المتجهات - فيزياء 1 - أول ثانوي

الفصل القوى في بعدين Forces in Two Dimensions 5 ما الذي ستتعلمه في هذا الفصل ؟ تمثيل الكميات المتجهة بالرسم التخطيطي والتحليل المتعامد. استعمال قوانين سيونن في تحليل الحركة في وجود الاحتكاك استعمال قوانين نيوتن وما تعلمته عن المتجهات في تحليل الحركة في بعدين. الأهمية معظم الأجسام تتأثر بقوى تعمل في أكثر من اتجاه. فعلى سبيل المثال، عندما تسحب سيارة بشاحنة السحب فإنها تتأثر بقوى عديدة إلى أعلى وإلى الأمام، بالإضافة إلى قوة الجاذبية التي تؤثر فيها إلى أسفل. تسلق الصخور كيف يحمى متسلقو الصخور أنفسهم من السقوط ؟ يرتكز المتسلق على أكثر من نقطة داعمة، كما أن هناك قوى متعددة تؤثر فيه في اتجاهات متعددة. قد يصل متسلق الصخور إلى صخرة تحميه ميلها أن يتعلق بها بحيث يكون ظهره مقابلا للأرض مكيف يمكنه استعمال أدواته النطق قرابين الفيزياء للتغلب على هذه الحصة وتجارة الصخرة 130

تجربة استهلالية 5. اجمع البيانات ونظمها اسحب بيط. الخيط الذي يُعلق هل صحيح أن 20 = 20 + 120 سؤال التجربة هل يمكن لمجموع (محصلة) قرتين به الحسم الذي كتلته 2008، أكثر فأكثر في اتجاه الأفقي متساويتين تؤكران في جسم أن يساوي إحدى هاتين القوتين؟ وصف مشاهداتك. الخطوات التحليل هل مجموع القوتين المقيستين بالميزانين النابضيين يساوي 1 قس احصل من معلمك على جسم كتلته 2008، وقس وزن الجسم المعلق، أم أكبر، أم أقل؟ وزنه باستعمال ميزان نابضي (زنبركي). 2 اربط طرفي خيط طوله 70cm بخطافي ميزانين نابضيين. التفكير الناقد استعمل ورقة رسم بياني لرسم مثلث متساوي الأضلاع، على أن يكون أحد أضلاعه رأسياً. إذا كان ضلعاً 3 اربط طرف خيط طوله 15 بالجسم الذي كتلته المثلث يُمثل كل منها قوة شد مقدارها 2N، فما مقدار قوة 2008 ولف طرفه الآخر على الخيط المثبت بخطافي الشد التي يمثلها الضلع الثالث؟ وكيف يمكن أن يكون الميزانين تحذير: تجنب سقوط الكتل. 4. أمسك الميزانين النايضين أحدهما باليد اليمنى والآخر باليد اليسرى، على أن يشكل الخيط الواصل بينهما زاوية مقدارها 120. وللتأكد من أن مقدار الزاوية 120 حرك الخيط الذي يعلق به الجسم حتى تكون قراءتا الميزانين متساويتين، وسجل قراءة كل منهما. 2N + 2 = 2N صحيحًا؟ 5-1 المتجهات Vectors الأهداف www.d كيف يمكن المتسلقي الصخور تجنب السقوط في حالات كالحالة المبينة في الصفحة السابقة ؟ لاحظ أن للمتسلق أكثر من نقطة داعمة يرتكز عليها، . تحسب مجموع متجهين أو أكثر في بعدين بطريقة كما تؤثر فيه قوى متعددة. يمك المتسلق بإحكام بالصدوع أو الشقوق الموجودة في الصخرة، كما يثبت قدميه على أتي نتوء أو بروز يجده في الصخرة، وهكذا يكون هناك قونا تلامس تؤثران فيه، كما تؤثر الجاذبية الأرضية فيه بقوة إلى أسفل. لذلك توجد ثلاث قوى تؤثر في المتسلق. الرسم. تحدد مرتيني كل منجه تحسب مجموع متجهين أو أكثر جبريا، وذلك بجمع مركبات المتجهات. المفردات المركبات ومما يميز هذه الحالة من الحالات التي درستها سابقا أن القوى التي يؤثر بها قانون جيب النمام في المتجهات سطح الصخرة في المتسلق ليست قوى أفقية ولا عمودية. ولعلك تعلم من قانون الحيب في المتجهات الفصول السابقة أنه يمكن اختيار نظام إحداثي وتوجيهه بالطريقة المناسبة التحليل حالة ما . ولكن ماذا يحدث عندما لا تكون القوى متعامدة؟ وكيف يمكن وضع نظام إحداثي وإيجاد قوة محصلة عندما تتعامل مع أكثر من بعد؟ تحليل المنتجه راوية المتجه المحصل 131

