حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

الدرس الرقم فيما سبق درست التمثيل البياني للمعادلات الخطية. والان أتعرف عدد حلول نظام مكون من معادلتين خطيتين. . أحل نظامًا مكونا من معادلتين خطيتين بيانيا. المفردات نظام من معادلتين النظام المتسق النظام المستقل النظام غير المستقل النظام غير المتسق حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا لماذا؟ www.ien.edu.sa بلغت تكاليف إعداد مادة أقراص مدمجة علمية ۱۵۰۰ ريال، وكان تسجيل القرص الواحد يكلف ٤ ريالات ويباع بـ ١٠ ريالات، ويرغب مدير الإنتاج في معرفة عدد الأقراص المدمجة التي عليه بيعها حتى يحقق ربحًا. ۱۰ إن التمثيل البياني لنظام المعادلات يساعد على معرفة الوضع الذي يحقق ربحًا، ويمكن التعبير عن تكاليف الإنتاج الكلية بالمعادلة ص = ٤ س + ١٥٠٠؛ حيث ص تمثل تكلفة الإنتاج، س عدد الأقراص المدمجة المنتجة. يمكن تمثيل القيمة الكلية للمبيعات بالمعادلة ص = ١٠س، حيث تكلفة الإنتاج وقيمة المبيعات تمثل ص القيمة الكلية للمبيعات، س عدد الأقراص المدمجة المبيعة. يمكننا تمثيل هاتين المعادلتين بيانيًا من معرفة متى يبدأ تحقيق الربح. وذلك بتحديد النقطة التي يتقاطع فيها المستقيمان، وهو ما يحدث عند بيع ٢٥٠ قرصا مدمجا؛ أي أن تحقيق الربح يبدأ عند بـ أكثر من ٢٥٠ قرصا مدمجا . س + ۱۵۰۰ ۳۵۰ ٢٥٠ 10. عدد الأقراص المدمجة ٥٠ ٣٠٠٠ ٢٥٠٠ ~ ٢٠٠٠ م ۱۰۰۰ ۵۰۰ عدد الحلول الممكنة: تشكل المعادلتان ص = ٤س + ١٥٠٠ ، ص = ١٠ س نظامًا من معادلتين، ويُسمى الزوج المرتب الذي يمثل حلا لكلتا المعادلتين حلا للنظام. . • إذا كان للنظام حل واحد على الأقل مستقيما واحدا. ا يسمى نظامًا متسقا، وتتقاطع تمثيلاته البيانية في نقطة واحدة، أو تشكل إذا كان للنظام حل واحد فقط، يسمى نظامًا مستقلا، وإذا كان له عدد لا نهائي من الحلول يسمى نظاما غير مستقل ؛ وهذا يعني وجود عدد غير محدود من الحلول تحقق كلتا المعادلتين. . إذا لم يكن للنظام أي حل يسمى نظامًا غير متسق، وتشكل تمثيلاته البيانية مستقيمات متوازية. ۱۲ مفهوم أساسي أضف إلى الحلول الممكنة عدد الحلول المصطلح واحد فقط عدد لا نهائي لا يوجد حل متسق ومستقل متسق وغير مستقل غير متسق التمثيل البياني الفصل ٥ : أنظمة المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة عدد الحلول عندما تكتب كل من المعادلتين على الصيغة ص = م س +ب، فإن قيم م ب تحدد عدد الحلول. المقارنة بين قيم م، ب عدد الحلول مثال ۱ عدد الحلول استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد ما إذا كان النظام الآتي متسقا أم غير متسق، ومستقلا أم غير مستقل. (i = - ۲ س + ۳ ص = س - ٥ بما أن المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين يتقاطعان في نقطة واحدة، فهناك حل واحد للنظام، ويكون النظام متسقا ومستقلا. ب) ص = - ٢ س - ٥ ص = -۲ س + ۳ بما أن المستقيمين اللذين يمثلان المعادلتين متوازيان فلا يوجد حل للنظام، ويكون النظام غير متسق. قیمتام مختلفتان قیمتام متساويتان لا يوجد وقيمتاب مختلفتان. قیمتام