الاحتمال الهندسي - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

رابط الدرة www.icn.edu.sa الاحتمال الهندسي Geometric Probability 7-3 فيما سبق: درست ايجاد احتمالات الحوادث البسيطة. (مهارة سابقة) والان . أجد الاحتمالات باستعمال الأطوال. أجد الاحتمالات باستعمال المساحات المفردات الاحتمال الهندسي geometric probability لماذا؟ في القرص ذي المؤشر الدَّوار المبين في الشكل، إذا تم تدوير المؤشر فإنه يستقر على أحد الألوان الأزرق، الأحمر، الأخضر، الأصفر)، ويعاد تدوير المؤشر إن استقر على الخط الفاصل بين لونين. الاحتمال الهندسي: احتمال استقرار مؤشر القرص على أحد الألوان يعتمد على مساحة ذلك اللون. ويسمى الاحتمال الذي يتضمن قياسًا هندسيا مثل الطول أو المساحة احتمالا هندسيا. الاحتمال والأطوال لى مفهوم أساسي التعبير اللفظي: إذا احتوت القطعة المستقيمة (1) قطعة مستقيمة أخرى (2)، واختيرت نقطة تقع على القطعة (1) عشوائيا D أضف إلى مطويتك C B A فإن احتمال أن تقع النقطة على القطعة (2) يساوي: طول القطعة المستقيمة (2) طول القطعة المستقيمة (1) مثال: إذا اختيرت النقطة E عشوائيا على AD، فإن: BC P (EBC) = AD إرشادات للدراسة الاحتمال والأطوال (P EBC تعني احتمال أن تقع النقطة على القطعة المستقيمة BC. مثال 1 استعمال الأطوال لإيجاد الاحتمال الهندسي إذا اختيرت النقطة X عشوائياً على JMكما في الشكل أدناه، فأوجد احتمال أن تقع X على KL . I K L M 3 7 4 احتمال الأطوال P(X € KL)= KL IM KL = 7, JM = 3 + 7 + 4 = 14 = 14 بسط == 0.5 = 50% تحقق من فهمك إذا اختيرت النقطة X عشوائيا على 7 في الشكل السابق، فأوجد كلا مما يأتي: P(X € KM) (1B وزارة التعليم الدرس 3-1 الاحتمال الهندسي 25 of 2024-1446 P(X € LM) (1A

الربط بالحياة يمكنك استعمال الاحتمال الهندسي في مواقف كثيرة من واقع الحياة تتضمن عددًا غير منته من النواتج. مثال 2 من واقع الحياة نمذجة احتمالات من واقع الحياة مواصلات تصل حافلة ركاب إلى الموقف أو تغادره كل 30 دقيقة. إذا وصل راكب إلى المحطة، فما احتمال أن ينتظر 10 دقائق أو أكثر لركوب إحدى الحافلات؟ يمكن تمثيل الموقف باستعمال خط الأعداد بما أن الحافلات تصل كل 30 دقيقة، فإن الحافلة التالية تصل بعد 30 دقيقة أو أقل من وصول الراكب. وتمثل حادثة الانتظار 10 دقائق أو أكثر بالقطعة المستقيمة BD على الحافلة وسيلة نقل للركاب خط الأعداد الآتي: تصمم بأحجام مختلفة. وتسير معظم الحافلات بالديزل أو البنزين ومنها ما . يسير بالكهرباء، وبعضها ذات مفاصل أوجد احتمال هذه الحادثة. مترابطة أي لها قسمان متصلان بغطاء مرن. وتسعى شركات الحافلات إلى تخفيض أجرتها ليصبح النقل العام أكثر شعبية لدى المسافرين BD AD 20 2 = 30 A B C D 10 20 30 0 الدقائق احتمال الطول انتظار 10 دقائق أو أكثر )P BD = 20, AD = 30 لذا فاحتمال انتظار 10 دقائق أو أكثر لوصول الحافلة التالية يساوي , أو %67% تقريبا. 