالإحداثيات القطبية، فإن P تقع على ضلع الانتهاء للزاوية 0 إذا كانت " موجبة. أما إذا كانت سالبة، فإن P تقع على نصف المستقيم المقابل الامتداد) لضلع الانتهاء للزاوية 6 . مثال 1 تمثيل الإحداثيات القطبية مثل كل نقطة من النقاط الآنية في المستوى القطبي A(2, 45°) (a بما أن 45 = 0 ، فارسم ضلع الانتهاء للزاوية 45 ، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن 2 = ۲ ، لذا عين نقطة A تبعد وحدتين عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية 45 ، كما في الشكل المجاور. B(-1.3,) بما أن 2 = 8، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية ، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها، ولأن 7 سالبة، لذا مدَّ ضلع الانتهاء في الاتجاه المقابل، وعين نقطة B تبعد 1.5 وحدة عن القطب على امتداد ضلع الانتهاء ، كما في الشكل المجاور. المحور A(2, 45°) 45° القطبي المحور القطبي B(-1.5, 2 1.5 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 10

3 C(3,-30°) (c - بما أن 30 = 6 ، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 30 - ، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها ولأن 3 = r ، لذا عين نقطة C تبعد 3 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور. المحور القطبي -30° C(3, -30°) F(4,-) (C E(2.5, 240°) (1B تحقق من فهمك مثل كل نقطة من النقاط الآتية: D-1A تعين الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي الذي يتخذ شكلا دائريا، كما تُعيَّن الإحداثيات الديكارتية في المستوى الإحداثي الذي يتخذ شكلاً مستطيلا. 5 6 言 7π 6 2π 3, 2 3 13. 47 5 3 3 2 90° 120° 60° 150° 180° 6 117 0 30° 0° Q(-3.5, 150) 210° 330° 240° 300° 270° تمثيل النقاط في المستوى القطبي مثال 2 مثل كلًا من النقاط الآتية في المستوى القطبي: P(3, 4) (a 47 بما أن = 9 ، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية ، بحيث يكون المحور القطبي هو ضلع الابتداء لها ولأن 3 = للقاعين نقطة الاتبعد 3 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور. Q(-3.5, 150°) (b r بما أن "150 = 6 ، لذا ارسم ضلع الانتهاء للزاوية "150 ، بحيث يكون المحور القطبي ضلع الابتداء لها، ولأن 7 سالبة، لذا مدَّ ضلع الانتهاء للزاوية في الاتجاه المقابل، وعين نقطة Q تبعد 3.5 وحدات عن القطب على امتداد ضلع الانتهاء للزاوية، كما في الشكل المجاور. S(-2,-135°) (2B تحقق من فهمك مثل كلا من النقاط الآتية في المستوى القطبي - R(1.5, 7) (2A 6 إرشادات للدراسة. القطب في نظام الإحداثيات الديكارتية كل نقطة يُعبر عنها بزوج وحيد من الإحداثيات (x) . إلا أن هذا لا ينطبق على نظام الإحداثيات القطبية؛ وذلك لأن قياس كل زاوية يُكتب بعدد لانهائي من الطرائق؛ وعليه فإن للنقطة (6) الإحداثيات (360 ) أو ( 2 ) أيضًا كما هو مبين أدناه. يمكن تمثيل القطب بالنقطة (00) ، حيث 0 أي زاوية. P(r, 0) P(r, 6+ 360°) 8 04-360) المحور القطبي وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1-6 الإحداثيات القطبية 201146 0 (0-360) (0 Plr, 0) Plr, 0-360°) المحور القطبي

12 وكذلك لأن " مسافة متجهة، فإن (۲) (-1, 0) (-1, 0 ± 180°), تمثل النقطة نفسها، كما في الشكل المجاور. Plr, 9) or P(-1, 0 ± 180°) المحور القطبي (e-180) (6+180) وبصورة عامة، إذا كان n عددًا صحيحًا، فإنه يمكن تمثيل النقطة (6) بالإحداثيات (1°360 + 6 ,r) أو (180(1 + 2 - . وبالمثل، إذا كانت 0 مقيسة بالراديان، وكان عددًا صحيحًا، فإنه يمكن تمثيل النقطة (1) بالإحداثيات (2) + ) أو (1) + (2) + ) . مثال 3 تمثيلات قطبية متعددة إذا كانت °360 ≥ 3600 ، فأوجد أربعة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة T في الشكل المجاور. - أحد الأزواج القطبية التي تمثل النقطة T هو (435). وفيما يأتي الأزواج الثلاثة الأخرى: 0° 90° 45° 135' 180° (4, 135°)=(4, 135° - 360°) = (4,-225°) (4, 135°)(-4, 135° + 180°) = (-4,315°) (4, 135°)(-4, 135° - 