أس ب س ج - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

٧-٤ فيما سبق درست تحليل ثلاثية حدود على الصورة س والان المعادلات التربيعية : أ س + ب س + - اللماذا ؟ يمكن تمثيل مسار الأرجوحة في مدينة الألعاب بالعبارة ه ن ۲ - ۲ ن + ٣٠ ؛ حيث (ن) زمن الحركة وتحليل هذه العبارة إلى عواملها يساعد المسؤول عن التشغيل على معرفة الوقت الذي تستغرقه أرجحتها في المرة الأولى. تحليل أ س ٢ + ب س + جـ : حللت في الدرس السابق عبارات تربيعية على الصورة: أ س ٢ + ب س + جـ ، أ = ١ . . أحلل ثلاثية حدود على الصورة: أس + ب س + جـ . . أحل معادلات على الصورة: أس + ب س + جـ = • ستطبق في هذا الدرس طرق تحليل عبارات تربيعية فيها أ ١ . في الشكل المجاور بعدا المستطيل المكوّن من بطاقات الجبر هما ( س + ۱ ) ، ( ۲ س + ٣ ) ، وهما عاملا ۲ س ۲ + ٥ س ۳ يمكنك استعمال طريقة التحليل بتجميع الحدود لتحليل هذه رابط الدرس الرقمي 回回 www.ien.edu.sa المفردات العبارة. الخطوة ١ طبق القاعدة: كثيرة الحدود الأولية ۲ س ۲ + ٥ س + ٣ = ۲ س ۲ + م س + ن س + ٣. الخطوة ٢ : أوجد عددين ناتج ضربهما ٢ × ٣ = ٦ ومجموعهما ٥ . عوامل العدد ٦ مجموع العاملين 761 ۳۲ V ° یں الخطوة 3 : استعمل التجميع لإيجاد العوامل. ۲ س٢ + ۵ س + ٣ = ۲ س۲ + م س + ن س + ٣ = ۲ س ۲ + ۲ س + ۳س + ۳ = (۲ س ۲ + ۲ س) + (۳س +۳) = ۲س (س) + ) + ( + ۱) (۲ س + (۳) (س) + (۱) إذن: ٢ س + ۵ س + = ۲ س + (۳)(س + (۱). مفهوم أساسي تحليل أ س " + ب س + جـ اكتب القاعدة م = ۲ ، ن = ۳ جمع الحدود ذات العوامل المشتركة حلل كل تجمع بإخراج (ق. م. أ) (س+۱) عامل مشترك أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي لتحليل ثلاثية حدود على الصورة أس ۲ + ب س + جـ ، أوجد عددين صحيحين م ، ن مجموعهما يساوي ،ب، وناتج ضربهما أجـ، ثم اكتب أ س ٢ + ب س + جـ على الصورة أ س ٢ + م س + ن س + جـ ، ثم حلل بتجميع الحدود. مثال: ٥ س٢ - ١٣ س + ٦ = ٥ س٢ - ١٠ س – ٣س + ٦ م = - ۱۰ ، ن = -3 = ٥ س س - ) + (۳) س - ۲ (٥) س - (٣) (س - ۲) الدرس - المعادلات التربيعية أن وزارت الت ليم 2024-1446

إرشادات للدراسة القاسم المشترك الأكبر ابحث عن القاسم المشترك الأكبر لحدود كثيرة الحدود قبل تحليلها. مثال ۱ تحليل أس" حلل كل ثلاثية حدود فيما يأتي: i) ٧س + ٢٩ س + ٤ في ثلاثية الحدود أعلاه، أ = ۷ ، ب = ٢٩ ، جـ = ٤ . أوجد عددين ناتج ضربهما ٧ × ٤ = ٢٨، ومجموعهما .