زوايا المضلع - رياضيات 1-2 - أول ثانوي

5-1 زوايا المضلع Angles of Polygon www.icn.edu.sa فيما سبق لماذا؟ درست أسماء المضلعات تنتج عاملات النحل اليافعة شمعا تشكله بعناية نحلات أخريات وتصنيفها. (مهارة سابقة ) والان أجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع، وأستعمله. - أجد مجموع قياسات الزوايا الخارجية لمضلع، وأستعمله. المفردات: القطر diagonal على صورة خلايا سداسية. ومع أ أن سُمْكَ جدران الخلايا 0.1mm إلا أنها تتحمّل ثقلا يعادل 25 مثل وزنها. وتشكل جدران الخلايا الزاوية نفسها عند كل التقاء وقياس هذه الزاوية يساوي قياس الزاوية الداخلية للسداسي المنتظم. مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع : قطر المضلع هو قطعة مستقيمة تصل بين أي رأسين غير متتاليين فيه. رأسا المضلع PQRST غير التاليين للرأس : هما R,S لذا فالمضلع PQRST له قطران من الرأس : هما : PRPS لاحظ أن هذين القطرين يقسمان الشكل الخماسي إلى ثلاثة مثلثات. R S رسم جميع ا الأقطار مجموع قياسات زوايا المضلع يساوي مجموع قياسات زوايا المثلثات التي تتشكل عند رسم . الممكنة من أحد الرؤوس. مراجعة المفردات المضلع : مثلث رباعي خماسي سداسي بما أن مجموع قياسات زوايا المثلث "180 ، فإنّه يمكننا إنشاء جدول و البحث عن نمط لإيجاد مجموع قياسات زوايا أي مضلع محدب. هو شكل مغلق يتكون من ثلاث قطع مستقيمة أو أكثر، تلتقي كل قطعة بطرفي قطعتين أخريين من المضلع، ولا تقع أي قطعتين منها على استقامة واحدة وتكون رؤوس المضلع هي أطراف القطع المستقيمة فيه. المضلع عدد الأضلاع | عدد المثلثات مجموع قياسات الزوايا الداخلية مثلث رباعي خماسي سداسي ذو n من الأضلاع وهذا يقودنا إلى النظرية الآتية: نظرية 5.1 180° (1) 180° 1 3 180° (2) = 360° 2 4 180° (3) 540° 3 5 180° (4) = 720° 4 6 180° (n-2) n-2 n مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع محدب عدد أضلاعه 7 يساوي 180 - (2 - 1) = 5. B C أضف إلى طويتك مراجعة المفردات الزاوية الداخلية : مثال: هي الزاوية المحصورة بين ضلعين متجاورين في مضلع وتقع داخله. 140 الفصل 5 الأشكال الرباعية D E mZA + mZB + mLC + mLD + mLE = (5) - 2 . 180 = 540° ستبرهن نظرية 5.1 في السؤال 38 A وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة المفردات المضلع المحدب مضلع يكون قياس أي من زواياه الداخلية أقل يمكنك استعمال النظرية 5.1 لإيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع والقياسات المجهولة لزواياه. مثال 1 إيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع a أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للسباعي ا المحدب. السباعي المحدب له سبعة أضلاع استعمل النظرية 5.1 ؛ لإيجاد مجموع قياسات زواياه الداخلية. 145° 140° 128° 87° 130° D 136° 134 A من 180، ولا يقطع امتداد أي ضلع فيه أي ضلع آخر من أضلاع المضلع مضلع محدب (n-2) 180° (7-2) 180° 5 180° 900° n = 7 بالتبسيط إذن فمجموع قياسات الزوايا الداخلية للسباعي المحدب يساوي 900. ارسم سباعياً محدبًا، واستعمل المنقلة لقياس كل زاوية داخلية مقربًا إلى أقرب درجة، ثم أوجد مجموع هذه القياسات. 128 +145+140+87°+134°+136°+130° = 900° ✓ B 3.x مجموع قياسات الزوايا الداخلية بالتعويض بتجميع الحدود المتشابهة بطرح 180 من كلا الطرفين بقسمة كلا الطرفين على 4 mZA = 3x = 3(45°) = 135° إرشادات للدراسة المضلع عند ذكر كلمة مضلع في هذا الفصل فإننا نعني المضلع المحدب جبر: أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية للرباعي المجاور. الخطوة 1: أوجد قيمة (x). بما أن للشكل الرباعي 4 زوايا، فإن مجموع قیاسات زواياه الداخلية يساوي (4-2) 180° = 360° 360° = mLA + mZB + mLC + mZD 360 = 3x + 90° + 90° + X 360° 4x+180° 180" = 4x 45" = x الخطوة 2 استعمل قيمة x لإيجاد قياس كل زاوية. mZB = 90° mLC = 90° mLD = x = 45° اكتب قياسات الزوايا الداخلية للرباعي ، ثم أوجد مجموع هذه القياسات. 142° H K 2x° 2x° (3x+14) M L (3x + 14) " الدرس 1- زوايا المضلع الت141يم Ministry of Educ 2024-1446 90°, 90°, 45°, 135° 90° 90°45°+ 135° =360° ✓ تحقق من فهمك IA) أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للثماني المحدب. 18) أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية للخماسي المجاور.