180°) =(-4, -45°) تحقق من فهمك اطرح 360 من 0 ضع ٢ - بدلا من "، وأضف 180 إلى 0 ضع ٢- بدلا من 7 ، واطرح 180 من 0 225° 315° 270° أوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة المعطاة، علما بأن: "360 = 0 ≥ 360 ، أو 27 5 0 5 27- (5,240°) (3A (-2) (38 إرشاد تقني التمثيل البياني للمعادلات القطبية تُسمى المعادلة المعطاة بدلالة الإحداثيات القطبية معادلة قطبية. فمثلا : تمثيل المعادلات القطبية r = 2 sin هي معادلة قطبية التمثيل القطبي هو مجموعة كل النقاط (r) التي تحقق إحداثياتها المعادلة القطبية. لتمثيل المعادلة القطبية 2 = r على الحاسبة البيانية لقد تعلمت سابقاً كيفية تمثيل المعادلات في نظام الإحداثيات الديكارتية (في المستوى الإحداثي). ويُعدُّ تمثيل المعادلات مثل x = a ، و y = b أساسيا في نظام الإحداثيات الديكارتية. وبالمثل فإن التمثيل البياني لمعادلات قطبية TI-nspire، اضغط على manu 3: إدخال/ تحرير الرسم البياني مثل r = k ، و h = ) ، حيث عدد ان حقيقيان، يُعدُّ أساسيا في نظام الإحداثيات القطبية. وغير وضع الرسم إلى ويت عليي لاحظ أن المتغير التابع تغير من (f(x إلى " ، والمتغير المستقل من x إلى 6 ، مثل 2 = r . مثال 4 التمثيل البياني للمعادلات القطبية مثل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانيا: r = 2 (a تتكون حلول المعادلة 2 = x من جميع النقاط على الصورة (20) ، حيث 0 أي عدد حقيقي فمثلا تعد النقاط (2), (27) ,(2) حلولا لها. يتكون التمثيل البياني من جميع التي تبعد 2 وحدة عن القطب. وعليه فإن المنحنى هو دائرة مركزها نقطة الأصل (القطب)، وطول نصف قطرها 2 كما في الشكل المجاور. النقاط الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 21 2 57 √r=2] 6 프 6 (2, π) T 0 1-2-3.4 77 47 3 11 6 6 41 5π 37 2 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تنبيه تهيئة الحاسبة البيانية عند استعمال صيغة المسافة القطبية، تأكد من ضبط الحاسبة البيانية على وضعية الدرجات ، أو الراديان بحسب قياسات الزوايا المعطاة. 0 = (b تتكون حلول المعادلة = 9 من جميع النقاط ( ) ، حيث r أي عدد حقيقي مثل النقاط (35) (4), (1) ؛ وعليه فإن التمثيل البياني عبارة عن جميع ا النقاط الواقعة على المستقيم الذي يصنع زاوية مع المحور القطبي. تحقق من فهمك مثل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانيا : 7 = 3 (4 0 = 2 (48 يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى القطبي باستعمال الصيغة الآتية. مفهوم أساسي المسافة بالصيغة القطبية افترض أن ( 2012 ,12 ,2 ,01 ,111 نقطتان في المستوى القطبي، تعطى المسافة PP2 ، بالصيغة 3. 五 6. 4, 21 2 3 6 |0= 6 -3.5, 117 6 47 3 37 71 6 90° 120° 60° 150 P.(r., 0.) P(0) 0° P, P2 = V12 + 122 - 2012 005 (02 - 01) 210° 330° 240° 300° 270° سوف تبرهن هذه الصيغة في السؤال 56 مثال 5 من واقع الحياة إيجاد المسافة باستعمال الصيغة القطبية حركة جوية يتابع مراقب الحركة الجوية طائرتين تطيران على الارتفاع نفسه، حيث إحداثيات موقعي الطائرتين هما (645), (510)، وتقاس المسافة المتجهة بالأميال. مثل هذا الموقف في المستوى القطبي. تقع الطائرة A على بعد 5mi من القطب، وعلى ضلع الانتهاء لزاوية قياسها 310، في حين تقع الطائرة B على بعد 6mi من القطب، وعلى ضلع الانتهاء لزاوية قياسها 345 ، كما في الشكل المجاور. إذا كانت تعليمات الطيران تتطلب أن تكون المسافة بين الطائرتين أكثر من 3mi ، فهل تخالف هاتان الطائرتان هذه التعليمات؟ وضح إجابتك. باستعمال الصيغة القطبية للمسافة، فإن 90° 120° 60° 150 30° 180°- -0° B(6, 345°) 330° 210 A(5, 310") 240° 300° 270° الربط مع الحياة لقد طورت ألمانيا جهاز رادار عام 1936 يستطيع رصد الطائرات ضمن دائرة نصف قطرها mi 80 . AB = V12 + 122 - 2012 cos (02 - 01 = V52+62-2(5)(6) cos (345° - 310°) = 3.44 المسافة بالصيغة القطبية (r₁,0₁) = (5, 310°), (2, 0₂) = (6,345°) أي أن المسافة بين الطائرتين 3.44mi تقريباً ؛ وعليه فإنهما لا تخالفان تعليمات الطيران. تحقق من فهمك (5) قوارب يرصد رادار بحري حركة قاربين، إذا كانت إحداثيات موقعي القاربين (365) ,(850) ، حيث " بالأميال. (5) فمثل هذا الموقف في المستوى القطبي. (5) ما المسافة بين القاربين؟ وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1-1 الإحداثيات القطبية 2013