40 N 40 N مراجعة مفهوم المتجهات Vectors Revisited 80 N تذكر المثال الذي درسته على متجهات القوة في الفصل الرابع، حيث دفعت أنت وصديقك الطاولة. وافترض أن كلا منكما أثر بقوة 40N في اتجاه اليمين. يمثل الشكل 1-5 مخطط الشكل 1-5 مجموع القوتين يوضحه الجسم الحر للمتجهين بالإضافة إلى المتجه الذي يمثل القوة المحصلة. إن متجه القوة المحصلة يساوي 80، وهو الذي تتوقعه غالبًا، لكن كيف حصلنا على متجه القوة المحصلة؟ المتجه أسفلهما. المتجهات في أبعاد متعددة Vectors in Multiple Dimensions يمكن تطبيق عملية جمع المتجهات حتى لو لم تكن في الاتجاه نفسه. والحل مثل هذه المسائل الشكل 2-5 جمع المتجهات بوضع في بعدين بطريقة الرسم تحتاج إلى منقلة ومسطرة، على أن تختار مقياس رسم مناسبا؛ رأس منجه على ذيل متجه أخر ورسم برأس المتجه الأخير الرسم المتجهات بالزوايا الصحيحة، وقياس مقدار المتجه المحصل واتجاهه. ويمكن جع المتجه المحصل بتوصيل ذيل المتجه الأول المتجهات بوضع ذيل متجه على رأس متجه آخر، ثم رسم المتجه المحصل بتوصيل ذيل المتجه الأول مع رأس المتجه الثاني، كما في الشكل . حيث يبين الشكل 2-5 مخطط الجسم الحر لقوتين A و B. وفي الشكل 2- حرك احد المتجهين فأصبح ذيله عند رأس المتجه الآخر. لاحظ أن طول المتجه المنقول واتجاهه لم يتغيرا. وحيث إن طول المنتجه واتجاهه هما فقط ما يميز المتجه، لذا فإن المتجه لم يتغير بسبب هذه الحركة. وهذا صحيح B B دائما؛ فعند تحريك متجه دون تغيير طوله واتجاهه لا يتغير المنجه. ويمكنك الآن رسم المتجه المحصل الذي يتجه من ذيل المنتجه الأول (B) إلى رأس المتجه الأخير (A)، كما في الشكل 2- ثم قياس طوله للحصول على مقداره. استعمل منقلة لقياس اتجاه المتجه المحصل. قد تحتاج أحيانًا إلى استعمال علم المثلثات لتحديد طول المتجه المحصل واتجاهه، تذكر أنه يمكن إيجاد طول الوتر للمثلث القائم الزاوية باستعمال نظرية فيثاغورس. إذا أردت جمع متجهين الزاوية بينهما قائمة - مثل المنتجه A الذي يشير إلى الشمال والمتجه B الذي بشير إلى الشرق - يمكنك استعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المحصلة .R. نظرية فيثاغورس R=A+B إذا كانت الزاوية بين متجهين A و B قائمة فإن مجموع مربعي مقداري المتجهين يساوي مربع مقدار المتجه المحصل. إذا كانت الزاوية بين المتجهين المراد جمعهما لا تساوي 90% يمكنك استعمال قانون جيب B 132 التمام أو قانون الجيب. وزارة التعليم