تذكر أن جميع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم متطابقة. ويمكنك استعمال هذه الحقيقة ونظرية مجموع قياسات مراجعة المفردات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد قياس الزواية الداخلية لأي مضلع منتظم. المضلع المنتظم: هو مضلع محذب جميع أضلاعه متطابقة وجميع زواياه متطابقة. مثال 2 من واقع الحياة قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم مظلة في المنظر العلوي للمظلة المجاورة، تشكل الأعمدة رؤوس مضلع سداسي منتظم. أوجد قياس الزاوية التي تتشكل عند أي من أركان المظلة. افهم : المعطيات منظر علوي لمظلة سداسية منتظمة الشكل. المطلوب إيجاد قياس الزاوية التي تتشكل عند أي ركن من أركان المظلة. ارسم شكلا يمثل المنظر العلوي للمظلة. العمود 3 العمود 2 142 الفصل 5 الأشكال الرباعية العمود 1 الزاوية التي تتشكل عند أي من أركان المظلة هي زاوية داخلية لسداسي منتظم. خطط استعمل نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع لإيجاد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للسداسي. وبما أن الزوايا الداخلية للسداسي المنتظم متطابقة، فإن قياس كل زاوية داخلية يساوي ناتج قسمة المجموع على عدد الزوايا. حل أولًا: أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية. S (n-2) 180° (6-2) 180° 4 180° 720° ثانيا : أوجد قياس كل زاوية داخلية. 720° 6 = 120° صيغة مجموع قياسات الزوايا الداخلية n=6 بالتبسيط مجموع قياسات الزوايا الداخلية بالتعويض عدد الزوايا الداخلية بالقسمة إذن قياس الزاوية المتكونة عند كل ركن يساوي 120. تحقق للتحقق من أن هذا القياس صحيح، استعمل المسطرة والمنقلة الرسم سداسي منتظم قياس زاويته الداخلية 120. سيرتبط الضلع الأخير بنقطة البداية لأول قطعة مستقيمة رسمت. ) تحقق من فهمك 120° 120° 120° 120° 2) سجاد أوجد قياس الزاوية الداخلية لسجادة على شكل ثماني منتظم. (28) نوافير: تزيّن النوافير الأماكن العامة، ويقام بعضها على شكل مضلعات منتظمة. أوجد قياس الزاوية الداخلية لنافورة على شكل تساعي منتظم. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

يمكنك أيضًا استعمال نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع لإيجاد عدد أضلاع مضلع منتظم إذا علم قياس زاوية داخلية له. مثال 3 إيجاد عدد الأضلاع إذا عُلم قياس زاوية داخلية إذا كان قياس الزاوية الداخلية لمضلع منتظم يساوي 135 ، فأوجد عدد أضلاعه . افترض أن عدد أضلاع المضلع يساوي .. وبذلك يكون مجموع قياسات زواياه الداخلية 135 ؛ لأن جميع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم متطابقة. وبناءً على نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية يمكن التعبير أيضًا عن مجموع قياسات الزوايا الداخلية بالعبارة 180 . 2 - S = (n . 135°n = (n - 2 . 180° 135°n = 180°n - 360° -45°n = -360° n = 8 كتابة معادلة خاصية التوزيع بطرح 180 من كلا الطرفين بقسمة كلا الطرفين على 45 مراجعة المفردات الزاوية الخارجية الزاوية الخارجية لمضلع محدب هي إذن للمضلع 8 أضلاع. تحقق من فهمك 3) إذا كان قياس الزاوية الداخليّة لمضلع منتظم يساوي " 144، فأوجد عدد أضلاعه. مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع : هل توجد علاقة بين عدد أضلاع مضلع محدّب ومجموع زاوية محصورة بين قياسات زواياه الخارجية ؟ انظر المضلعات أدناه التي أعطي في كل منها قياس زاوية خارجية عند كل رأس. 105° 40° 105° 110° 105110105° + 40°= 360° 120° 140° 100° 65° 111° 120+100+ 140° = 360° 98° 50° 36° 65+98 +36 +50° + 111°= 360° أحد أضلاعه وامتداد ضلع آخر. x° إرشادات للدراسة قياس الزاوية الخارجية : قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم عدد أضلاعه 12 يساوي 360° n لاحظ أن مجموع قياسات الزوايا الخارجيّة بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس في كل حالة يساوي "360. وتقودنا هذه الملاحظة إلى النظرية الآتية : نظرية 5.2 أضف إلى مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع مطويتك مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع المحدب بأخذ زاوية واحدة عند كل رأس يساوي 360. 5 3 الدرس 1- زوايا المضلع الـ143يم Ministry of Educ 2024-1446 مثال: mZ1+mZ2+mZ3+ m24 + m25+mZ6 = 360° ستبرهن نظرية 5.2 في السؤال 39