تدرب وحل المسائل مثل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. (المثالان 1,2) R(1,120°) (1 T(-2.5, 330°) (2 A(3. D(-1,-)(6 C(-4,π) (8 W(-1.5, 150°) (10 B(5,-60°) (5 G(3.5, -11) (7 6 M(0.5, 270°) (9 (11) رماية : يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز. ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب. افترض أن راميا يستعمل هدفا نصف قطره 120cm، وأنه قد أطلق ثلاثة أسهم، فأصابت الهدف عند النقاط (240 ,30), (82,315) ,(114,45). إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه، ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية المثالان (12) 10 نقاط 1 نقطة (24) القفز بالمظلات في مسابقة مركز الهدف المحدد لتحديد دقة موقع الهبوط، يحاول مظلي الوصول إلى مركز الهدف المحدد»؛ ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها 2m. كما يشمل الهدف دائرتين طولا نصفي قطريهما 10m و 20m. (مثال (4) -20 m 10 m. اكتب 3 معادلات قطبية تمثل حدود المناطق الثلاث للهدف. مثل هذه المعادلات في المستوى القطبي. أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي. (مثال (5) (4,-315°), (1,60°) (30 (3,7),(8,4) (26 (7.-) (1.3) 8 (-3.).(-2.) 02 (7, 90°), (-4,- 330°) (34 (2, 30°), (5, 120°) (25 (6,45°), (-3,300°) (27 (-5.2). (4.) (-2, -30°), (8,210°) (31 (1,-),(-5,7) (33 (-5,135), (-1,240) (16 (8.-2). (4.-2). (35 120 cm a) فمثل النقاط التي أصابها الرامي في المستوى القطبي. (6) ما مجموع النقاط التي حصل عليها الرامي ؟ إذا كانت 360 = 0 ≥ 360 ، فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كل مما يأتي: (مثال (3) (37) مساحون أراد مساح تحديد حدود قطعة أرض، فحدّد أثرًا يبعد ft 223 ، بزاوية 45 إلى يسار المركز ، وأثرًا آخر على بعد ft 418 ، بزاوية 67 إلى يمين المركز، كما في الشكل أدناه، أوجد المسافة بين الأثرين. (مثال (5) (-2,300°) (13 (-3.) (15 (-5,-4) (17 (-1,-240°) (19 (1,150°) (12 - 6 (5,11) (16 (2,-30°) (18 مثل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانيا: (مثال (4) r = 1.5 (20 0=-7 (22 6 0 = 225° (21 r = -3.5 (23 45" 223 ft 67° 418 ft (38) مراقبة تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثل جزءًا من دائرة ، وتُحدَّدُ بالمتباينتين 40 = r = 1500 5 0 ≥ 60 ، حيث بالأمتار. a) مثل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن لآلة التصوير مراقبتها. أوجد مساحة المنطقة مساحة القطاع الدائري تساوي: قياس زاوية القطاع بالدرجات 360° مساحة الدائرة). 14 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إذا كانت 180 ≥ 0 0 ، فأوجد زوجًا آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي: (5,960°) (39 (-2.5, 15π) (40 (4.) 12 (41) (1.25,-920°) (42 (-1,-21) (43 (-6, -1460°) (44 (45) مسرح يلقي شاعر قصيدة في مسرح، ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي، بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور القطبي. افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين 240 = r ≥ 30 = 0 = 1 - ، حيث ” بالأقدام. 4 مثل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي. إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft2، فكم مقعداً يتسع له المسرح؟ 