R² A+B 2AB cos قانون جيب النمام مربع مقدار المتجه المحصل ياوي مجموع مربعي مقداري المتجهين مطروحا مه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروبا في جيب تمام الزاوية التي بينهما. قانون الجيب R sin 8 = sin d B sin b مقدار المحصلة مقسوما على جيب الزاوية التي بين المتجهين يساوي مقدار احد المتجهين مقسوما على جيب الزاوية التي تقابله. للمزيد من المعلومات حول قانون الجيب راجع دليل الرياضيات صفحة 203، وانظر الشكل الموضح في المثال الآتي. مثال 1 ایجاد مقدار محصلة متجهين إزاحتان الأولى km 25 والثانية km 15 احسب مقدار محصلتهما عندما تكون الزاوية بينهما 90، وعندما تكون الزاوية 135. تحليل المسألة ورسمها ارسم متجهي الإزاحة A و B وارسم الزاوية بينهما. المعلوم A = 25 kan 0 = 90° B = 15 km 6 = 135 ايجاد الكمية المجهولة المجهول R = ? استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المتجه المحصل عندما تكون الزاوية بين المتجهين 90. دليل الرياضيات الصويعي D= 13 hour, i = i n الجدور التربيعية والحدود التكعيبية 194 R²=A² + B² R = VA2 + B =√(25 km)+(15 km)² = 29 km RA+ B-2AB (cos 0,) الأن الزاوية بين المتجهين 135، نستخدم قانون حيب الشمام لإيجاد مقدار المتجه المحصل. بالتعويض B = 10 1 = 15 ho الراوية بها تقويم الجواب R = VA + B - 2AB (cos) =√(25 kin)² + (15 kın) −2(25 km)(15 km)(cos 135°) =37 km . هل الوحدات صحيحة ؟ كل جواب عبارة عن طول يقاس بالكيلومترات. • هل للإشارات معنى؟ حاصل الجمع في كل حالة موجب هل الجواب منطقي؟ المقدار في كل حالة قريب من مقدار المتجهين المجموعين ولكنه أطول : وحياك الأن كل عضله عبارة عن ضلع بقابل زاوية منفرجة والإجابة الثانية أكبر من الأولى. وهذا يتفق مع تمثيل المتجهات بالمرسم. ليم 10133 प्र

مسائل تدريبية 1 قطعت سيارة 125.0km في اتجاه الغرب، ثم 65.0km في اتجاه الجنوب. فما مقدار إزاحتها ؟ حل المسألة بطريقة الرسم وبالطريقة الحسابية. 2 سار شخص km 4.5 في اتجاه ما، ثم انعطف بزاوية 45 في اتجاه اليمين، وسار مسافة km 6.4. ما مقدار إراحته؟ مركبات المتجهات Components of Vectors +x نقطة الأصل +y إن اختيار نظام إحداثي - كما في الشكل 3-5- يشبه وضع شريحة بلاستيكية شفافة فوق رسم المتجهات في المسألة. وعليك اختيار الموضع الذي يحدد مركز الشبكة (نقطة الأصل)، وتثبت الاتجاهات التي تشير إليها المحاور، حيث يمثل محور x يسهم يمر بنقطة الأصل ويشير إلى الاتجاه الموجب، كما في الشكل (3-5، ويُرسم محور y الموجب على أن يصنع زاوية 90% في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة من محور د ويتقاطع مع محور x في نقطة الأصل. كيف تختار اتجاه محور x؟ ليس هناك إجابة واحدة صحيحة، ولكن بعض الخيارات تجعل حل المسألة أسهل من بعضها الآخر. عندما تكون الحركة الموصوفة محصورة في سطح الأرض يكون من الأسهل اختيار المحور x ليشير إلى اتجاه الشرق، والمحور و ليشير إلى اتجاه الشمال. وعندما تشتمل الحركة على جسم يتحرك خلال الهواء يتم اختيار المحور x ليكون أفقياً ويكون المحور لا عمودياً على المحور .. وإذا كانت الحركة على تل فإنه من الشكل 3-5 يتكون