(2x-5)° (3x+10)% 5x 2x (6x-5)° مثال 4 إيجاد قياسات الزوايا الخارجية للمضلع جبر أوجد قيمة x في الشكل المجاور. استعمل نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع لكتابة معادلة، ثمّ حُلّها لإيجاد قيمة x. (2x - 5° + 5x° + 2x° + (6x - 5) ° + (3x + 10° = 360 (2x + 5x + 2x + 6x + 3x)° + [-5 + (5) + 10° = 360° 18x360° x=- 360° 18 =20 إرشادات للدراسة طريقة بديلة : لإيجاد قياس زاوية خارجية لمضلع منتظم يمكنك إيجاد قياس زاوية داخلية وطرح هذا القياس من 180؛ لأن الزاوية الخارجية والزاوية الداخلية المرتبطة بها متكاملتان. ) أوجد قياس الزاوية الخارجية للتساعي المنتظم. تتطابق الأضلاع والزوايا الداخلية في التساعي المنتظم وتكون الزوايا الخارجية متطابقة لأن المكملات افترض أن قياس كل زاوية خارجية يساوي x ، ثم اكتب معادلة وحلّها. للزوايا المتطابقة تكون متطابقة أيضًا. 9x = 360° x = 40° نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع بقسمة كلا الطرفين على 9 إذن قياس كل زاوية خارجية للمضلع التساعي المنتظم يساوي 40. تحقق من فهمك 4A) أوجد قيمة x في الشكل المجاور. 4B) أوجد قياس الزاوية الخارجية لمضلع منتظم ذي 12 ضلعا . 6x° 139° 2x" 9x وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 المثال 1 أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعين المحدبين الآتيين: 1 العشاري (2) الخماسي أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين: A B (x+2)° F(x-4)° (x-8)° ~(x+7)° C (4 E (x+6) (x-3) D (3 2x 4x 3x W المثال 2 (5) عجلة دوارة : العجلة الدوّارة في الصورة المجاورة على شكل مضلع منتظم عدد أضلاعه 15 ضلعا. أوجد قياس الزاوية الداخلية له. المثال 3 إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى، فأوجد عدد الأضلاع في كل مما يأتي: 170° (7 150° (6 الفصل 5 الأشكال الرباعية 144

(x-1) 79° (x+10) (9 2x" المثال 4 أوجد قيمة تد في كلُّ من الشكلين الآتيين : 2r 52° 88° (x+2) (x+10) (8 أوجد قياس الزاوية الخارجيّة لكل من المضلعين المنتظمين الآتيين: 11) ثماني (10) رباعي تدرب وحل المسائل المثال 1 أوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية لكل من المضلعات المحدبة الآتية: 14 ذو 29 ضلعا 15 ذو 32 ضلعا I (3x-6)° x+10)° K M V (2x-8)° U(x+32)° (2x-10)° (2x-6)W (2x-20)° 13 ذو 20 ضلعا (12) ذو 12 ضلعا أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعات الآتية: (17 (2x+5)° R (2x+7) S (16) (19 (18) A E (2x+10) D 5 (2x - (20) B C (20) ما مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع في الشكل المجاور؟ المثال 2 أوجد قياس زاوية داخلية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية: (21) ذو 12 ضلعاً (22) الخماسي (23) العشاري 24) التساعي المثال 3 إذا كان قياس إحدى الزوايا الداخلية لمضلع منتظم معطى ، فأوجد عددا الأضلاع في كل مما يأتي: 60° (25 90° (26 المثال 4 أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين: 120° (27 156° (28 12x° (30 \(x + 10° (x - 1) " (x + 18) " 3.x الدرس 1- زوايا المضلع الـ 145يم Ministry of Educ 2024-1446 (x-11)° (29 (x+10)° 31° (2x-42)°

