النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa Inverse Matrices and Systems of Linear Equations 2-5 فيما سبق: درست حل نظام معادلات خطية جبريًا. (مهارة سابقة) والآن أجد النظير الضربي لمصفوفة من النوع لماذا؟ يبين الشكل المجاور أسعار وجبة الغداء في مطعم. ولتحديد سعر كل من الشطيرة، وعلبة المقبلات وعلبة العصير، يمكنك إيجاد قيم المتغيرات التي تحقق المساواة: ' 1 2 0 2 2 2 10 19 4 3 4 d 38 خيارات وجبة الغداء 10 ريالات وجبة عادية شطيرة + علبتي مقبلات 19 ريالا وجبة لشخصين شطيرتان + علبتي مقبلات + علبتي عصير .2 x 2 أكتب معادلات مصفوفية حيث 20 تمثل سعر الشطيرة، وى تمثل سعر علبة المقبلات، وd تمثل سعر علبة العصير. 38 ريالا 4 شطائر + 3 علب مقبلات + وجبة عائلية 4 علب . عصير لنظام من معادلتين وأحلها . المفردات : مصفوفة الوحدة identity matrix مصفوفة الوحدة ونظير المصفوفة الضربي : تذكّر أن عددين من الأعداد الحقيقية يكون كلّ منهما نظيرًا ضربيًا للآخر إذا كان حاصل ضربهما هو العنصر المحايد لعملية الضرب. وكذلك الحال في المصفوفات، فإن مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة جميع عناصر قطرها الرئيس تساوي واحدا، والباقي أصفار. النظير الضربي للمصفوفة inverse matrix المعادلة المصفوفية مصفوفة وحدة من النوع 2 × 2 مصفوفة وحدة من النوع 3 × 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 مفهوم أساسي المصفوفة المحايدة لعملية الضرب أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: المصفوفة المحايدة لعملية الضرب ورمزها I هي مصفوفة الوحدة، والتي إذا ضربت في أي مصفوفة أخرى من الرتبة نفسها كان الناتج هو المصفوفة الأخرى. الرموز لأي مصفوفة مربعة A لها رتبة مصفوفة الوحدة I نفسها، فإن A.I=I.A = A. إذا كانت [ ] = A، و [ 0 ] = 1 فإن [g I [0] 0 1 b d C a 29-69-69-6b] - [c b)] 1 = d 1 −4 [3].[ - 1 0 0 1 i ] = [ j 0 1 1 0 1 [ d = d [32]-[-3 -2] -4 1 = −4 مثال: :/ إذا كانت المصفوفتان A مربعتين ولهما الرتبة نفسها، وكان 1 = AB = BA فإن المصفوفة B تُسمى B نظيرًا ضربيًا للمصفوفة A ، وكذلك تُسمى المصفوفة A نظيرًا ضربيًّا للمصفوفة .B . وإذا كان للمصفوفة A نظير فإنه يرمز إليه بالرمز 1-A، حيث A.A-1 = A-10A = I ضربي وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5-2- النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية 1 - 291 matrix equation مصفوفة الثوابت constant matrix مصفوفة المتغيرات variable matrix

إرشادات للدراسة التحقق من النظير الضربي بما أن عملية ضرب المصفوفات ليست مثال 1 التحقق من النظير الضربي حدد ما إذا كانت كلّ من المصفوفتين تمثل نظيرًا ضربيًا للأخرى أم لا فيما يأتي: B (a -1 2 -4 1 -2 = A عملية إبدالية، فمن الضروري التأكد من الضرب في الاتجاهين. كل من المصفوفتين A,B تمثل نظيرًا ضربيًا للأخرى إذا وفقط إذا كان 1 = A B = B. A -4 2 2 -3- 1 / 1 1 A.B = -2 +1 2-2 0 0 [111 1-1] - [88] + 2 بما أن 1 .A ، فإن أيا منهما لا تمثل نظيرًا ضربيًا للأخرى. 