النظام الإحداثي المناسب اختيار المحور x الموجب في اتجاه الحركة، والمحور لا عموديا على المحور . A 10 ^ من نقطة الأصل ومحورين متعامدين (b) (4). يقاس اتجاه المتجه A في عكس اتجاد مركبت المتجه يمكنك وصف أي متجه بطريقة مختلفة عما سبق باستخدام النظام حركة عقارب الساعة من محور x الموجب الإحداثي. فعلى سبيل المثال، يمكن وصف المتجه ٨ كما في الشكل 53 على أنه يمثل الانتقال بمقدار 5 وحدات على المحور x والانتقال بمقدار 4 وحدات على المحور .. كما يمكنك تمثيل هذه المعلومات في صورة متجهين يُرمز إليها بـ A ور على المخطط. لاحظ أن A يوازي محور ، و يوازي محور لا. ولاحظ كذلك أنه إذا جمع A مع A فإن المحصلة تساوي المتجه الأصلي .A. وهكذا يمكن تجزئة المتجه إلى مركبتين، وهما متجهان أحدهما يوازي المحور x والآخر يوازي المحور ا. وهذا يجب عمله دائما، كما أن معادلة المتجهات الآتية صحيحة دائما. A = A+ A تسمى عملية تجزئة المتجه إلى مركبتيه تحليل المتجه. لاحظ أن المتجه الأصلي يمثل الوتر في مثلث قائم الزاوية، مما يعني أن مقدار المتجه الأصلي يكون دائما أكبر من مقدار أي شركه من مركبتيه. وزارة التعليم A3 1445 134

وهناك سبب آخر لاختبار النظام الإحداثي، هو أن اتجاه أي متجه يحدد بالنسبة إلى هذه الإحداثيات، ويعرف اتجاه المتجه على أنه الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x مقيسة في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة. ففي الشكل 3- تمثل الزاوية 6 اتجاه المتجه A. ويمكن قياس أطوال مركبات المتجهات بطريقة الرسم، كما يمكن أيضًا إيجاد المركبات باستعمال علم المثلثات. فتحسب المركبات باستعمال المعادلات المبينة أدناه، وتكون الزاوية 6 مقيسة في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة من محور الموجب. = ⇒ A = A cos 0 - = x = A = A sin d الضلع المجاور الوتر الضلع المقابل الوتر cos 8= sin 0 = الربع الأول الربع الثاني A <0 40 A>0 A >0 A>0 A<0 الربع الرابع A <0 A<0 الربع الثالث الشكل 4-5 نعتمد إشارة مركبة المتجه على الربع الذي تقع فيه. عندما تكون الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x الموجب أكبر من 90 فإن إشارة إحدى المركبتين أو كلتيهما تكون سالبة كما في الشكل 54. جمع المتجهات جبريًّا Algebraic Addition of Vectors لماذا تُحلل المتجهات إلى مركباتها ؟ لأن ذلك يُسهل عملية جمع المتجهات حسابيا. فيمكن جمع متجهين أو أكثر مثل B ، A ، ، .... إلخ، وذلك بتحليل كل متجه إلى مركبتيه X ولا أولاً، ثم تجمع المركبات الأفقية (مركبات المحور x ) للمتجهات لتكون المركبة الأفقية للمحصلة : R = A + B + C وبالمثل تجمع المركبات الرأسية (مركبات المحور (y) للمتجهات لتكون المركبة الرأسية للمحصلة + + + R = A، وهذه العملية موضحة بيانيا في الشكل 5-5. ولأن و متعامدتان؛ لذا يمكن حساب مقدار المتجه المحصل باستعمال نظرية فيثاغورس .R²=R+R R ↑+y +y C B B الشكل 55 R هي مجموع المركبات الأفقية للمتجهات A وB وR C هي مجموع المركبات الرأسية للمتجهات A و B و C الجمع الاتجاهي لـ R و R مو الجميع الاتجاهي للمتجهات A وB وC. A A B C . تحليل كل متجه إلى مركبتيه. وزارة التحلية 135 R ت. إيجاد المحصلة

