التفكير المنطقي والمنهج الرياضي - التفكير الناقد - أول ثانوي

الدرس الرابع التفكير المنطقي والمنهج الرياضي Logical Thinking and Mathematical Reasoning تمهيد رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa الأهداف .1 أبين البعد المنطقي في درس الرياضيات. 2. أحدّد مراحل المنهج الفرضي الاستنباطي. 3. أتعرف على منظومة الأوليات. تتباين العلوم بتنوع موضوعاتها وخصائصها وأهدافها، وإذا كان علم المنطق يبحث في صورة الفكر وقوانينه أو مبادئه التي تساعد الذهن على الحذر من الوقوع في الخطأ في ما يتصوره، فإنّ تلك المبادئ لا تقتصر على المنطق وحده، بل تشمل العلوم أيضًا ، ولكن بدرجات متفاوتة، بحسب مجالاتها وخصوصياتها فالرياضيات على وجه الخصوص- أكثر صورية من علوم أخرى؛ بسبب كونها علمًا مجردًا يستعمل الرموز، ويهتم بأنواع العلاقات والاستدلال والاستنباط، إلى حد أننا نعثر على أشكال من العلاقة بين التفكير المنطقي والمنهج الرياضي. وقد أسس إقليدس أوّل نسق هندسي بصورة دقيقة انطلاقا من مبادئ يسيرة، على غرار المنطق الأرسطي، ويجب أن يبدأ منها عالم الرياضيات في عملية البرهنة. وابتداء من النصف الثاني من القرن السابع عشر قامت في أوساط علماء الرياضيات حركة نقدية لمبادئ البرهان الرياضي، وفحص معايير الصدق، وهو ما يُعرف بالهندسات غير الإقليدية، وامتزجت الرياضيات أقرأ (1) بالمنطق امتزاجا. كانت الرياضيات والمنطق تاريخيا نوعين من الدراسة متمايزين تمامًا، فقد ارتبطت الرياضيات بالعلم، والمنطق باللغة اليونانية ولكن كليهما تطور في الأزمنة الحديثة، فأصبح المنطق رياضيًا بصورة أكبر، والرياضيات أكثر منطقية، مما ترتب عليه استحالة وضع خط فاصل بينهما، إذ الواقع أنّ الاثنين شيء واحد والخلاف بينهما كالخلاف بين الصبي ..a cos (0) - cos(-a), 400% = cos(; %)=1 a)--2005 (-a) - cos c-ax-10-03 (4) x=0.42-3 -100% cos (3) CD-m- Surecepop 2-1 (3x-x)dx Aα x(3-2).0 2,-0. gad yof(x), f(x) -01 LCBA - CAB=0 N CAB - to - 1 - tg ac (se) s f(x) cas (-a)-a < CBA - ẞ cos &=cos (-1) 12 f(x) = f(x)x(3-x)-00 | AD-D6, CD-m S- √(2x-x²-(-x)) x sx cos 30%- 2-3 tg.√3. 60 mlll ctg ctg 45°-1 () CAC ہے cg-131 y=f(x). Stg 45°- Sina 3x-x(3-2)-0 ctg-13.005-003 ( 2.√2 cos (-a)-a 27.0.0. -642-3-27.3-81 الله و B Kok k ctg = s.30% ctg 45 m Sina cos a Xmlle cas (-a)-a ABAB 2-3-4) 3AB.CD cos (-a)-ax (3-2)-0 30% x,-0. C x (3-1)-0005-11 20 جــ 10 y-f(x), <CAB-α x=1pc ctg 3 tg = -1- ctg / LCBA-B √ line)/ X,-0. 1600 AD DB, CD-m cos α- a casa --a cos(0) -cos (-a), ctg - 2.√2 cos(.α) --a cos(-a) - cos ce-a, +y=f(x), CD -- Succepmp ctg & . . .15 Sin a aus-cos(). 45-cas a EN AD-DB son. 30 30° ca apey fo والرجل، فالمنطق شباب الرياضيات، والرياضيات تُمثل طور الرجولة للمنطق. وجهة النظر on cos(-a)- ctg 45°-1 45°- sin a.. cos a f(x)=0, 0x (2x-x-(-x)) da CBA ctg 45°-1 Cy-f(x), SAB-CD D Cos(-a)-a flx) CD-m- tgc هذه ينكرها المناطقة الذين أنفقوا عمرهم في دراسة النصوص القديمة حتى أضحوا عاجزين عن تتبع شيء من الاستدلال الرمزي وينكرها الرياضيون الذين تعلموا صنعة فنية دون أن يجهدوا أنفسهم في البحث عن معناها أو أسسها ومن حسن الحظ أن كلا الصنفين في سبيلهما الآن إلى أن يصبحا أندر. لقد أصبح من الواضح أن كثيرًا من البحث الرياضي الحديث يقع على محيط المنطق، وأن كثيرًا من المنطق الحديث رمزي وصوري، مما جعل العلاقة الوثيقة بين المنطق والرياضيات جليّة لكل طالب متعلّم . والدليل على تطابقهما أمر يحتاج بالطبع إلى تفصيل: فنحن إذا بدأنا من مقدمات قد نسلّم كليًّا أنها تنتمي إلى المنطق ، وانتهينا بالاستنتاج إلى نتائج من الواضح أنها تنتمي إلى الرياضيات، رأينا أنه ليس ثمة خط فاصل يمكن رسمه بحيث يوضع المنطق على شماله والرياضيات على يمينه. المصدر: مقدمة إلى فلسفة الرياضيات، برتراند راسل، الطبعة الأولى، ترجمة محمد أحمد، 2020م 190 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