3 5 3 -5 = F G = (b -2 6 1 3 8 اكتب المعادلة اضرب المصفوفتين كلّ من المصفوفتين تمثل نظيرًا ضربيًا للأخرى إذا وفقط إذا كان 1 = F.G = G. F • 3 :.G=[_3 -5 4 8 -2 6 3 8 9 5 15 15 8 8 1 = 10 18 1 + + 8 8 اضرب المصفوفتين G.F= 3111 5 8 3 1 3 -5 -2 6 8 9 10 15 30 + 4 8 4 8 1 0 3 6 5 18 = + 0 4 8 اكتب المعادلة اكتب المعادلة اضرب المصفوفتين بما أن 1 = . = . ، فإن كلا من المصفوفتين EG نظير ضربي للأخرى. F.G G F تحقق من فهمك 1 1 4 -1 = 3 = Y (1 2 -2 2 3 3 إرشادات للدراسة لاحظ تبديل موضعي عنصري القطر الرئيس وتغيير إشارتي عنصري القطر الآخر عند حساب 1-4 . 92 الفصل 2 المصفوفات يمكنك استعمال المحدّدات؛ لإيجاد النظير الضربي لمصفوفة ما. مفهوم أساسي النظير الضربي للمصفوفة من النوع 2 × 2 ٥ ] = A هو [ b dl C النظير الضربي للمصفوفة وذلك إذا كانت 0|A| أ - A ، A-1 d-b = -C A a لاحظ أنه إذا كانت قيمة محدّدة مصفوفة ما تساوي صفرًا، فليس للمصفوفة نظير ضربي. أضف إلى مطويتك وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة مثال 2 إيجاد النظير الضربي للمصفوفة خطوات إيجاد النظير أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي، إن وجد: الضربي للمصفوفة A من الرتبة 22 (1) أوجد قيمة |A، فإذا كان 0 = | A | ، فإنه ليس للمصفوفة A نظير ضربي، وإذا كان 0 | A | ، فإن للمصفوفة A نظيرا ضربيًّا نجده كما في الخطوات 4 - 2. (2) بادل بين موضعي عنصري القطر الرئيس. (3) غير إشارتي عنصري القطر الآخر. (4) اضرب المصفوفة الناتجة بعد إجراء الخطوتين في 7 = P [23] ( 5 (a 7 -5 |P | 2 -1=-7-(-10)=3 احسب المحددة بما أن قيمة المحدّدة لا تساوي صفرا، فإن 1-P موجودة . P- = 1 P [4] -1 -2 1 3 57 5373 23 13 = = تعريف النظير الضربي للمصفوفة من الرتبة 2 × 2 |P | =3 بسط تأكد أوجد ناتجي ضرب المصفوفتين. وإذا كان كلّ من ناتجي الضرب يساوي 1، فإن كلتا المصفوفتين نظير ضربي للأخرى. 1 |A| .4-1 العدد فتحصل على (b 1 [2 7 35 10 35 5 1 -5 + 3 3 3 3 3 3 1 0 3 3 7 -5 = = −1 2 7 2 10 7 0 1 2 7 2 −1 - + 3 3 3 3 -8 -6 3 -6 -8 Q = [ 12 - 6 ] 66 9 -72-(-72) = 0 191 - 12 - / --2- = 9 حسب المحددة بما أن قيمة المحدّدة تساوي صفرًا ، فإن 1-2 ليس موجودًا. تحقق من فهمك 1 D= [3 -1 ] ( 2 7 (2A -4 T 1 = [ 2 1 2 -4 3 | (2B إرشادات للدراسة المعادلات المصفوفية : يمكنك استعمال المصفوفات لتمثيل نظام من المعادلات وحله. فمثلا، يمكنك المعادلات المصفوفية كتابة معادلة مصفوفية لحل نظام معادلتين خطيتين: يمكنك استعمال هذه ax + by = m fx + gy = n →> + [ ax + by] = [m] الطريقة لحل نظام معادلات فقط إذا كان لمصفوفة المعاملات A نظير ضربي، أما إذا لم يكن لها نظير ضربي، فيمكن أن يكون للنظام عدد لانهائي من الحلول، أو لا يوجد له حل. ويمكنك التعبير عما سبق بالمعادلة المصفوفية الآتية: = B [m] مصفوفة الثوابت الثوابت في النظام فقط X اشا A a b f مصفوفة المتغيرات مصفوفة المعاملات | المتغيرات في النظام فقط وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5-2- النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية 1 - 293