26 الفصل 7 الاحتمالات تحقق من فهمك 8L (2) شاي: يحضر مطعم الشاي في وعاء سعته 8L ، وعندما ينخفض مستوى الشاي في الوعاء عن 2L ، يصبح تركيز الشاي كبيرا ويختلف طعمه. إذا حاول شخص ملء كأس من الشاي، فما احتمال أن يكون مستوى الشاي في الوعاء تحت مستوى 2L؟ ما احتمال أن يكون مستوى الشاي في الوعاء في أي وقت بين 21 و 931 6L 4L 2L الاحتمال والمساحة : تتضمن الاحتمالات الهندسية حساب المساحات أيضًا. وفيما يأتي كيفية حساب الاحتمال الهندسي المتضمن مساحة. لى مفهوم أساسي الاحتمال والمساحة أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: إذا احتوت المنطقة .A منطقة أخرى B ، واختيرت النقطة E من المنطقة A عشوائيا، مثال: فاحتمال أن تقع النقطة E في المنطقة B يساوي مساحة المنطقة B مساحة المنطقة A إذا اختيرت النقطة E عشوائياً في المستطيل A ، فإن: مساحة الدائرة B مساحة المستطيل A = ( وقوع النقطة E في الدائرة PB وعند تحديد الاحتمال الهندسي لهدف ما نفترض الآتي: . وقوع الهدف ضمن منطقة محددة . . أن احتمال وقوع الهدف في أي مكانٍ من المنطقة متساو . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الربط بالحياة الهبوط بالمظلات يتطلب جرأة لممارسته؛ حيث يقفز المظلي من ارتفاع 10.000 متر فأكثر. وينقسم إلى القفز بالمظلة وهو أمن وسهل لأنه تلقائي ولا يستلزم تحكم القافز والقفز الحر وهو للمحترفين، حيث يتحكم مثال 3 من واقع الحياة استعمال المساحة لإيجاد الاحتمال الهندسي الهبوط بالمظلات يهبط مظلي على هدف مكون من ثلاث دوائر متحدة المركز. إذا كان قطر الدائرة الداخلية 2m ويزداد نصف قطر كل دائرة تالية بمقدار 1m فما احتمال أن يهبط المظلي في الدائرة الحمراء؟ نجد نسبة مساحة الدائرة الحمراء إلى مساحة الهدف الكلي، ونصف قطر الدائرة الحمراء يساوي ،1m، بينما نصف قطر الهدف الكلي يساوي 1 + 1 + 1، أو 3m . احتمال المساحة مساحة الدائرة الحمراء = أن يهبط المظلي في الدائرة الحمراء)P مساحة الهدف (1) 2 = (3) 2 = -- = 9 احتمال أن يهبط المظلي في الدائرة الحمراء هو و، ويساوي %11 تقريبا. تحقق من فهمك القافز بالمظلة في موضع (3) الهبوط بالمظلات أوجد كلًا مما يأتي بالاعتماد على المثال السابق. هبوطه إرشادات للدراسة استعمال التقدير في المثال 46 مساحة القطاع البنفسجي أقل قليلا من ، أو 33 من القرص لذا فالجواب . %29% يكون معقولا. A (أن يهبط المظلي في المنطقة الزرقاء)P B) (أن يهبط المظلي في المنطقة البيضاء)P يمكنك أيضًا استعمال قياس الزاوية لإيجاد الاحتمال الهندسي A = ar بسط إن نسبة مساحة قطاع في دائرة إلى مساحة الدائرة الكلية كنسبة قياس زاوية القطاع المركزية (x) إلى 360 (ستبرهن هذا في السؤال (21) ، وعليه فإنه إذا اختيرت نقطة x عشوائيا داخل الدائرة فإن احتمال وقوعها داخل القطاع يساوي 30 مثال 4 استعمال قياسات الزوايا لإيجاد الاحتمال الهندسي استعمل القرص ذا المؤشر الدوّار في الشكل المجاور لإيجاد كل مما يأتي: (علما بأنه يعاد تدوير المؤشر إذا استقر على الخط الفاصل بين القطاعات الملونة) a) (استقرار المؤشر على اللون الأصفر )P قياس زاوية القطاع الأصفر 45 = 45 360 12.5% : استقرار المؤشر على اللون الأصفر )P