(Il 1 2 3 4 5 أفهم وأحلل (1) 1. أرصد أهم الكلمات الأساسية الواردة في النص وأحدّد معانيها. المفهوم التعريف إضاءة الرياضيات هي علم الكم بنوعيه الأعداد، الكم المنفصل، ويبحث في والكم المتصل وهو الأشكال الهندسية. وتهتم الرياضيات أيضًا بدراسة البنية والعلاقات. المنطق علم يبحث في القوانين أو المبادئ العامة التي ينطوي عليها الفكر الإنساني لتجنب الوقوع في الخطأ. 2. " كانت الرياضيات والمنطق تاريخيا نوعين من الدراسة متمايزين تمامًا " . أوضح نقاط التمايز بين الرياضيات والمنطق. المنطق القديم المجال/ الموضوع المبادئ الخصائص الوظيفة الرياضيات القديمة 191 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

192 .3. انطلاقًا من النص، أبرز العلاقة الوثيقة بين المنطق والرياضيات في العصور الحديثة : " أصبح المنطق رياضيا بصورة أكبر، والرياضيات أكثر منطقية " من ناحية أولى. من ناحية ثانية: 4. بالاستناد إلى النص، استخرج دواعي استنكار كل من المناطقة وعلماء الرياضيات للتماثل بين المنطق والرياضيات اليوم من وجهة نظر المناطقة من وجهة نظر علماء الرياضيات إضاءة المنطق الرمزي يعبّر عن درجة عليا من التجريد الفكري الذي يظهر في تحويل الصورة اللغوية للقضية المنطقية إلى صورة رياضية، وكذلك استنباط الرياضيات الخالصة من أصول منطقية. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