46) أمن يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على (51) تمثيلات متعددة في هذه المسألة، سوف تستقصي العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية. a) بيانيا عين (2) في المستوى القطبي، وارسم نظام الإحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة الأصل على القطب، والجزء الموجب من المحور x على المحور القطبي. وبالتالي سينطبق المحور لا على المستقيم 6 . ارسم مثلثا قائما بوصل A مع نقطة الأصل، وارسم منها عمودًا على المحور x . عدديًا : احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية. 4, بيانيا عين (4) على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثا قائمًا بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عمودًا على المحور x ، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة. d تحليليًّا ، كيف ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالإحداثيات الديكارتية لكل نقطة ؟ e) تحليليا : اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية (6) ، والإحداثيات الديكارتية (x,y). شكل جزء من قطاع دائري محدد بالمتباينتين 5 = 0 1 1 ، اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي: 6 20 = x = r ، حيث r بالأقدام. إذا كانت مساحة المنطقة 2 314.16ft، كما هو مبين في الشكل أدناه، فأوجد قيمة x . (52) 27 3. 2 3. 57 6 77 6 6 117 57 37 3 2. 0 90° 120° (53) 60° 150° 30° 180°- 0° 210° 240° 300° 270° وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 1-6 الإحداثيات القطبية 2015 27 2 3 3 5 314.16 ft 6 4T 3 31 2 3 6 0 20 11 6 الوجد الإحداثي المجهول الذي يحقل الشروط المعطاة في كل مما يأتي: 330° P1 = (3, 35), P2 = (۲, 75%), P, P2 = 4.174 (47) P1 = (5, 125), P2 = (2, 0, P,P2 = 4,0 ≤ 0 = 180° (48 P₁ = (3. M. P₂ = (4.), PP-5.0 ( " P₁ (r, 120°), P2 = (4, 160°), P₁P2 = 3.297 (50

مسائل مهارات التفكير العليا 54 تبرير وضّح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهما، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P ، والنقطة الأخرى لتكون P2؟ أوجد الزاوية 0 بين المتجهين uv لكل مما يأتي: (مهارة سابقة) u = (4, -3, 5), v = (2,6,-8) (65 u = 21 - 4j + 7k, v = 5i + 6j - 11k (66 u = (-1, 1, 5), v = (7,-6,9) (67 أوجد إحداثيات مركز وطول نصف قطر كل من الدوائر الآتية: (55) تحد أوجد زوجًا مُرَتَّباً من الإحداثيات القطبية ؛ لتمثيل النقطة (مهارة سابقة) التي إحداثياتها الديكارتية (34) (56) برهان أثبت أن المسافة بين النقطتين ( 02 (2) P2 ,(101) هي (01 - 02) 08 2012 - 122 + P, P2 = V12 . إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام). (57) تبرير وضّح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون = = 01 - 02 . فسر هذا التغير. x 2 + (y - 12 = 9 (68) ( x + 12 + y2 = 16 (69) x 2 + y2 = 1 (70 تدريب على اختبار (71) أي المتجهات الآتية يمثل ،RS ، حيث إن نقطة البداية (53) ، (58) اكتشف الخطأ قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (545) ونقطة النهاية (27)؟ في المستوى القطبي كما هو مبين أدناه أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برر إجابتك. (7,-10) A (-3,10) B (-7,10) C (-3,-10) D سعيد علي 72) يستطيع رشاش ماء رشّ منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 20 = r ≥ 2100 5 0 ≥ 30- ، المحور القطبي 45° المحور القطبي 45° (59) اكتب خمن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق. حيث " بالأقدام، ما المساحة التقريبية لهذه المنطقة؟ 90° 120° 60° 150° 30° -0° 20 210° 330° 180° مراجعة تراكمية أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين , في كل مما يأتي، ثم حدد V ما إذا كان , متعامدين أولا: (مهارة سابقة) u = (4, 10, 1), v = (-5,1,7) (60 u (-5, 4, 2), v = (-4, -9,8) (61 = u =(-8, -3, 12), v = (4,-6,0) (62 a=(-4,3,-2), b = (2, 5, 1), c = (3,-6,5) 15! كلا مما يأتي: (مهارة سابقة) 3a+2b8c (63 −2a + 4b – 5c (64 - 16 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 852 ft² C 866 ft² D 821 ft² A 838 ft² B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446