b) (استقرار المؤشر على اللون البنفسجي)P قياس زاوية القطاع البنفسجي 105 105 29% = 360 (استقرار المؤشر على اللون البنفسجي) P (عدم استقرار المؤشر على اللون الأحمر أو على اللون الأزرق)P مجموعة قياس زاويتي القطاعين الأحمر والأزرق 120 = 70 + 50 70° 105 45° 90° 50° 240 360 =67% تحقق من فهمك = 360-120 360 (عدم استقرار المؤشر على اللون الأحمر أو على اللون الأزرق P 4) (عدم استقرار المؤشر على اللون الأخضر )P (48) (استقرار المؤشر على اللون الأزرق). وزارة التعليم الدرس 3-1 الاحتمال الهندسي 27 2024-1446

B 5 3 تأكد مثال 1 إذا اختيرت النقطة X عشوائيا على AD في الشكل المجاور، فاوجد كلا مما يأتي: D 2 C 1) (أن تقع X على PSD (أن تقع X على NBC مثال 2 (3) مواصلات ينقل أحد فنادق مكة المكرمة المعتمرين من الفندق إلى الحرم، حيث تصل حافلة ركاب إلى الفندق أو تغادره كل 20 دقيقة. إذا وصل شخص إلى موقف الحافلات في الفندق، فما احتمال أن ينتظر 5 دقائق أو أقل لركوب إحدى الحافلات؟ المثالان 34 4 لعبة السهام: يُسدد هداف سهمه نحو قرص (5) ملاحة ضَلّ أحد طلبة الكشافة طريقه في قطره cm 122 يحتوي على 10 دوائر متحدة المركز تتناقص أقطارها بمقدار 12.2cm كلما اقتربت من المركز أوجد احتمال أن يصيب الهداف نقطة داخل الدائرة الصغرى. غابة، فوجه بوصلته عشوائيا كما في الشكل أدناه أوجد احتمال أن يوجه البوصلة باتجاه المنطقة المحصورة بين الشمال (N) والشمال الشرقي (NE). F G 4 45% H K 12 14 6 P(XEHK) (8 122cm تدرب وحل المسائل مثال 1 إذا اختيرت النقطة X عشوائياً على FK في الشكل المجاور، فاوجد كلا مما يأتي: P(X Є GJ) (7 PX FH) (6 (9) طيور تقف أربعة طيور عند نقاط على سلك كما في الشكل المجاور. فإذا هبط طائر خامس عشوائيا على نقطة من نقاط السلك فما احتمال أن يقف بين الطائر رقم 3 والطائر رقم 4؟ 6 in. 10 in. 8 in. مثال 2 (10) تلفاز يُتابع عمار برنامجا تلفزيونيا مدته 30 دقيقة. إذا كان يُبث إعلان في التلفاز في وقت عشوائي مرة كل فترة 3 ساعات، فما احتمال أن يشاهد عمّار الإعلان ثانية خلال متابعته برنامجه المفضّل الذي مدته 30 دقيقة في اليوم التالي؟ مثال 3 اختيرت نقطة عشوائيا في كل من الأشكال الآتية، أوجد احتمال وقوعها في المنطقة المظللة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (13 10 (12 (11 الفصل 7 الاحتمالات 28

44° 30° 84° 110 92° 60° 125° 0 125° مثال 4 استعمل القرص ذا المؤشر الدوار لإيجاد كل مما يأتي (إذا استقر المؤشر على الخط الفاصل بين القطاعات الملونة يُعاد تدويره): 14) (استقرار المؤشر على اللون الأصفر)P 15) (استقرار المؤشر على اللون الأزرق)P 16) (عدم استقرار المؤشر على اللون الأخضر )P (17) (عدم استقرار المؤشر على اللون الأحمر ولا على اللون الأصفر )P صف حادثة يكون احتمالها و لكل من النماذج الآتية: (19 10 20 (18 30 40 الربط بالحياة تشجع المملكة العربية (20) هندسة إحداثية : إذا اختيرت نقطة عشوائيا على الشبكة المجاورة، فأوجد كلا مما يأتي: a) (النقطة داخل الدائرة )P b) (النقطة داخل شبه المنحرف)P ) (النقطة داخل شبه المنحرف أو المربع أو الدائرة)P y 21 جبر اختيرت نقطة عشوائياً في الدائرة المجاورة. أثبت أن احتمال وقوعها في المنطقة السعودية الزراعة وتوليها اهتمامًا ودعمًا، حيث تتركز الزراعة على الاكتفاء الذاتي وتصدير القمح والتمور ومنتجات الألبان والبيض والفواكه والخضراوات والزهور x 360 المظللة يساوي (إرشاد: مساحة القطاع الدائري = مساحة الدائرة × ) x 360 (22) هندسة إحداثية إذا اختيرت نقطة (x) (y) عشوائيا في منطقة حل نظام المتباينات 1 y , , 1 ، فما احتمال أن يكون 16 12 - x - 12 + (y)؟ إلى الأسواق في جميع أنحاء (23) زراعة مزرعة مقسمة إلى حقول كما في الشكل المجاور، بقدون فلفل طماطم a ما المساحة الإجمالية لحقول الخيار والجزر ؟ إذا وقف مزارع في مكان من المزرعة عشوائيا لجني المحصول، فما احتمال أن يكون قد وقف في حقل من حقول البقدونس. مسائل مهارات التفكير العليا (24) اكتشف الخطأ حسب كل من عمر وسالم احتمال وقوع النقطة التي يتم اختيارها عشوائيا داخل الدائرة O في المنطقة المظللة، أيهما حله صحيح؟ وضح تبريرك. عمر قياس زاوية القطاع المظلل . سالم قياس زاوية القطاع المظلل . P = 60 360 16.7% وزارة التعليم الدرس 3- الاحتمال الهندسي 29 of 2024-1446 360 P = =_50 360 = 13.9% 360 العالم.

r (25) تحد أوجد احتمال أن تقع نقطة يتم اختيارها عشوائيا داخل الشكل المجاور في المنطقة المظللة مقربًا الناتج إلى أقرب عُشر. r AQU (26) تبرير محيط مثلث متطابق الضلعين يساوي .cm.32. إذا كانت أطوال أضلاع المثلث أعدادًا صحيحة، فما احتمال أن تكون مساحته 48cm2 بالضبط ؟ وضح تبريرك. (27) مسألة مفتوحة مثل حادثة احتمالها 20% باستعمال ثلاثة أشكال هندسية مختلفة. (28) اكتب إذا اختيرت نقطة عشوائيا في كل من المربعين الآتيين، فوضح لماذا يتساوى احتمال وقوعها في المنطقة المظللة في أي منهما. 1 in. 1 in. 0.75 in 0.4375 in² تدريب على اختبار (29) احتمال رسمت دائرة نصف قطرها 3 وحدات داخل مربع 31) إجابة قصيرة، قسم القرص الآتي إلى 3 قطاعات 8 متساوية. وقد أدير المؤشر طول ضلعه 9 وحدات، واختيرت نقطة عشوائيا داخل المربع. ما احتمال أن تقع أيضًا داخل الدائرة؟ 1 2 3 6 5 4 إذا استقر المؤشر عند عدد، فما احتمال أن يكون هذا العدد 3؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 إذا استقر المؤشر عند عدد، فما احتمال أن يكون هذا العدد فرد یا ؟ D A B 9 (30) احتمال يحتوي صندوق على 7 كرات زرقاء، و 6 كرات حمراء، وكرتين بيضاوين و 3 كرات سوداء. إذا سحبت كرة واحدة عشوائيا، فما احتمال أن تكون حمراء؟ 7 D 18 A 11 B مراجعة تراكمية (32) حفلة يجلس خمسة أصدقاء حول منضدة دائرية الشكل في حجرة فيها نافذة واحدة، ما احتمال أن يجلس أحدهم على المقعد الأقرب إلى النافذة؟ (الدرس (72) مثل فضاء العينة لكل تجربة مما يأتي باستعمال القائمة المنظمة، والجدول، والرسم الشجري: (الدرس 1-7) 33) في كل من السنتين القادمتين يمكن لأحمد الاشتراك في النشاط الثقافي (C) أو النشاط العلمي (S). (34) يمكن أن تشتري أمينة زوج أحذية له كعب مرتفع (H) أو كعب منخفض (L)، وبلون أسود (K) أو بني (3 35) هندسة في الشكل المجاور، ما نسبة المساحة المظللة إلى مساحة المستطيل؟ (مهارة سابقة) أوجد مساحة المنطقة المظللة في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) .(B) 12 cm- (38 6√3cm 7 in. (37 10 m الفصل 7 الاحتمالات (36 30