5. بالاستناد إلى النص أستخرج ما يميّز " المنطق الحديث " / المنطق الرياضي. من ناحية طبيعته من ناحية شكله . من ناحية نوعية الاستدلال: أقرأ (2) لک إنّ التقدّم الذي حققته منظومة الأوليات مرجعه إلى أنها منطقية شكلية، أي مستقلة عن الواقع الحدسي. لنضرب مثالا على ذلك: من نقطتين في المكان نستطيع دومًا أن نرسم خطا مستقيمًا واحدًا لا أكثر ، فكيف تفسر الرياضيات القديمة هذه المصادرة أو البدهية؟ وكيف تفسرها الرياضيات الحديثة؟ التفسير القديم كلنا يعرف الخط المستقيم، والنقطة، وليس من شأن الرياضي أن يقرر إذا كانت هذه المعرفة قد نبعت من قدرة العقل البشري أو من التجربة أو من تعاونهما، أو من أي جهة أخرى [...] التفسير الحديث: أما الرياضي الحديث فلا يعنيه وضوح المصادرة، وإنما صفتها الشكلية، أي انفصالها عن حدث واقعي؛ لأنها في نظره إنشاء حر يقوم به الفكر الإنساني. [...] ولهذا فالرياضيات الحديثة خالية من أي مضمون من الحدس أو من التجربة، فهي شكلية خالصة. هذه المصادرات إبداع حر للعقل البشري، وكل القضايا الأخرى في الهندسة استنتاجات منطقية من هذه المصادرات. المصدر: أفكار وآراء - الهندسة والتجربة ألبرت أنشتاين، الطبعة الأولى، ترجمة رمسيس شحاته، 1986م إضاءة تقوم الهندسة الإقليدية على ثلاثة مبادئ التعريفات، وهي قضايا تشرح معنى الحدود الأولية، ولا يقال لها صادقة أو كاذبة. والبدهيات التي تتسم بكونها قضايا واضحة بذاتها، ولا تحتاج إلى برهان. وأخيرًا المصادرات، وهي قضايا يطلب منا التسليم بها دون برهان مع الوعد بأن الرياضي سيشيد عليها بنيانًا رياضيا متماسكًا. 193 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 إضاءة و كان البرهان الرياضي في التأويل التقليدي قطعيًّا وضروريًا. وكان يقول: بما أن هذه المبادئ صادقة على الإطلاق، فالقضية المحددة التي أستنتجها منها هي إذن صادقة أيضًا. وكان " أرسطو " يُسميه قياس الضروري. أما الآن، فالبرهان الرياضي لا يقول سوى هذا إذا افترضنا، اعتباطيًّا ( أي عشوائيا وبدون سبب) ، مجموعةً من المبادئ، فهذه هي النتائج التي تنجم عنها ، من الناحية الصورية. فلم تعد الضرورة تكمن إلا في العلاقة المنطقية التي تجمع القضايا، وانسحبت من القضايا نفسها. المصدر: منظومة الأوليات، الطبعة الأولى، روبار بلانشاي، ترجمة محمود بن جماعة ، 2004م " إن الأوليات.. مجرّد اتفاقات، وإن اختيارنا لاتفاق معين من بين المواضعات الممكنة يهتدي بوقائع تجريبية، ولكنه يظل اختيارًا حرا لا تحدّه ضرورة إلا ضرورة تجنّب الوقوع في التناقض المصدر: العلم والفريضة، هنري بوانكاري، ترجمة حمادي بن جاء بالله، 2002م مثال من الهندسة الإقليدية إلى الهندسات غير الإقليدية عدد المتوازيات التي يمكن رسمها من نقطة خارج مستقيم أنواع الهندسات إقليدس لوباتشفسكي ریمان متواز واحد إلى ما لا نهاية له من المتوازيات لا شيء من المتوازيات h m sds b uuc A = atc a+2c a+c 134 [ or graz M-PD Trans i •h=mh DAB 2 pb1 = ds E₁ AN V 1 42 p² 0 c² 1 211 a² b² c² 0 1 2 5/215 B V=Agh - √ 412-521 b. 8 = 90° 9 9,b,cEG A x= aco d 3 y = a sin S artb A S +t الا y" 7 = Vaba v=bq lim PN-O 7 = = p² x" you V=ba P 93(15+715) 1=92 V=AGh M-pl 9_2115+215 a 26)..... ... ...... r2 300 Sc Sa १ Wb 6 $5 C ん D "U = 14 [AG +AD +√ AGA ° V = {} 4 Aa [1 + ab + (ab) ² 2+P+8=360° = aG I AM A = 2rz sina sinashr bc 2=20+10 Sa = 1/12(6²+c²)-all a=2/248-422 = : Zha acab 2hb zuc 5=M+2AG V=1Q b V= (a+b+c) Q --n 3 D=2R ST 0,008711 360° 1 abc 4A a F C = 2ūrf x0,017ry tany= V=Q³ 360' =√92+543 = r( - cos ) 4 sina : A Cosα = b fand = 1 25=4 y= Y₁+42 P 0c b= p²-q² Y₁ = A₁ sin(x+4₁) 42 = A₂ sin (++12) 42 Y₁ Ansin+Az sinyz DA₁ consen + A₂ c03 42 S >x SM SM=44 -1 tak =335524 =픔이라 12 A= tirs - A₁ =π1 1/2 (1±1+5) C 2 S= a+b+c+d 1 2 α+5=1800 4 = 6a² = 2 tant s-labcd d = a√3 = {(a+b+c+d) S=(-a) (5-6)(s-c)(s-d)² 14-YAL TIR a S Cord d=25 S = 25000 (1221) As-74) sind = \([er-a(r-w)] S₁ = 1½ (110 - sinp) = { [er-a (r-h)] α 90° Cos(PA +1). 2 TIR C-180° Pi ds M e B a PP+24+44) A 28- Roy Rcosyda r 4 PK 1 + 5 = 1800 (ac +bd) (bc+ad ab+cd 1 = √(ac+bd) (ab + cd) bctad ac+bd=ef X1 X2 An 4 ex Dz +e-x D Sinux =BC taur = AD x = lu (15C + 15 C² + 1") 194