(33) السداسي 34) ذو 15 ضلعا أوجد قياس زاوية خارجية لكل من المضلعات المنتظمة الآتية: (31) العشاري (32) الخماسي (35) تصوير: تشكّل الفتحة التي ينفذ منها الضوء إلى عدسة آلة التصوير في الشكل المجاور مضلعا منتظما ذا 14 ضلعا. a) أوجد قياس الزاوية الداخلية مقربة إلى أقرب عشر. b) أوجد قياس الزاوية الخارجية مقربة إلى أقرب عشر . تاريخ الرياضيات أبو كامل شجاع بن أسلم بن محمد بن شجاع 236 - 318 هـ مهندس وعالم بالحساب أوجد قياس زاوية خارجية وزاوية داخلية للمضلع المنتظم المعطى عدد أضلاعه في كل مما يأتي، وقرب إجابتك عرف باسم «أبي كامل إلى أقرب عشر: الحاسب»، وعاش في القرن الثالث الهجري، له رسالة في 7 (36 13 (37 المضلع ذي الزوايا الخمس 38 أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع الثماني يساوي 1080، دون استعمال صيغة مجموع الزوايا الداخلية للمضلع. وذي الزوايا العشر (39) برهان: استعمل الجبر لإثبات نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية للمضلع. جبر أوجد قياسات جميع الزوايا الداخلية لكل من المضلعين الآتيين : (40) عشاري قياسات زواياه الداخلية : (x+5), (x+10), (x+20), (x+30), (x+35), (x+40), (x+60), (x+70), (x+80), (x+90)° 41) الخماسي ABCDE الذي قياسات زواياه الداخلية (1) - 6x °, (4x + 13)°, (x + (9), (2x - 8), (4x (42) تمثيلات متعددة سوف تستقصي في هذه المسألة العلاقات بين الزوايا والأضلاع في متوازي أضلاع. a) هندسيا ارسم زوجين من المستقيمات المتوازية تتقاطع كما في الشكل المجاور، وسمّ الشكل الرباعي الناتج ABCD. ثم كرّر هذه الخطوات لتكوين شكلین آخرین: FGHJQRST جدوليا : أكمل الجدول الآتي : C A 146 الفصل 5 الأشكال الرباعية الشكل الرباعي أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا mZD mZC mZB mZA ABCD DA CD BC AB mZJ mZH mZG mZF FGHJ IF HJ GH FG mZT mZS mZR mZQ QRST TO ST RS QR لفظيا : خمّن العلاقة بين كل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية. d) لفظيا : خمّن العلاقة بين كل زاويتين متحالفتين في الشكل الرباعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية. ..... e) لفظيا : خمّن العلاقة بين كل ضلعين متقابلين في الشكل باعي الناتج عن زوجين من المستقيمات المتوازية. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

V تدريب على اختبار مسائل مهارات التفكير العليا 43) اكتشف الخطأ : قالت مريم: إن مجموع قياسات الزوايا الخارجية للعشاري أكبر منه للسباعي؛ لأنّ عدد أضلاع العشاري أكثر من أضلاع السباعي. وقالت لبنى: إنّ مجموع قياسات الزوايا الخارجية لكلا المضلعين متساو . " فهل أي منهما ادعاؤها صحيح ؟ وضح تبريرك. 44) تحد أوجد قيم,, في الشكل السداسي المنتظم QRSTVX المجاور. برّر إجابتك. Q (45) تبرير: إذا مدَّ ضلعان لسداسي منتظم بحيث يلتقيان في نقطة خارجه، فهل يكون المثلث الناتج متطابق الأضلاع دائمًا، أو أحيانًا، أو لا يمكن أن يكون متطابق الأضلاع أبدًا؟ برّر إجابتك. bR a T S (46) مسألة مفتوحة: ارسم مضلعا، وأوجد مجموع قياسات زواياه الداخلية. ما عدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية مثلا المجموع الذي أوجدته؟ برّر إجابتك. (47) اكتب: وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع. 48 إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم، والمستقيم (49) إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع مثلي مجموع قياسات زواياه الخارجيّة، فما نوع هذا المضلع ؟ يحوي AE. ما قياس (y)؟ سداسي ثماني R 15 S 10 |60° (5x – 20)° U T B D A B l 6 1 2 7 5/4 3 8 m D الدرس 1- زوايا المضلع الت147يم Ministry of Educo 2024-1446 C A مربع B خماسي B C A E D مراجعة تراكمية (50) جبر: اكتب متباينة تمثل مدى القيم الممكنة لـ د (مهارة سابقة ) بين في كل مما يأتي أن المثلثين متطابقان، وحدد حالة التطابق، ثم اكتب عبارة تطابق : (مهارة سابقة ) (53 (52 A B C E D W (51 استعد للدرس اللاحق في الشكل المجاور BD || || 2 ، حدد جميع أزواج الزوايا التي تصنف وفقا لما يلي: (54) زاويتان متبادلتان داخليا. (55) زاويتان متحالفتان