الفصل 7 اختبار منتصف الفصل الدروس من 11 إلى 3-7 1) طعام يتكون غداء صالح من شطيرة وحساء وحلوى ومشروب (8) سيرك: مُدَّ حبل طوله 320m بين عمودين على فرض أن حسب الجدول الآتي: شطائر حساء الحلوى مشروبات دجاج دجاج كعك شاي لحم خضراوات كنافة قهوة لبنة عدس عصير برتقال جينة فرص قطع الحبل ع عند أي نقطة من نقاطه متساوية. a) أوجد احتمال أن ينقطع الحبل في أول 50m منه. أوجد احتمال أن ينقطع الحبل من نقطة تقع ضمن مسافة 20m من أي من العمودين. عصير تفاح اختيرت نقطة A. عشوائيا على 10 في الشكل أدناء، أوجد كلا مما يأتي: حليب a ما عدد الوجبات المختلفة التي يمكن لصالح أن يتناولها إذا اختار صنفًا من كل عمود؟ إذا أضيف نوع واحد من الحساء ونوعان من الحلوى، فكم يصبح عدد الوجبات المختلفة؟ E 9 D B 5 12 9) أن تقع A على P(CD 10) (أن تقع A على P(BD ) (أن تقع A على ACE 12) أن تقع A على PDC استعمل القرص ذا المؤشر الدوار في الشكل (2) أعداد كم عددًا مختلفًا مكونا من (5) أرقام يمكن تكوينه المجاور لإيجاد كل مما يأتي إذا استقر المؤشر باستعمال الأرقام ...,2,3,4 دون تكرار الرقم الواحد أكثر من مرة ؟ (3) ملابس في محل تجاري قمصان ألوانها: أحمر (R) أزرق (8)، أصفر (Y) أخضر (G) زهري (P)، برتقالي (O)، على الخط الفاصل بين القطاعات الملونة، فإنه يعاد تدويره مرة أخرى): 13) (استقرار المؤشر في المنطقة الصفراء)P وكل منها بنوعي أكمام طويل (L) وقصير (S). مثل فضاء العينة 14) (استقرار المؤشر في المنطقة الزرقاء)P مريم ! م إذا أرادت شراء قميص من المحل 15) (استقرار المؤشر في المنطقة الحمراء)P الخيارات القمصان لدى . باستعمال القائمة المنظمة والجدول والرسم الشجري (4) كتابة: يحتوي كيس على بطاقات كُتب على كل واحدة منها 105 230° (16) لعبة السهام الهدف من لعبة رمي السهام أن يصيب السهم المنطقة المربعة الشكل C في اللوحة المستطيلة الشكل المبينة حرف واحد من الحروف ر ، ف ، س ، ة ، و ، ي. إذا اختير تبديل أدناه، إذا سدد لاعب سهما ووقع في نقطة ما على اللوحة، فما واحد من هذهِ الحروف عشوائيا لتكوين كلمة، فما احتمال أن تكون الكلمة "فروسية ؟ (5) نقود لدى محمود 3 جيوب و 4 قطع نقدية مختلفة. بكم طريقة يمكنه وضع القطع جميعها في جيوبه؟ (6) نقود إذا ألقيت قطعة نقد عشر مرات متتالية، فما عدد النواتج التي تظهر فيها الصورة في الرمية الثالثة ؟ (7) هندسة: إذا اختيرت نقطة عشوائيا داخل المستطيل في الشكل أدناه، فما احتمال أن تقع في المنطقة المظللة؟ احتمال أن يكون قد وقع في: 30 in. 10 in. A B C D 15 in 10 in. 10 cm 16 cm a المنطقة A b المنطقة B؟ المنطقة C ؟ d المنطقة D؟ وزارة التعليم الفصل 7 اختبار منتصف الفصل 31 2024-1446