أفهم وأحلل (2) انطلاقا من (أقرأ (2): .1 أكشف عن أسس تفسير الرياضيات القديمة لمصادرة التوازي 2. أكشف عن أسس تفسير الرياضيات الحديثة لمصادرة التوازي 3. انطلاقًا من النص أوضّح مع مجموعتي الفروق بين التفسير القديم والتفسير الحديث لمسألة التوازي. الهندسة الإقليدية الأسس المصادر الهندسات غير الإقليدية المنهج 4. بالاستناد إلى ما تقدّم، أُبرز مع مجموعتي تبعات التغيرات التي حدثت مع ظهور الهندسات غير الإقليدية. الهندسة الإقليدية مفهوم الحقيقة الرياضية معيار الحقيقة الرياضية الهندسات غير الإقليدية 195 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

Lili أقرأ (3) إنّ الأمل في اكتشاف قواعد ثابتة للتفكير العقلي تتحكّم في أشكاله (صوره) بقطع النظر عن محتواه، سينحصر في ما يُسمّى اليوم بناء منظومة أو نسق من الأوّليّات. ففي مستوى الحساب، يُعدّ العقل آليات إجرائية. أما في مستوى تحليل اللغة، فهو يوجّه استعمالها ويحدّد أهميّتها. وأما في مستوى منظومة الأوليّات، فإنّه يسعى إلى الإعلان عن عدد قليل من الشروط الكافية والضرورية - إن أمكن، نستطيع انطلاقًا منها وبواسطة قاعدة برهانية دقيقة وآلية، استنتاج كلّ الصور الصالحة لتسلسلات منطقية صارمة. [...] وبوجه عام، يُطلق اسم الأوليات على هذه القضايا المتخذة نقطة انطلاق، والمقبولة دون برهان فهي بمنزلة النقاط الثابتة لكل استدلال ، وتكفي للبرهنة على كل صور الاستدلالات المنتجة. ولا يمكن أن نستخلص منها أي علم حقيقي بموضوعات التجربة، بل تضمن فحسب تماسك العمليات منطقيًا. 196 المصدر: العقل، الطبعة الأولى، جيل غاستون جرانجي، 2004م إضاءة مثال لتوضيح منظومة الأوليات لعبة الشطرنج مكونة من رقعة رُسمت فيها مربعات ، ومن قطع توضع على تلك المربعات بصورة معلومة، وتجري عليها جملة من عمليات التحويل حسب قواعد مضبوطة، هي قواعد اللعبة أو قوانين التركيب وواضح أن كل عملية تحويل نجريها على قطع اللعبة تنتج عنها شبكة من العلاقات تربط بين تلك القطع. ومن هذه العلاقات تستمد قطع الشطرنج أثناء اللعب أهميتها . اللاعب إذن لا تهمه القطع في ذاتها بل شبكة العلاقات القائمة بينها، وذلك إلى درجة أنه لا يرى القطع بل العلاقات فقط؛ علاقات منظمة متشابكة يحكمها قانون تركيب معين. وتلك المنظومة من العلاقات هي ما تشكل البنية المصدر: تطور الفكر الرياضي والعقلانية المعاصرة، الطبعة الثانية محمد عابد الجابري، 1982م (بتصرف) النهائية. أفهم وأحلل (3) انطلاقًا من (أقرأ (3) : 1. أستخلص مفهوم منظومة الأوليات: 2 أبرز الأساس المنطقي لمنظومة الأوليات: .3 أبيِّنُ قيمة منظومة الأوليّات في مستوى الحساب. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

أتدرب .1 أحرِّرُ فقرة قصيرة أوضّحُ فيها أوجه العلاقة بين المنطق والمنهج الرياضي. .2 أستنتج بعض فوائد منظومة الأوليات. .3 مستعينا بشبكة الإنترنت، أبحث عن الفرق بين المصادرات والبدهيات ودور المصادرة في بناء النظرية. أتذكر أن المفكر الناقد يطرح عددًا من الأسئلة للتأكد من موثوقية مصادر المعلومات: ما نوع مصدر المعلومات (فرد ، مؤسسة حكومية أو أهلية منظمة دولية؟ ما الخلفية العلمية والثقافية لمصدر المعلومات (متخصص، غير متخصص؟ ما هدف مصدر المعلومات؟ (تعليمي، تجاري، ثقافي، سياسي) هل معلومات المصدر متسقة أو متناقضة؟ وماذا عن الآراء الأخرى ذات العلاقة بالمسألة التي يطرحها المصدر ؟ هل تتفق معه أو تناقضه؟ إضاءة || منهج منظومة الأوليات، هو فن عرض النظريات بصورة تجعل من السهل تصوّر صياغتها بطريقة رمزية من المعالم الأصيلة للرياضيات المعاصرة. || وهو المصدر: بنية الرياضيات تيارات الفكر الرياضي الكبرى، نيكولاس بورباكي، ترجمة محمد عابد الجابري، 1976م 197 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446