متساويتان، لانهائي وقيمتاب متساويتان. تحقق من فهمك ۱۱) ص = ۲ س ۳ ص = - ۲ س +۳ الحل بالتمثيل البياني من الطرائق المستعملة في حل نظام من معادلتين تمثيلهما بيانيا في المستوى البياني نفسه، وإيجاد النقطة التي يتقاطع عندها المستقيمان التي تمثل حل النظام. مثال ۲ الحل بالتمثيل البياني مثل كل نظام مما يأتي بيانيًا، وأوجد عدد حلوله، وإذا كان واحدا فاكتبه: ص = - ۳س + ۱۰ يظهر من التمثيل البياني أن المستقيمين يتقاطعان في النقطة (۳) ، (۱) ، ويمكن التحقق من ذلك بالتعويض عن س بـ ٣، وعن ص بـ ١ . تحقق ص = - ۳س + ۱۰ المعادلة الأصلية ۱۰ + (۳) ۳-۱۱ 1.+91₤1 عوض اضرب ✓ 1 = 1 ص = س - ۲ المعادلة الأصلية عوض مراجعة المفردات المستقيمات المتوازية لا تتقاطع أبدا، ولها الميل نفسه. ✓ 1 = 1 إذن للنظام حل واحد، هو (۳، ۱). ب) ۲ س - ص = -۱ ٤ س - ٢ ص = ٦ اضرب بما أن للمعادلتين الميل نفسه، ومقطعاهما الصاديان مختلفان، فالمستقيمان الممثلان للمعادلتين متوازيان، وبما أنهما لا يتقاطعان في أي نقطة فلا يوجد حل لهذا النظام. الدرس 5-1 حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا Ministry o 2024-1446

الربط مع الحياة تعد التمور غذاء صحيا مركزا وطبيعياً ، ومنجما للفيتامينات؛ لكثرة ما بها من عناصر معدنية وفيتامينات. ١٤ تحقق من فهمك مثل كل نظام مما يأتي بيانيًا، وأوجد عدد حلوله، وإذا كان واحدًا فاكتبه: ١٢) س - ص = ٢ ۳ ص + ۲ س = ۹ ۲ ب ص = - ۲ س ٦ س + ٣ ص = - ۹ يمكننا استعمال أنظمة المعادلات لحل مسائل متنوعة من واقع الحياة تتضمن متغيرين أو أكثر. مثال ٣ من واقع الحياة كتابة نظام من معادلتين وحله تمور يزداد إنتاج مزرعتي نخيل من التمور بانتظام تقريبًا عبر عدد من السنين. استعمل المعلومات الواردة في الجدول أدناه للتنبؤ بالسنة التي يصبح فيها إنتاج المزرعتين متساويًا على اعتبار أن معدل الزيادة يبقى ثابتًا خلال السنوات القادمة في كلتا المزرعتين. كمية الإنتاج عام ١٤٢٩هـ معدل الزيادة السنوية المزرعة (طن) (طن) الأولى الثانية ٤١٨ ۳ التعبير اللفظي كمية الإنتاج الكلية تساوي معدل الزيادة ضرب عدد السنوات بعد ١٤٢٩هـ زائد كمية الإنتاج عام ١٤٢٩هـ المتغيرات لتكن ص = كمية الإنتاج الكلية ' س = عدد السنوات بعد ١٤٢٩هـ . المزرعة الأولى ص ۳۰۹ المعادلات المزرعة الثانية ص = ٤١٨ بتمثيل الدالتين: ص = ۸س + ۳۰۹، ص = ۳ س + ٤١٨ بيانياً نجد أن المستقيمين يتقاطعان في النقطة (٢٢ ، ٤٨٥) تقريباً. تحقق ص = ۸س + ۳۰۹ استعمل التعويض للتحقق من صحة الإجابة. ص = ٣سر ص = ٣س + ٤١٨ ٤٨ ٧٦١١٤١٨٠ ٤٤ ۳۰۹ + (۲۲)٤٨٥ ٨٤ ٤٨٥ - ٧٤٨٥ ٣٤٤٨٥)٢٢( + ٤١٨ ٧٤٨٤٤٨٥ ۳۶۰ ۳۲ ۲۸ ٢٤۰ ٢٠ ٦٨ ٢٤ ۱۰ ۱۳ ۱۰ ۱۹ ۱۸ ۲۰ ۲۲ إذن سيكون إنتاج المزرعتين متساويًا بعد ٢٢ سنة من عام ١٤٢٩هـ؛ أي في عام ١٤٥١هـ ، إذا بقي معدل الزيادة ثابتًا في كلتا المزرعتين. تحقق من فهمك ) ساعات يرغب كل من محمود ورائد في شراء ساعة يدوية، فإذا كان مع محمود ١٤ ريالًا، ويوفر ١٠ ريالات في الأسبوع، ومع رائد ٢٦ ريالا ويوفر ٧ ريالات في الأسبوع، فبعد كم أسبوعًا يصبح معهما المبلغ نفسه؟ الفصل ٥ : أنظمة المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد مثال ۱ استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد ما إذا كان كلّ من أنظمة المعادلات الآتية متسقا أم غير متسق، ومستقلا أم غير مستقل: ۱ ص = -۳ س + ۱ ص = ۳س + ۱ ۳ ص = ص = س ۳+ ۲ ص = ۳س + ۱ ص = س - ۳ ٤ ص = س + ٣ س - ص = -۳ مثال ۲ مثل كلًّا من أنظمة المعادلات الآتية بيانيًا، وأوجد عدد حلوله، وإن كان واحدا فاكتبه: (0 ص = س + ٤ ص = -س - ٤ ٦) ص = س + ٣ ص = ٢ س + ٤ مثال ۳ قراءة: يقرأ كل من صالح وعبدالله قصة طويلة كما في الشكل المقابل. (أ) اكتب معادلة تعبر عن عدد الصفحات التي يقرؤها كل منهما. ب) مثل كل معادلة بيانيا. جـ) بعد كم يوم يصبح ما قرأه صالح أكثر مما قرأه عبدالله؟ تحقق من إجابتك وفسرها. صالح عبد الله قرأ ٣٥ صفحة قرأ ٨٥ صفحة ويقرأ ٢٠ ويقرأ ١٠ صفحة يوميا. صفحات يوميا تدرب وحل المسائل مثال ۱ استعمل التمثيل البياني المجاور لتحدد ما إذا كان كل نظام فيما يأتي متسقا أم غير متسق، ومستقلا أم غير مستقل: ص = -٣ س + ٤ ۹) ص = - ٣س - ٤ ص = - ٣س - ٤ ص = ٣ س - ٤ ۱۰) ۳ س - ص = -٤ ۱۱) ٣س - ص = ٤ ص = -٣س + ٤ س + ص = ٤ 7 A مثال ۲ مثل كل نظام فيما يأتي بيانيًا، وأوجد عدد حلوله. وإن كان واحدًا فاكتبه: ۱۲) ص = ٤ س + ٢ ص = - ۲ س - ۳ ۱۳) ص = س - ٦ ص = س + ۲ ١٤) س + ص = ٤ س + ۳ ص = ۱۲ 15) س - ص = -۲ ١٦) س + ٢ ص = ٣ (۱۷) ۲ س + ص = -٤ س + ص = ۲ س = 5 +۲+ ص - - ٣ س - ٤ A-1 ص - ٣س + ٤ وزارة التعليم الدرس ١٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا Ministry oo 2024-1446

الربط مع الحياة مثال ۳ (۱۸) هوايات يتنافس خالد وسعود في جمع الطوابع التذكارية، فإذا كان لدى خالد ٣٠ طابعًا، ويضيف إليها أسبوعيا ٤٠ طابعًا، ولدى سعود ٥٠ طابعًا، ويضيف إليها ٣٠ طابعا كل أسبوع. تتيح للمصورين فرصة مشاهدة الصورة (أ) فاكتب معادلة تعبر عن عدد الطوابع التي جمعها كل منهما. ب) مثل كل معادلة بيانيا. جـ) بعد كم أسبوع يصبح لدى كل منهما العدد نفسه من الطوابع؟ مثل كل نظام فيما يأتي بيانيًا، وأوجد عدد حلوله، وإن كان واحدًا فاكتبه: ۱۹) ص = - س ص = س + ۲ ۲۱) ٣ س + ٤ ص = ٢٤ ٤ س - ص = ٧ ٢٣ ٤ س - ٦ ص = ١٢ ۲ س + ٣ ص = - ٦ ٢٥ ٣س + ۲ ص = ۱۰ ۲ س + ٣ ص = 1+ = ۲۰ ص = ۲ س - ۱۷ ص = س - ۱۰ ۲۲) ۲ س - ٨ ص = ٦ س - ٤ ص = 3 (٢٤) ۲ س + ٣ ص = ۱۰ ٤ س + ٦ ص = ١٢ (٢٦) س + + ص = } س + + ص = + (۲۷) تصوير افترض أن ص تمثل عدد آلات التصوير التي باعها متجر بالمئات)، س تمثل عدد السنوات منذ عام ١٤٢٠هـ . إذا كانت المعادلة ص = ۱٢,٥ س, تعبر عن عدد آلات التصوير الرقمية المبيعة في كل عام منذ عام ١٤٢٠هـ ، والمعادلة ص س + تعبر عن عدد آلات التصوير العادية المبيعة. آلات التصوير الرقمية أ) فمثل كل معادلة بيانيا. وإمكانية معالجتها وتعديلها ب ما العام الذي تتجاوز فيه مبيعات آلات التصوير الرقمية مبيعات آلات التصوير العادية ؟ ونقلها إلى الحاسوب وطباعتها. جـ) في أي عام ستتوقف مبيعات آلات التصوير العادية؟ مثل كلا من أنظمة المعادلات الآتية بيانيا، وأوجد عدد حلوله، وإذا كان واحدًا فاكتبه: ١٦ (۲۸) ۲ ص = ۱۲ س - ۱۰ ٤ ص = ٢,٤س ٢٩) س = ٦ - ص { = ليس ، لإ ص ۳۰) تمثيلات متعددة سوف تكتشف في هذه المسألة طرائق متنوعة لإيجاد نقطة تقاطع تمثيلي معادلتين خطيتين. أ) جبريًا حُلَّ المعادلة - س + ٣ = - س + ١٢ جبريًا. ب) تقنية : حل نظام المعادلتين : ص= - س+۳، ص=-س +١٢ بيانيا، وتحقق من صحة الحل باستخدام أحد البرامج الحاسوبية. جـ) تحليليا ما علاقة المعادلة في الفرع (أ) والنظام في الفرع (ب)؟ د) لفظيا : وضّح كيف تستعمل التمثيل البياني في الفرع (ب) لحل المعادلة في الفرع (أ). وزارة التعليم الفصل 5 : أنظمة المعادلات الخطية Ministry of Education 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا ۳۱) تحد: استعمل التمثيل البياني لحل النظام ۲ س + ٣ ص = ٥ ، ٣س +٤ ص= ٦، ٤س +٥ص= ٧. ۳۲) تبرير بين هل النظام الذي يتكون من معادلتين وتشكل كل من النقطتين ،(٠ ، ٠ ) ، (۲)، (۲) حلا له، تكون له حلول أخرى أحيانًا أم دائما أم ليس له أي حلول أخرى. ٣٣) أي من أنظمة المعادلات الآتية يختلف عن الأنظمة الثلاثة الأخرى؟ فسّر إجابتك: س - ۲ ص = ۱ ۲ س + ۳ ص = ۱۸ ٤ س + ٢ ص = ١٤ ۱۲ س + ٦ ص = ١٨ کس + + ٤ ص = ٨ ٣ س - ٦ ص = ٦ ٤ س - ص = ٥ -۲ س + ص = -۱ متسق متسق و مستقل، متسق ٣٤) مسألة مفتوحة اكتب ثلاث معادلات تشكل مع المعادلة ص = ٥س - ٣- أحد أنظمة المعادلات الآتيـ وغير مستقل على الترتيب. ٣٥) اکتب: صف مزایا و مساوئ استعمال التمثيل البياني لحل أنظمة المعادلات الخطية. تدريب على اختبار ٣٦) إجابة قصيرة يمكن لأحد أنواع البكتيريا مضاعفة عدده (۳۷) هندسة: قُصت قطعة من السلك طولها ٨٤ سنتمترا کل ۲۰ دقيقة. فإذا كان عدد البكتيريا في الساعة ٩:٠٠ إلى قطع متساوية، ثم ألصقت من نهاياتها لتشكل أحرف صباحًا ٤٥٠٠ ، فكم يصبح عند الساعة ١٢:٠٠ ظهرًا؟ مكعب. فما حجم ه هذا المكعب ؟ مراجعة تراكمية أ ٢٩٤ . جـ) ١١٥٨ ب) ٣٤٣ سم . د) ٢٧٤٤ . (۳۸) اختبار: يبين الجدول المجاور درجات هيثم في ٣ اختبارات للرياضيات، وبقي له اختبار رابع، وهو بحاجة إلى معدل لا يقل عن ۹۲ حتى يحصل على التقدير أ. (مهارة سابقة) أ) إذا كان م يمثل درجته في الاختبار الرابع فاكتب المتباينة الممثلة لهذا الموقف. ب) إذا أراد هيثم ا جـ) هل إجابتك معقولة؟ فسّر ذلك. الحصول على التقدير أ في الرياضيات، فكم يجب أن تكون درجته في الاختبار الرابع؟ ٣٩) اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطة (۳، ۱)، والمعامد للمستقيم ص = + س + استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : حل كل معادلة فيما يأتي باستعمال مجموعة التعويض المعطاة: {V.7.0 ..} : 170 = (7+0) 10 (ε. .{۸۱ ،۸۰ ،۷۹ ،۷۸} : - = =17(21 إذا كانت أ = ۲ ، ب = -۳ ، جـ = ۱۱ ، فاحسب قيمة كل عبارة فيما يأتي: ٤٢ ) أ + ب ٤٣ ٧ - أب .۲ + الاختبار الدرجة ۹۱ 1 90 Y ۸۸ (مهارة سابقة ) ٤٤) ( جـ + ٣ أ ) : ٤ وزارة التعليم الدرس ١٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا Ministry oY 2024-1446