TOYOTA ثم حُلَّ المعادلة المصفوفية بالطريقة نفسها التي تُحَلُّ بها أي معادلة أخرى من الشكل ax = b. :b ax = (1)ax = (1) b = x = b a b a المعادلة اضرب كل طرف في النظير الضربي لمصفوفة المعاملات إن وجد (1) a = 1 1x A-¹A = 1, (1) a A¯¹A=I, IX = X, 1x = x AX = B A-1AX = A-1B IX = A-1B X = A-1B لاحظ أن حَلَّ المعادلة المصفوفية من الشكل AX = B هو حاصل ضرب النظير الضربي لمصفوفة المعاملات في مصفوفة الثوابت. مثال 3 من واقع الحياة حل نظام من معادلتين باستعمال المعادلة المصفوفية سفر زوّد سلمان سيارته بالوقود مرتين في أثناء سفره إلى الرياض قادمًا من جدة، إذا كان سعر البنزين في المحطة الأولى 1.50 ريال لكل لتر ، وفي المحطة الثانية كان السعر 1.45 ريال لكل لتر، وكان مجموع ما زوّد به سيارته من البنزين 100 لتر، بسعر إجمالي 149 ريال، فكم لتر بنزين زوّد به سيارته من كل محطة؟ يكتب نظام المعادلتين الذي يمثل هذه الحالة على النحو الآتي: x+y = 100 1.50x + 1.45y = 149 الخطوة 1 اكتب المعادلة المصفوفية بافتراض أن x عدد لترات البنزين من المحطة الأولى، ولا عدد لترات البنزين من المحطة الثانية: [1 [ 1.50 1.45] - [*]-[ 100 = 149 ] 1 A-1 = 1.45 — 1.50 [ -1.35 −1 0.05 ]=-0115 [ -1.55 -1 -29 30 1] - [3 20 الربط مع الحياة هناك 90% من محطات الوقود العاملة في المملكة يُديرها الخطوة 2 أوجد النظير الضربي المصفوفة المعاملات. أفراد يمتلكون هذه المحطات، الخطوة :3 حُلَّ المعادلة المصفوفية باستعمال X = A-1B x 30 80 [j] = [(-39 20 ] - [ 100 149 X = y 20 بينما 10 فقط من هذه المحطات تُديرها شركات متخصصة في مجال تشغيل وإدارة محطات الوقود. إذن الحل هو (800)، وهذا يعني أن سلمان زوّد سيارته بـ 80 لترًا من المحطة الأولى و 20 لترا من الثانية. 94 الفصل 2 المصفوفات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد حدد ما إذا كانت كلُّ من المصفوفتين تمثل نظيرًا ضربيًا للأخرى أم لا فيما يأتي: مثال 1 2 A = = [ 10 ] B = ,],B = [ 1 2 2 (1 أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي إن وجد: مثال 2 مثال 3 [ i 0 ] (3 6 -3 -1 (5) نقود مع : F = G = -[31]-[31] . (2 0 [3] « (4 -3 0 5 2 أحمد 25 قطعة نقدية من فئة أرباع وأنصاف الريالات، بحيث تبلغ قيمة ما معه 8.5 ريالات. فما عدد الأرباع والأنصاف التي معه؟ استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام فيما يأتي: -2x + y = 9 (6) x + y = 3 -2x+y=-4 (8 3x + y = 1 4x - 2y = 22 (7) 6x + 9y = -3 تدرب وحل المسائل حدد ما إذا كانت كلّ من المصفوفتين تمثل نظيرًا ضربيًا للأخرى أم لا فيما يأتي: مثال 1 (11 M= 02 4 5 ], N = [ 1 1 ] 3] (10 K x- [32]-[2 1] 1 (9 أوجد النظير الضربي لكل مصفوفة فيما يأتي إن وجد: مثال 2 3 0 0 2 (12 [33] (13) 4 S 24 - [ ] - [ 1 4 1 2 2 ] = -5 4 4 2 ] (15 1 -6 -1 ] 14 سائلة، بينما دفع ماجد 120 ريالا 16 مشتريات دفع سعد 225 ريالًا لشراء 5 أقلام حبر جافة و 6 أقلام حبر مثال 3 لشراء 3 أقلام جافة من النوع نفسه و3 أقلام سائلة من النوع نفسه. فإذا كان سعر القلم الجاف x. وسعر القلم السائل ، فاستعمل معادلة مصفوفية؛ لإيجاد سعر القلم الجاف. (17) سكان يبين الشكل الآتي نسبة الهجرة السنوية بين إحدى المدن وضواحيها. R الربط مع الحياة تسعى حكومتنا الرشيدة إلى إقامة العديد من المشاريع في الضواحي بهدف وضع بنية تحتية فاعلة، مما يشجع على الهجرة العكسية أو هجرة السكان من المدن إلى الضواحي. الضواحي 0.95 يبقون في الضواحي 0.03 يغادرون المدينة 0.05 يغادرون الضواحي المدينة اكتب مصفوفة تبين نسبة المهاجرين والباقين في كل من المدينة والضواحي. استعمل معادلة مصفوفية لحل كل نظام إن أمكن فيما يأتي: 0.97 يبقون في المدينة x + y = 4 (20 - x + y = 3 (19) -4x + y = 9 4x + 2y = 6 (23) ••••6x-3y=9 2y-4x=3 -2x+y=6 y - x = 5 (22) - x + y = 4 (18 -x + y = -4 2y - 2x = 8 3x + y = 3 (21 5x + 3y = 6 (26 4y-x= 44 - x = -2 (25) 6- = By -زية التعليم Ministry of Education الدرس 5-2- النظير الضربي للمصفوفة وأنظمة المعادلات الخطية 1 - 295 3y - x = 6 1.6y – 0.2x = 1 0.4y - 0.1x = 0.5 (24

مسائل مهارات التفكير العليا : (27) اكتشف الخطأ أنشأت كل من هاجر وفاطمة معادلة مصفوفية لنظام المعادلتين 10 = 5x + 7y = 19, 3y + 4x. فهل حل أحدهما أو كليهما صحيح؟ فسّر إجابتك. فاطمة 5 7 3 [THA 19 = 10 5 4 3][2] - [ ] 19 = 10 (28) تحد صفِ المعادلة المصفوفية لنظام معادلتين خطيتين بمتغيرين ذات العدد اللانهائي من الحلول. (29) تبرير حدّد إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانًا ، أو غير صحيحة أبدًا، وفسّر إجابتك. " المصفوفة المربعة لها نظير ضربي". (30) مسألة مفتوحة : اكتب معادلة مصفوفية ليس لها حل 31 اكتب اشرح كيف يمكن استعمال معادلات مصفوفية لحل أنظمة معادلات، ومتى يكون استعماله أكثر فاعلية. تدريب على اختبار (32) إجابة قصيرة تبيع مكتبة 3 أحجام من الدفاتر حجم صغير بسعر 2 ريال، وحجم متوسط بسعر 3 ريالات، وحجم كبير بسعر : 4 ريالات، فإذا باعت المكتبة 52 دفترًا في أحد الأشهر، وكان عدد الدفاتر المبيعة من الحجم المتوسط يزيد على عدد الدفاتر المبيعة من الحجم الصغير بـ 7 دفاتر، وكان إجمالي المبيعات 150 ريالا. فما عدد الدفاتر المبيعة من الحجم المتوسط؟ 8 6 -1 -4 5 (35 9 -2 -3 36 D 24 C 17 B 11 A 9 -7 (34 -5 -3 مراجعة تراكمية جد قيمة كل محدّدة فيما يأتي: (الدرس 4-2) -3 8 -9 6 (33 36 حليب تنتج مزرعة أبقار 200 جالون على الأكثر من الحليب الطازج والحليب المبستر يوميا. فإذا كان كل زبون من زبائن المزرعة يحتاج إلى 15 جالونا على الأقل من الحليب المبستر ، و 21 جالونا على الأقل من الحليب الطازج يوميا، وكان ربح المزرعة في الجالون الواحد من الحليب المبستر 8.2 ريالات، ومن الحليب الطازج 7.5 ريالات. فكم عدد الجالونات التي يجب إنتاجها من كلا النوعين ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ (الدرس (6-1) حدد نوع الدالة الممثلة بيانيا في كل مما يأتي: (الدرس (3-1) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (38 4321 -4- -3- -2- -1- 4321 -2- -4-3-2-10 1 2 3 4 x -4-3-2-10 1 2 3 4 x --2- -3. 23 -2 -3 -4- -4 234 (37 96 الفصل 2 المصفوفات