الة عملية كيف يتحرك الجسم عندما تؤثر فيه فوتان؟ ولإيجاد الزاوية أو اتجاه المحصلة تذكر أن ظل الزاوية التي يصنعها المتجه المحصل مع محور x يعبر عنه بالعلاقة الآتية: زاوية المتجد المحصل B = lan زاوية المتجه المحصل تساوي الظل العكسي الخارج قسمة المركبة لا على المركبة للمتجه المحصل. كما يمكنك إيجاد الزاوية باستعمال الزر tan الموجود على الآلة الحاسبة. ولاحظ أنه رجع الى دليل التجارب العملية على منصة عندما تكون الزاوية 90 فإن أغلب الآلات الحاسبة تعطي الزاوية بين 0 و 90، وعندما تكون 60 فإن الزاوية تكون بين 0 و90 - عين الإثرائية استراتيجيات حل المسألة جمع المتجهات استعمل الخطوات الآتية لحل المسائل التي تحتاج فيها إلى جمع المتجهات أو طرحها 1. اختر نظامًا إحداثيا. 2 حلل المتجهات إلى مركباتها الأفقية x باستعمال المعادلة A = A cos، وإلى مركباتها العمودية لا باستعمال A sin = ٨ إذ تقاس الزاوية 0 في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة من محور x الموجب. 3 أجمع المركبات التي على المحور x أو أطرحها للحصول على R. اجمع المركبات التي على المحور y أو اطرحها للحصول على R. 5. طبق نظرية فيثاغورس R=VR + R لإيجاد مقدار المنتجه المحصل. 6 طبق العلاقة - tan = ) لإيجاد زاوية المتجه المحصل. الرياضيات في الفيزياء الضلع المقابل . R الوتر R R R R الضلع sin 0= R R cos 8 = R المجاور الوتر R الضسلم المقابل الصلع المجاور tan 0- R إن إتقانك عملية تحليل المتجهات إلى مركباتها، واكتاب المزيد من الخبرة خلال ما تبقى من هذا الفصل والفصل الذي يليه، سوف يسهلان عليك تحليل أنظمة معقدة من المتجهات دون استخدام طريقة الرسم. 136 وزارة التعليم 2023 1445

مثال 2 الطريق إلى المنزل يشير مستقبل جهاز نظام تحديد المواقع العالمي إلى أن منزلك يبعد km 15.0 في اتجاه يصنع زاوية 40.0 شمال الغرب، ولكن الطريق الوحيد المتاح أمامك للوصول إلى المنزل هو في اتجاه الشمال. فإذا سلكت هذا الطريق وتحركت مسافة 5.0km، فما المسافة التي يجب أن تقطعها بعد ذلك حتى تصل إلى منزلك؟ وفي أي اتجاه تسير ؟ تحليل المسألة ورسمها ارسم متجه المحصلة . ا من موقعك الأصلي إلى منزلك. أرسم المتجه المعلوم ، ثم ارسم المتجه المجهول .B. المعلوم A = 50 kan في اتجاه الشمال R = 15.0 km في اتجاه 40.0 شمال الغرب إيجاد الكمية المجهولة أوجد مركبتي المتجد R. بالتعويض R = 150kin و 110 = 0 بما أنا في اتجاه الشمال، لذا فإن المجهول +y A B = ? B 40.0 1800-40.0 140.0° A R = R cos 0 = (15.0 km cos 140.0 = - 11.5 km R = R sin 0 = (15.0 km) sin 140.0" = 9.64 km A = 5.0 km استخدام مركبات كل من B و A لا يجاد مركبني المتجه B. بالمريض فقط 16 = ) وكلنا 11 - 3 وسط 115 -= V=0 ling R A = 0.0 km الإما السالب تعبر العدد الرب انحاء