۲۹. كوّن قائمة بأزواج من عوامل العدد ۲۸ ، وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما ۲۹ عوامل العدد ٢٨ مجموع العوامل ۲۸ ،۱ ۲۹ س ٢ + ٢٩س + ٤ = ٧س ٢ + م س + ن س + ٤ = ۷س + ١ س + ٢٨ س + ٤ العوامل الصحيحة ١ ، ٢٨ استخدم القاعدة. م = ۱ ، ن = ۲۸ = (۷س + ١ س) + (٢٨س +٤) جمع الحدود ذات العوامل المشتركة ۱۲۲ (1+V) + (1+jJwV) jw= = (س + ٧٤س + ١) ب) ٣س + ١٥ س + ١٨ حلل بإخراج ( ق. م. أ) (۷س+۱) عامل مشترك ( ق . م . أ ) للحدود ۳ س ٢ ، ١٥س، ١٨ ، هو ٣. حلّل بإخراج العامل ٣. س ٢ + ١٥س + ١٨ = ٣(س٢ + ٥ س + ٦) (س + ۳)(س + ۲) خاصية التوزيع أوجد عاملين للعدد ٦ مجموعهما ٥ تحقق من فهمك ٢ + ١٣ س + ٦ اب) ٦ س ٢ + ٢٢ س - ٨ مثال ۲ تحليل أ س - ب س + جـ حلل كثيرة الحدود ۳ س - ۱۷س + ۲۰. في ثلاثية الحدود أعلاه أ = ۳، ب = - ۱۷ ، جـ = ۲۰ . وبما أن ب سالبة، فإن م + ن ستكون سالبة أيضًا، وبما أن جـ موجبة، فإن م ن ستكون موجبة. لتحديد م، ن كوّن قائمة بالعوامل السالبة لـ أجـ = ٦٠ وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما -١٧ عوامل العدد ٦٠ مجموع العاملين ۳۲ ۳۰ ،۲- ۲۳ ۲۰ ،۳ ۱۹ 10-12- ۱۷ 10111 العاملان الصحيحان هما -٥ - ١٢ س ۲ - ۱۷س + ۲۰ = ۳س ۲ ۲ - ۱۲ س - ٥س + ۲۰ م = - ۱۲ ، ن = - = (۳س ۲ - ۱۲ س) + (٥س + ۲۰) جمع الحدود ذات العوامل المشتركة = ٣س (س - (٤) + (٥) (س - (٤) حلل كل تجمع بإخراج (ق. م. أ) (٣س - ٥) (س - ٤) تحقق من فهمك ۱۲) ۲ن ۲ - ن - ۱ الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية خاصية التوزيع ب) ١٠ ص ٢ - ٣٥ص + ٣٠ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة الفهد هو أسرع حيوان في العالم؛ حيث تبلغ سرعته تُسمى كثيرة الحدود التي لا يمكن كتابتها على صورة ناتج ضرب كثيرتي حدود بمعاملات صحيحة كثيرة حدود أولية. مثال ٣ تحديد كثيرة الحدود الأولية حلل العبارة : ٤ س ٢-٣س + ٥ إن أمكن باستعمال الأعداد الصحيحة، وإن لم يكن ذلك ممكنا فاكتب "أولية". في ثلاثية الحدود السابقة أ = ٤ ، ب = ٣، ج = ٥ وبما أن ب سالبة، فإن م + ن سالبة. وبما أن جـ موجبة فإن من موجبة، لذا يكون كلّ من م وَن سالبا . كوّن قائمة بأزواج عوامل العدد ٢٠ . وابحث عن العاملين اللذين مجموعهما - ۳. عوامل العدد ٢٠ ۱ ،۲۰- 19110 ۱۰ ،۲- مجموع العاملين ۲۱- 9- ۱۲- لا يوجد عاملان مجموعهما - ٣. لذا لا يمكن تحليل العبارة التربيعية باستعمال الأعداد الصحيحة. لذا فالعبارة التربيعية ٤ س ٢ - ٣ س + ٥ أولية. تحقق من فهمك ١٣ ٢,٤ - ر + ٧ ب) ۲ س ٢ + ٣س - ٥ حل معادلات بالتحليل تمثل المعادلة ل = - ٥ ن ۲ + ع ن + ل . ارتفاع جسم مقذوف لأعلى، حيث تمثل (ل) الارتفاع بالمتر، و (ن ) الزمن بالثواني، و (ع) السرعة الابتدائية م / ثانية، و(ل) الارتفاع الابتدائي ۱۱۲ كلم / ساعة، ويمكن أن بالمتر. ويمكن حل هذه المعادلة بعد كتابتها على الصورة أس٢ بالتحليل واستعمال تصل سرعته من صفر إلى خاصية الضرب الصفري ٦٤ كلم / ساعة في ٣ خطوات واسعة خلال ثوان فقط. ، س مثال ٤ من واقع الحياة حل المعادلات بالتحليل إلى العوامل حياة برية : افترض أن فهدًا يقفز نحو فريسته بسرعة ابتدائية رأسية مقدارها ١١ مترا/ ثانية. فكم يبقى الفهد في الهواء قبل وصوله إلى فريسته التي ترتفع عن الأرض ٢ متر ؟ ل = ٥ ن٢ + ع ن + ل. معادلة الارتفاع عوض ل = ۲ ، ع = ۱۱ ، ل = ٠ تنبيه ! إشارة السالب حافظ على (العدد - ۱) معامل ن" ، الذي تم إخراجه خلال التحليل، أو اضرب كلا الطرفين في ١ بدلا من ذلك. ۲= -۲۵ + ۱۱ ن + ۰ = - هن۲ + ۱۱ن - ۲ . = ۲۰۵ - ۱۱ن + ۲ . = ه ن - ۱) (ن - ۲) ه ن -۱ = ٠ أو ن = ۲ ه ن = ۱ ن = اطرح ٢ من كلا الطرفين اضرب كلا الطرفين في -١ حلل خاصية الضرب الصفري حل كل معادلة الإجابتان و ۲ ثانية يحتاج الفهد إلى - ثانية للوصول إلى ارتفاع ۲م في أثناء صعوده، وإلى ثانيتين في الهواء للوصول إلى الفريسة. تحقق من فهمك ٤) فيزياء قذف شخص كرة إلى الأعلى من سطح بناية ارتفاعها ٢٠ م. والمعادلة ع - - ٢٥ + ١٦ن+٢٠ تمثل ارتفاع الكرة (ع) بالأمتار بعد (ن) ثانية. فإذا سقطت الكرة على شرفة ارتفاعها ٤ م عن الأرض، فكم ثانية بقيت الكرة في الهواء؟ وزارة التعليم الدرس - المعادلات التربيعية أس ١١٢٣ 2024-1446

١٢٤ تأكد الأمثلة ١ - ٣ حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكنا باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ۱) ۲ س ٢ + ٢٢س + ٥٦ ۲) ٥ س ٢ - ٣س + ٤ مثال ٤ حُلَّ كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: س۲ - ۱۱ س - ۲۰ • = 9+9+ Cup ( { تدرب وحل المسائل ه س ۲ - ۱۰ س + ۸ = ۰ (٦ ٢س ۲ - ۱۷س + ۳۰ = ۰ رمي القرص: يرمي خالد القرص المعدني كما في الشكل المجاور. أ) ما الارتفاع الابتدائي للقرص؟ ب) بعد كم ثانية يصل القرص إلى الارتفاع نفسه الذي قذف منه ؟ ع - ٥٠ ن ٢٥٠ن ۲۰ الأمثلة ١ - ٣ حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكنا باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٥ س ٢ - ٣٤س + ٢٤ ٩ ا س ٢ + ۳۸س + ۷۰ ۱۰) ۲س ۲ - ۳ س - ۹ ١١ ٤ س ٢ - ١٣س + ۱۰ (۱۲) ۲ س ٢ + ٣س + ٦ ۱۳) ١٢ س ٢ + ٦٩س + ٤٥ (١٤) ٤ س ٢ - ٥س + ٧ ١٥ ٥ س ٢ + ٢٣ س + ٢٤ ١٦) ۳ س ۲ - ۸س + ١٥ مثال ٤ ١٧) صيد : أطلق صياد طلقة نارية ارتفاعها تمثله المعادلة ع = - ٥ ٢٠ + ۹ن + ٢ . بعد كم ثانية تصل الطلقة إلى الأرض؟ حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (۱۸) ۲س ۲ + ۹ س - ۱۸ = ۰ (١٩) س ٢ + ۱۷ س + ١٥ = ٠ ۲۰) -٣س ٢ + ٢٦ س = ١٦ ۲۱) ۲ س ٢ + ١٣ س = ١٥ ۲۲ - ۳س ۲ + ٥ س = -۲ ٢٣ - ٤ س ٢ + ١٩ س = - ٣٠ ٢٤) نظرية الأعداد ستة أمثال مربع العددس مضافًا إليها ١١ مِثْلا للعدد يساوي ٢ . ما القيم الممكنة لـ س ؟ حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي، وإذا لم يكن ذلك ممكنا باستعمال الأعداد الصحيحة فاكتب "أولية": ٢٥ - ٦ س ٢ - ٢٣ س - ۲۰ ٢٦ - ٤ س ٢ - ١٥ س - ١٤ ۲۷ - ۵ س ۲ + ۱۸ س + ۸ ٢٨ - ٦ س ٢ + ٣١س - ٣٥ ٢٩ - ٤ س ٢ + ٥ س - ١٢ ۳۰ - ۱۲ س ۲ + س + ۲۰ وزارة التعليم الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة هيأت أمانة منطقة الرياض ٣٦٢ مشروعًا بيئيا وترفيهيا موزّعة على مختلف أحياء مدينة الرياض على مساحة تتجاوز نصف مليار متر مربع. (۳۱) تخطيط: خططت بلدية إحدى المدن لبناء متنزّه جديد مستطيل الشكل، يمكن التعبير عن مساحته بالعبارة: ٦٦٠ س ٢ + ٥٢٤س + ٨٥. حلّل هذه العبارة لإيجاد ثنائيتي حدّ بمعاملات أعداد صحيحة تمثل البعدين الممكنين للمتنزّه. وإذا كانت س = ۸ ، فما محيط المتنزه؟ ۳۲) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة. تحليل أنواع خاصة من كثيرات الحدود. أ) هندسيًا : ارسم مربعًا طول ضلعه .أ. ثم ارسم داخله مربعًا أصغر يشترك معه في أحد الرؤوس، طول ضلعه ب. ما مساحة كل من المربعين؟ ب هندسيا : قصَّ المربع الصغير . ما مساحة المنطقة الباقية؟ جـ) تحليليا ارسم خطاً قطريا بين رأس المربع الكبير ورأس المربع الصغير في الشكل المتبقي. وقص على طول هذا الخط للحصول على قطعتين متطابقتين، ثم أعد ترتيب القطعتين لتشكلا مستطيلاً. ما بعدا المستطيل الناتج ؟ د) تحليليا اكتب مساحة المستطيل على صورة ناتج ضرب ثنائيتي حد. هـ) لفظيا: أكمل العبارة أ٢ - ب ٢ ..... لماذا هذه العبارة صحيحة؟ مسائل مهارات التفكير العليا اكتشف الخطأ: حلّ كلّ من زكريا وسامي المعادلة ٦ س ۲ = ۱۲ . فأيهما إجابته صحيحة ؟ فسّر ذلك. زكريا ٦س؟ - س = ١٢ سامي ٦س؟ - س = ١٢ ٦س؟ - س - ١٢ = ٠ (sm-+) (Am+3)= س - 3 = ٠ أو ٣س + ٤ = ٠ س = ٣ أوس س = س (٦س - ١ ) = ١٢ س = ١٢ أو ٦س - 1 = ١٢ ٦س = ١٣ أو س = ١٣ ٣٤) مسألة مفتوحة اكتب معادلة تربيعية معاملات حدودها أعداد صحيحة على أن يكون: - ، ۳ حلين لها. فسّر ذلك. ٣٥) اكتب فسّر كيف تحدد القيم التي يجب اختيارها لـم وَن عند تحليل كثيرة الحدود على الصورة أس ٢ + ب س + جــ وزارة التعليم الدرس - المعادلات التربيعية 2024-1446

تدريب على اختبار ٣٦) إجابة قصيرة لدى سلمى أختان إحداهما أكبر منها (۳۷) ما مجموعة حل المعادلة س ٢ + ٢ س - ٢٤ = ٠؟ ب ٨ سنوات، والأخرى أصغر منها بسنتين، وناتج ضرب عمري أختيها ٥٦ . فكم سنة عمر سلمى؟ {7.8-}(1 جـ) { - } ب) {۳، ۸} د) {٤، -٦} مراجعة تراكمية حلل كل كثيرة حدود فيما يأتي: (الدرس ٧-٣) (۳۸) س ٢ - ٩ س + ١٤ (۳۹) س ٢ - ٥ س - ٢٤ ٤٠ ) ع٢ + ١٥ع + ٣٦ حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (الدرس ٧-٢) ٤١ ) أ أ - ٩) = ٠ ٤٢) (٢ ص + (٦) (ص - ١) = ٠ ۱۰ س ۲ - ۲۰ س = ۰ ٤٤) حلّ المتباينة المركبة ك + ۲ > ۱۲ وَ ك + ۲ ۱۸ ، ثم مثل مجموعة الحل على خط الأعداد. (مهارة سابقة) استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : أوجد ناتج كل مما يأتي: ٤٥ ١٦٧ ١٢٦ ٤٦ ٦٤٧ ٤٧( ١٢١ T..V (EA الفصل : التحليل والمعادلات التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446