العربية B = R - A = - 11.5 km - 0.0 km = - 11.5 km A B = R - A = 9.64 km - 5.0 km = 4.6 km B = VB + B دليل الرياضيات استخدم مركبتي المتجه B لإيجاد مقدار المتجه B. معكوس الجيب، ومعكوس D=1.6 km, D=-11 التمام، ومحكوم (kg) + (4.6 km 11.5-) = استخدم الظل لإيجاد اتجاه المتجه B. الملل 205 B B 租 R = 12 km. 0 = lan = lan B -1 B. -11.5 km. (158) أو 22- = = ضع ذيل المتجه ل عند نقطة الأصل لنظام إحداثي، وارسم المركبتين و ، فيكون الاتجاه في الربع الثاني وفي التجاه يصنع زاوية مقدارها 220 شمال الغرب. ة تقويم الجواب • هل الوحدات صحيحة ؟ الكيلومترات والدرجات صحيحة. هل للإشارات معنى؟ تتفق الإشارات مع المخطط. هل الجواب منطقي؟ إن طول المنتجه B أكبر من R : لأن الزاوية بين A و B أكبر من 90. alia 137 قيم

مسائل تدريبية حل المسائل 8-3 جبريًا ( يمكن حل بعضها أيضًا بطريقة الرسم للتحقق من الإجابة): 3. يمشي أحمد مسافة 0.40km بزاوية 60 غرب الشمال، ثم يمشي km 0.50 غربا. ما إزاحة أحمد؟ 4. يقضي الأخوان أحمد وعبد الله بعض الوقت في بيت بنياء فوق شجرة. وقد استعملا بعض الحبال الرفع صندوق كتلته 3.20 يحوي أمتعتهم . فإذا وقفا على غصنين مختلفين كما في الشكل 56 وسحبا بالزاويتين والقرتين الموضحتين في الشكل، فاحسب كلا من المركبتين * و لا للقوة المحصلة المؤثرة في الصندوق. تنبيه: ارسم مخطط الجسم الخر حتى لا تنسى أي قوة. إذا بدأت الحركة من منزلك فقطعت km 8.0 شمالاً، ثم العطفت شرقاً حتى أصبحت از احتك من المنزل km 10.0 فما مقدار إزاحتك شرقا ؟ 6. أرجوحة طفل معلقة بحبلين بميلان عن الرأسي براوية "13.0، وهما مربوطان إلى فرع شجرة . فإذا كان الشد في كل حبل 2.28 فما مقدار واتجاه القوة المحصلة التي يؤثر بها الحبلان في الأرجوحة ؟ 7 هل يمكن لمتجه أن يكون أقصر من إحدى مركبتيه أو مساويا لطولها؟ وضح ذلك. 8 في النظام الإحداثي الذي يشير فيه المحور إلى الشرق، ما مدى الزوايا الذي الزوايا الذي تكون فيه سالبة؟ 5-1 مراجعة 17.3 N 1200 1 55.0 20.4 N الشكل 6-5 كبة تد موجبة؟ وما مدى 9. المسافة مقابل الإزاحة هل تساوي المسافة التي 13. عمليات البدائية إن الترتيب في جمع المتجهات غير مهم. ويقول علماء الرياضيات إن عملية جمع المتجه تمشيها مقدار از احتك؟ أعط مثالاً يدعم استنتاجك. 10 طرح متجه في الشكل 7-5 اطرح المتجه K من عملية إبدالية. فأي العمليات الحسابية المألوفة المتجه .. 5.0 M37.0 -4.0 K 6.0 L الشكل 7-5 11 مركبات أوجد مركبتي المتجه M المبين في الشكل 7-5 12. جمع المتجهات أوجد محصلة المتجهات الثلاثة المبينة في الشكل 57. عملية إبدالية، وأيها غير إبدالية؟ 14 التفكير الناقد أزيح صندوق، ثم أزيح إزاحة أخرى يختلف مقدارها عن مقدار الإزاحة الأولى. هل يمكن أن يكون للإزاحتين اتجاهان بحيث يجعلان الإزاحة المحصلة تساوي صفرا؟ افترض أن الصندوق حُرك خلال ثلاث إزاحات مقاديرها غير متساوية، فهل يمكن أن تساوي الإزاحة المحصلة صفرًا؟ ادعم استنتاجات بـ تخطط. وزارة التعليم 138 2023 1445